УДК 519.6:621.396
чисельне розв’язування нелінійних обернених задач
стосовно синтезу антенних Ґраток
Л. Клакович*, П. Савенко**
*Львівський національний університет імені Івана Франка
м. Львів, вул. Університетська, 1
**Інститут прикладних проблем механіки та математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України
79060, м. Львів, МСП, вул. Наукова, 3 б
Обгрунтовано чисельний метод розв’язування нелінійних задач синтезу (обернених задач) антенних ґраток, елементами яких є прямо - або криволінійні випромінювачі. Розглянуто варіаційне формулювання оберненої задачі з подальшим зведенням її до знаходження розв’язків нелінійних операторних рівнянь типу Гаммерштейна. Доведено теореми існування розв’язків та релаксаційності відповідного ітераційного процесу для їхнього знаходження.
Ключові слова: нелінійні обернені задачі, антенні ґратки, теорема існування, ітераційний процес.
1. Розглянемо антенну ґратку [1], яка складається з 
ідеально провідних випромінювачів, що розміщені відповідно в деякій області 
необмеженого однорідного ізотропного середовища з діелектричною проникністю 
і магнітною проникністю 
, а сторонні джерела електромагнітних коливань змінюються в часі за законом 
(
– частота коливань). Інтегральні рівняння для поверхневих електричних струмів 
, що протікають по випромінювачах, можна записати [1] на підставі рівняння Гельмгольца, використовуючи граничну умову 
,
, (1)
де 
– вектор зовнішньої нормалі до поверхні m-го випромінювача; 
– функція Гріна; 
– точки спостереження й інтегрування, відповідно ж 
– стороннє електричне поле.
Система (1) є системою лінійних інтегральних рівнянь першого роду і, як відомо [2], задача знаходження її розв’язків може бути нестійкою щодо збурення правої частини. Проте ядра типу функцій Гріна, які мають особливість при 
, дають змогу застосовувати для знаходження стійких розв’язків методи саморегуляризації [3,4].
Для антенної ґратки з тонких криволінійних випромінювачів система (1) зводиться до системи лінійних інтегральних рівнянь типу Поклінгтона [1,5]:
, (2)
де 
- довжина дуги від початку кривої; 
– дотична до осі 
-го випромінювачаскладова вектора електричного поля в точці ; 
– хвильове число; 
– одиничний вектор, дотичний до осі -го випромінювача у точці і розміщений у площині його згину; 
– функція Гріна вільного простору; 
– дотична до осі 
-го випромінювача складова вектора стороннього електричного поля в точці 
; 
– хвильовий опір середовища.
У системі з тонких лінійних вібраторів довжиною 
, напрямлених уздовж осі 
, центри яких розміщені на осі OX, повні струми, що протікають по n-му вібратору (з врахуванням взаємного пливу), пов’язані із потенціалами, що їх збуджують, системою інтегральних рівнянь типу Галлена [6]
, (3)
де
(4)
– точка спостереження на осі n-го вібратора і точка інтегрування на осі m-го вібратора, відповідно 
– віддаль між ними.
2. Абстрагуючись від конкретного типу випромінювача, запишемо системи інтегральних рівнянь (2), (3) в операторному вигляді
, (5)
де 
– лінійний матрично-інтегральний оператор, що діє з гільбертового простору інтегровних з квадратом функцій 
у гільбертів простір 
. Приймемо, що існує регуляризуючий алгоритм для знаходження стійких розв’язків рівняння (5) при довільному обмеженому 
. Розв’язок рівняння (5) запишемо у вигляді
, (6)
де 
– лінійний обмежений, а отже, і неперервний оператор з 
в 
.
Векторну діаграму напрямленості антенної ґратки, використовуючи вираз (6), подамо за допомогою лінійного інтегрального оператора 
[7]
, (7)
де 
одиничні орти сферичної системи координат. Приймаємо, що оператор діє з простору у 
– гільбертів простір інтегровних з квадратом функцій на компакті 
(
) і є цілком неперервним. На підставі рівностей (6), (7) маємо
. (8)
Нехай необхідна амплітудна ДН 
задана компонентами 
в області
,
де – дійсні неперервні невід’ємні на функції. Задачу синтезу заданої ДН сформулюємо як задачу мінімізації функціонала
(9)
на гільбертовому просторі .
Існування точок мінімуму функціонала (9) випливає з такої теореми.
Теорема 1. Нехай лінійний оператор 
і є цілком неперервним, а 
– лінійний обмежений оператор.
Тоді функціонал 
у деякій точці 
досягає абсолютного мінімуму і з будь-якої мінімізуючої послідовності можна виділити підпослідовність, яка слабко збігається до однієї з точок абсолютного мінімуму.
Доведення. Оскільки гільбертів простір є рефлексивним банаховим простором, то для доведення теореми достатньо довести виконання двох таких умов [8]:
1) Функціонал слабко напівнеперервний знизу на .
2) 
. (10)
Спочатку доведемо виконання умови 1). Функціонал можна записати у вигляді
,
де
. (11)
Згідно з [8] є слабко напівнеперервним функціоналом. Доведемо, що функціонал також є слабко неперервним.
Оскільки оператор цілком неперервний, а – лінійний обмежений оператор , то 
буде цілком неперервним оператором з в 
. Тобто якщо 
– деяка послідовність, слабко збіжна до 
, то оператор 
переводить її у сильно збіжну послідовність 
до 
у метриці простору , тобто
. (12)
Доведемо, що зі слабкої збіжності до випливає 
.
Розглянемо
. (13)
Оцінимо кожен з доданків у (13) і перейдемо до границі при . Використовуючи нерівності Коші-Буняковського та трикутників, отримуємо
(14)
при на підставі (12) та того факту, що елементи збіжної послідовності 
є обмеженими [9].
Далі при одержуємо
, (15)
оскільки обмежена, а 
. Аналогічно,
при 
. (16)
Урахувавши (14)-(16), отримаємо 
при . Тобто, функціонал є слабко неперервним на елементах простору . Згідно з означенням слабкої неперервності функціонала є слабко напівнеперервним знизу функціоналом.
Виконання умови 2) є очевидним, оскільки всі доданки в (9) невід’ємні, а 
.
Теорему доведено.
3. Для знаходження точок мінімуму функціонала 
використаємо його рівняння Ейлера. Згідно з означенням диференціала Гато [9]
(17)
знаходимо
, (18)
де 
, 
, а залежність функцій 
від вектора 
описує формула (8).
З необхідної умови мінімуму функціонала 
, внаслідок довільності елемента 
отримаємо рівняння Ейлера функціонала у просторі:
. (19)
Якщо прийняти, що множина нулів оператора А складається лише з одного нульового елемента, і подіяти на обидві сторони рівності (19) оператором 
, отримаємо еквівалентне (19) нелінійне операторне рівняння відносно функції 
у просторі :
. (20)
Наслідок. Оскільки функціонал 
диференційовний на за Гато і володіє -властивістю, то існування хоч би одного розв’язку рівняння (19) у просторі і рівняння (20) у просторі 
випливає з необхідної умови мінімуму функціонала 
.
Отже, задача знаходження точок мінімуму функціонала , в якому враховано векторний характер електромагнітного поля, зведена до задачі знаходження розв’язків нелінійних операторних рівнянь (19) або (20).
4. Розв’язки рівнянь (19), (20) знаходимо ітераційними методами, побудованими за неявною схемою методу послідовних наближень [7,10].
Застосовуючи цю схему для розв’язування рівняння (19), отримаємо такий ітераційний процес:
, (21)
де
, (22)
р=0,1,2… – номер ітерації. Для послідовності 
, генерованої ітераційним процесом (21) виконується така теорема:
Теорема 2. Послідовність , генерована ітераційним процесом (21), є релаксаційною для функціонала 
, тобто
(р=0,1,2…). (23)
Доведення. Запишемо функціонал (9) у такому вигляді:
,
і введемо у розгляд допоміжний функціонал:
, (24)
де 
- довільна функція простору .
Розглянемо різницю функціоналів:
. (25)
Обидва доданки у (25) будуть невід’ємними ( ) і дорівнюватимуть нулю, коли та 
. Тому функціонал є мажоруючим для функціонала , тобто 
. Оскільки це справджується для довільного 
, то на кроках ітераційного процесу (21) одержимо:
(26)
Аналогічно, як в [11], легко довести, що функціонал задовольняє умови теореми 1, тому він є слабко напівнеперервний знизу і досягає абсолютного мінімуму в деякій точці . Знайдемо вектор 
, на якому функціонал набуває мінімального значення за довільної функції 
. Для цього скористаємось необхідною умовою мінімуму функціонала: знайдемо і прирівняємо до нуля диференціал Гато функціонала . Отримаємо операторне рівняння
. (27)
Розглянемо відповідне (27) лінійне однорідне рівняння
. (28)
Оскільки оператор у лівій частині рівняння (28) є самоспряженим і додатно визначеним, а параметр , то одиниця не може бути власним значенням цього операторного рівняння. Тоді рівняння (28) має лише тривіальний розв’язок, а рівняння (27) – єдиний розв’язок, який надає мінімуму функціоналу .
З виразу (27) видно, що мінімум досягається на векторі , який отримують на р-й ітерації процесу (21). Легко бачити, що
. (29)
Іншими словами виконується нерівність , яка також справджується для 
, тобто
. (30)
Отже, враховуючи нерівності (26), (29) та (30), одержимо
. (31)
Звідси випливає, що послідовність значень функціонала , генерована ітераційним процесом (21) спадна. Оскільки ця послідовність обмежена знизу нулем, то за теоремою Веєрштраса – вона буде збіжною.
Теорему доведено.
Отже, ми довели, що в умовах теорем 1-2 функціонал (9) у деякій точці досягає абсолютного мінімуму. У цьому разі його рівняння Ейлера (19) має принаймні один розв’язок, який можна отримати за допомогою неявної схеми методу послідовних наближень (21).
ЛІТЕРАТУРА
1. Анализ и синтез антенных решеток. Львов, 1987.
2. , Методы решения некорректных задач. М., 1979.
3. , Метод расчета распределения тока в системе линейных вибраторов и диаграмма направленности этой системы // Вычислительные методы и программирование: Сб. ВЦ МГУ. 1968. Вып. 10. С. 3-8.
4. В., Интерполяционный метод решения интегральных уравнений I-го рода с логарифмической особенностью // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216. № 6. С .
5. Теория интегральных уравнений тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. 1993. №12. С. .
6. С., Исследование распределения токов в системе произвольно расположенных вибраторов // Вычислительные методы и программирование. Сб. ВЦ МГУ. 1973. Вып. 20. С. 263-269.
7. , Численное решение нелинейной задачи синтеза антенной решетки из криволинейных излучателей с учетом их взаимного влияния // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2000. Т.43. № 8. С. 3-15.
8. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М., 1972.
9. М. Функциональный анализ. М., 1979.
10. , Численно-аналитический метод синтеза линейных решеток вибраторов с учетом их взаимного влияния по заданной амплитудной диаграмме направленности // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т.40. № 11. С. 11-25.
11. А. Численное решение одного класса нелинейных обратных задач синтеза излучающих систем // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2000. Т.40. №6. С. 929-939.
Numerical solving the nonlinear inverse problems conformably to the SYNTHESIS of the antenna arrays
L. Кlakovych*, P. Savenko**
*Ivan Franko National University In Lviv
**Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics
In this paper we propose and ground a numerical method to solve the nonlinear synthesis problems of the antenna arrays with linear and curvilinear radiators. The algorithm of solving the inverse problems is based on the minimization of the functionals and is reduced to the nonlinear operator equations of the Hammershtain type. The theorem about solutions existence and the theorem about relaxation of the corresponding iterational process for solutions finding are both proved.
Key words: nonlinear inverse problem, antenna arrays, a theorem of existence, iterational process.
Стаття надійшла до редколегії 01.07.2001
Прийнята до друку
© Клакович Л., 2002
