Лінійні функціонали

4. ЛІНІЙНІ ФУНКЦІОНАЛИ

4.1. НЕПЕРЕРВНІ ЛІНІЙНІ ФУНКЦІОНАЛИ

НА НОРМОВАНИХ ПРОСТОРАХ

Визначення 4.1. Нехай – лінійний нормований простір. Будь-яке відображення називається функціоналом; є лінійним, якщо виконуються умови:

1)  , ;

2)  , , .

Розглянемо лінійні неперервні функціонали. Виявляється, що лінійний функціонал неперервний на всьому , якщо він неперервний хоча б в одній точці. За таку точку можна обрати нуль. Тоді одержуємо умову неперервності функціонала : неперервний, якщо існує така константа , що

, . (4.1)

Це означає також, що неперервний, якщо він обмежений на деякому обмеженому околі нуля.

Поняття норми функціоналу можна ввести двома еквівалентними способами.

1-й спосіб:

,

де задовольняє (4.1) для всіх .

2-й спосіб:

. (4.2)

Формулу (4.2) можна переписати у вигляді

.

Очевидно також, що

.

Приклад 4.1. Розглянемо простір і нехай – фіксований вектор. У цьому випадку всі лінійні функціонали мають вигляд

.

Тут усі лінійні функціонали будуть неперервними.

Приклад 4.2. Розглянемо простір . Нехай – фіксовані послідовності з . Тоді

є неперервним лінійним функціоналом.

Приклад 4.3. Розглянемо простір неперервних функцій , . Звичайний функціонал

є неперервним лінійним функціоналом. Задамо функцію . Тоді неперервним лінійним функціоналом буде інтеграл

.

Врешті-решт таким самим функціоналом буде інтеграл Стільєтса

для фіксованої .

Приклад 4.4. У просторі неперервним лінійним функціоналом буде інтеграл

,

де – фіксована функція.

4.2. Теорема Хана-Банаха

Теорема 4.1. Нехай – нормований простір, – його підпростір і – обмежений лінійний функціонал на . Цей функціонал може бути продовжений до деякого лінійного функціоналу на всьому просторі без збільшення норми, тобто

, ,

.

Ця теорема дає важливі наслідки, які покладено в основу багатьох результатів теорії оптимізації. Мова йде про теореми відокремлення.

Наслідок 4.1. Нехай і опуклі підмножини з нормованого простору , причому і . Тоді існує неперервний лінійний функціонал , який розділяє їх, тобто

.

Наслідок 4.2. Нехай замкнена опукла підмножина нормованого простору і . Тоді існує неперервний лінійний функціонал , який строго розділяє їх, тобто

.

Нагадаємо, що називається опуклою множиною, якщо для будь-яких і чисел , виконується

.

Наслідок 4.3. Для будь-якого власного підпростору банахового простору існує ненульовий неперервний лінійний функціонал , який дорівнює нулю на , тобто , .

Наслідок 4.4. Якщо – елемент нормованого простору , то існує такий неперервний лінійний функціонал на , що , .

4.3. Спряжені простори

Нехай лінійний нормований простір. Позначимо через множину всіх неперервних лінійних функціоналів на . Множина так само є лінійним нормованим простором. Дійсно, якщо , то їх сумою є функція така, що . Якщо і , то є функціоналом . Норма в задається формулою (4.2)

.

Неважко показати, що всі властивості норми додержуються. Простір називається спряженим з простором .

Теорема 4.2. Спряжений простір завжди повний.

Таким чином, не зважаючи на властивості , простір банахів. Крім того, , де – поповнення простору . Рівність мається на увазі з точністю до ізоморфізму.

Приклад 4.5. Нехай – -вимірний простір. Різні норми в індукують різні норми в . Ось кілька прикладів пар відповідних одна одній норм в і :

a)  , ;

b)  , , , ;

c)  , ;

d)  , .

Тут – координати вектора у базисі , – координати вектора у базисі Базиси в і мають зв’язок

Такі базиси називаються двоїстими.

Приклад 4.6. Розглянемо простір усіх збіжних до нуля послідовностей з нормою . Спряженим до нього є простір абсолютно всіх сумованих послідовностей з нормою .

Приклад 4.7. Простір ізоморфний простору , складеному з усіх обмежених послідовностей з нормою .

Приклад 4.8. Нехай . Розглянемо простір всіх послідовностей з нормою

Спряжений простір ізоморфний , де . Загальний вид лінійного функціоналу

, , .

Аналогічно, спряжений до простір ізоморфний , де . Загальний вид функціоналу

, , .

Теорема 4.2. Нехай – дійсний гільбертів простір. Для будь-якого неперервного лінійного функціонала на існує єдиний елемент такий, що

, , (4.3)

причому . Навпаки, якщо , то формула (4.3) визначає такий неперервний лінійний функціонал , що . Таким чином, формула (4.3) визначає ізоморфізм

між просторами і .

Сформульована теорема має аналог і в комплексному випадку. Таким чином, у гільбертовому випадку спряжені простори повністю описано.

Розглянемо другий спряжений простір . Зазначимо, що кожен елемент визначає деякий лінійний функціонал на . Дійсно, припустимо

,

де . Очевидно, що є неперервним лінійним функціоналом на . Тому . Якщо , то простір називається рефлексивним.

Простори з прикладів 4.5, 4.8 рефлексивні. Простір із прикладу 4.6 не є рефлексивними.

4.4. Слабка й сильна топології

Розглянемо нормований лінійний простір . Сильною топологією називається топологія, визначена нормою .

Для визначення топології в лінійному просторі досить задати систему околів нуля. Будь-яка точка буде мати таку саму систему зі зсувом на елемент . Ці околи визначатимуть базу топології. Для сильної топології відкритими є множини виду

, . (4.4)

Збіжність у сильній топології називається сильною збіжністю або збіжністю за нормою, тобто , якщо .

Нехай – довільний скінченний набір неперервних лінійних функціоналів, . Розглянемо тільки ті околи нуля, що мають вид

(4.5)

Побудована за цими околами топологія називається слабкою. Множину виду (4.4) не можна представити у виді (4.5). Тому слабка топологія має менше відкритих множин, ніж сильна.

Збіжність у слабкій топології називається слабкою збіжністю і її можна описати наступним чином. Послідовність слабо збігається до , якщо для будь-якого неперервного лінійного функціоналу виконується .

Очевидно, що зі слабкої збіжності не витікає сильна. Навпаки, з сильної збіжності витікає слабка.

Слабка топологія є найслабшою, якщо в ній усі, визначені вище неперервні лінійні функціонали, залишаються неперервними.

Теорема 4.3. Нехай – опукла підмножина нормованого простору . Тоді замикання в слабкій топології співпадає із замиканням у сильній топології.

Це означає, що якщо сильно замкнена й опукла, то вона й слабо замкнена. Опуклість тут грає вагому роль, оскільки сильно замкнених множин більше, ніж слабко замкнених.

Теорема 4.4. Нехай – нормований простір. Якщо слабко збігається до , то в знайдеться послідовність така, що:

1)  кожен вектор є опуклою комбінацією скінченного числа векторів ;

2)  збігається до у сильній топології.

Теорема 4.5. Якщо слабко збігається в нормованому просторі , то існує таке , що , , тобто ця послідовність обмежена в сильній топології.

Приклад 4.9. В слабка топологія співпадає з сильною. У нескінченновимірних просторах це не так.

Приклад 4.10. Розглянемо простір , послідовність і точку . Послідовність слабко збігається до , якщо для будь-якого . Не важко побачити, що послідовність , , , … слабко збігається до нуля. З іншого боку, для будь-якого , , значить, послідовність не збігається сильно до нуля.

Розглянемо слабку топологію у спряженому просторі. Вона вводиться за допомогою системи околів нуля виду

. (4.6)

Тут , – будь-який скінченний набір точок із ,. Така топологія називається слабкою* топологією. Оскільки , то в (4.6) використовуються не всі точки з , отже слабка* топологія слабша слабкої для простору . Вони співпадатимуть у випадку рефлексивності простору , тобто коли .

Слабка* збіжність функціоналів до функціоналу означає, що для кожного виконується , тобто збіжність повинна бути поточковою.

Теорема 4.6. Нехай – банахів простір, послідовність функціоналів із слабко* збігається. Тоді існує таке , що , , тобто послідовність обмежена в сильній топології простору .

Далі будемо вважати, що – нормований сепарабельний простір.

Теорема 4.7. Будь-яка обмежена послідовність неперервних лінійних функціоналів на

містить слабко* збіжну послідовність.

Теорема 4.8. Будь-яка обмежена множина є передкомпактною в слабкій* топології.

Теорема 4.9. Замкнений шар в компактний у слабкій* топології.

5. ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ

5.1. Визначення та приклади

Визначення 5.1. Нехай і – два лінійних простори. Лінійним оператором, що діє з в , називають відображення , , , яке задовольняє умові

, ; .

Сукупність всіх тих , для яких відображення визначено, називають областю визначення оператора.

Взагалі не передбачається, що , однак, як правило, вважають, що – лінійна многостатність, тобто

, , .

Далі будемо вважати, що , – нормовані простори, хоча деякі результати переносяться на топологічні простори.

Визначення 5.2. Оператор називається неперервним, якщо для будь-якого існує таке, що з нерівності

витікає

.

Множина таких, що , називається ядром оператора і позначається

.

Множина всіх , для яких при деякому , називається образом лінійного оператора і позначається . Ядро і образ є лінійними многостатностями. Якщо , то – підпростір, тобто замкнений.

Приклад 5.1. Оператор , заданий формулою для всіх , називається тотожним або одиничним оператором.

Приклад 5.2. Оператор , заданий формулою для всіх , називається нульовим оператором.

Очевидно, що оператори та є лінійними і неперервними.

Приклад 5.3. Нехай , ; – базис в , – базис в . Якщо , то . В силу лінійності маємо . Таким чином, оператор задано, якщо відомо, у що він переводить вектори . Розкладемо вектори на базиси . Маємо

.

Звідси виходить, що будь-який оператор задається матрицею , , . Крім того, будь-який лінійний оператор у скінченновимірному просторі є неперервним.

Приклад 5.4. Розглянемо гільбертів простір і в ньому підмножину . Скористаємося теоремою 3.4. Тоді будь-який елемент представимо у вигляді

, , .

Припустимо, що . Оператор називається оператором ортогонального проектування. Він лінійний і неперервний.

Приклад 5.5. Розглянемо у просторі оператор, визначений за правилом: кожній функції ставиться у відповідність функція

,

де – неперервна функція. Цей оператор лінійний і неперервний.

Приклад 5.6. У тому самому просторі розглянемо оператор

,

де – фіксована неперервна функція. Цей оператор також лінійний і неперервний.

Приклад 5.7. Розглянемо у просторі функцій оператор

.

Цей оператор визначений не на всьому просторі, а тільки на лінійній многостатності диференційованих функцій. Таким чином, – множина диференційованих функцій. Оператор – лінійний і неперервний. Дійсно, послідовність збігається у метриці до нуля. З іншого боку до нуля не збігається.

Приклад 5.8. Розглянемо простір неперервно диференційованих функцій з нормою

.

Оператор , визначений у прикладі 5.7, переводить в . У цьому випадку він лінійний і неперервний.

Приклад 5.9. Для того щоб оператор можна було використовувати кілька разів, розглядають простір всіх нескінченно диференційованих функцій з нормою

.

Тоді переводить простір сам у себе і є неперервним.

5.2. Обмеженість і неперервність операторів

Визначення 5.3. Лінійний оператор, діючий із в , називається обмеженим, якщо він переводить обмежену множину знову в обмежену і визначений на всьому .

Теорема 5.1. Лінійний оператор, визначений на всьому , неперервний тоді й тільки тоді, коли він обмежений.

В силу лінійності оператора обмеженість означає існування такого , що для всіх виконується

. (5.1)

Найменше з , що задовольняє нерівність (5.1), називається нормою оператора і позначається .

Теорема 5.2. Для будь-якого обмеженого оператора

. (5.2)

Оператори можна додавати і перемножати. Нехай і – два лінійні оператори, що діють із в . Сума і множення на число визначаються:

1)  ,

2)  .

Крім того, якщо і неперервні, то і також неперервні оператори, причому

.

Таким чином, множина всіх лінійних обмежених операторів, діючих із в , утворює лінійний нормований (з нормою (5.2)) простір, який позначається .

Теорема 5.3. Нехай простір банахів, тоді й також банахів.

Розглянемо тепер добуток операторів. Нехай діє з в , а оператор діє з в . Добутком називають оператор , який ставить у відповідність елементу елемент . Область визначення оператора складається з тих самих

таких, що . Оператор лінійний, якщо і лінійні, неперервний (обмежений), якщо і неперервні (обмежені). При цьому справедлива оцінка

.

5.3. Обернений оператор

Визначення 5.4. Оператор називається оборотним, якщо для будь-якого рівняння

(5.3)

має єдиний розв’язок.

Якщо оборотний, то кожному можна поставити у відповідність єдиний елемент , який є розв’язком рівняння (5.3). Оператор, який здійснює цю відповідність, називається оберненим до і позначається .

Теорема 5.4. Оператор , обернений до лінійного оператора , також лінійний.

Теорема 5.5. (Банаха про обернений оператор). Нехай – лінійний обмежений оператор, який взаємно однозначно відображає банахів простір на банахів простір . Тоді обернений оператор обмежений.

Наслідок 5.1. Лінійне неперервне відображення банахового простору на весь банахів простір є відкритим, тобто воно переводить відкриті множини у відкриті.

Теорема 5.6. Нехай і – банахові простори, оператор оборотний і такий, що . Тоді оператор існує і є обмеженим.

Теорема 5.7. Нехай – банахів простір, – тотожний оператор (приклад 5.1) в , а – обмежений лінійний оператор, який відображає в себе, такий, що . Тоді оператор існує, обмежений і його можна представити у вигляді

.

5.4. Спряжений оператор

Розглянемо неперервний лінійний оператор , який відображає в . Нехай , тобто лінійний неперервний функціонал, який діє на . Застосуємо до елемента . Тоді є лінійним неперервним функціоналом на . Позначимо його через . Таким чином . Отже виходить, що кожному поставлено у відповідність одиничний функціонал , тобто отримано деякий оператор, який відображає і . Цей оператор називається спряженим до оператора і позначається .

Позначимо значення функціоналу на елементі символом , а значення на – . Тоді одержимо або, оскільки , маємо

. (5.4)

У випадку гільбертового простору будь-який функціонал має вид (теорема 4.2)), де за мають на увазі скалярний добуток. Тому рівняння (5.4) для гільбертового простору може слугувати визначаючим для оператора .

Розглянемо скінченновимірний випадок із прикладу 5.3, де описується матрицею, транспонованою до матриці .

Справедливі наступні властивості:

1)  Оператор лінійний;

2)  ;

3)  .

Припустимо, що і є гільбертовим простором, тоді

4)  .

Теорема 5.8. Нехай і – банахові простори. Тоді

.

Лема 5.1. (про анулятор ядра оператора). Нехай – лінійний неперервний оператор, який відображає на , і – банахові простори. Тоді

.

Нехай є гільбертовим простором. Обмежений оператор , який діє в , називається самоспряженим, якщо, тобто

, .

5.5. Спектр оператора

Нагадаємо це поняття для скінченновимірного випадку.

Нехай – лінійний оператор у -вимірному просторі або . Число із або відповідно із називається власним значенням (числом) оператора , якщо рівняння має ненульовий розв’язок. Сукупність усіх власних значень називається спектром оператора , а решта всіх значень – регулярними. Іншими словами, є регулярним значенням, якщо оператор оборотний. При цьому оператор визначений на всьому просторі або та, як і будь-який оператор у скінченновимірному просторі, обмежений. Отже, у скінченновимірному випадку існує дві можливості:

1)  рівняння має ненульовий розв’язок, тобто є власним значенням для ; оператор при цьому не існує;

2)  існує обмежений оператор , визначений на всьому просторі, тобто є регулярною точкою.

У нескінченновимірному просторі існує ще третя можливість, а саме:

3)  оператор існує, тобто рівняння має лише нульовий розв’язок, але цей оператор визначений не на всьому просторі, і, можливо, необмежений.

Введемо таку термінологію. Число називається регулярним для оператора , який діє в дійсному чи комплексному банаховому просторі , якщо оператор визначений на всьому , а, отже (теорема Банаха), обмежений. Оператор називається резольвентою. Сукупність решти значень називається спектром. Спектру належать всі власні значення оператора , оскільки якщо при деякому , то не існує. Сукупність таких називається точковим спектром. Частина спектра, що залишилась, тобто ті , для яких існує, але визначений не на всьому , називається неперервним спектром.

Якщо точка регулярна, тобто оператор визначений на всьому і обмежений, то при достатньо малому оператор також визначений на всьому і обмежений (теорема 5.6), тобто точка також є регулярною. Таким чином, регулярні точки утворюють відкриту множину. Отже, виходить, що спектр як доповнення до цієї множини є замкнутою множиною.

Теорема 5.9. Якщо , то – регулярна точка.

Теорему 5.9 можна уточнити. Позначимо .

Виявляється, що спектр оператора повністю лежить у крузі радіуса з центром в нульовій точці. Величина називається спектральним радіусом оператора .

Приклад 5.10. У просторі розглянемо оператор , визначений формулою

.

Тоді

.

Оператор оборотний при будь-якому , оскільки з рівняння випливає, що . Однак, при обернений оператор, заданий формулою

,

визначений не на всьому і не обмежений. Визначений він тільки на тих , які мають вид , де . Таким чином, спектр оператора А неперервний і співпадає з відрізком .

Рекомендована література

, Элементы теории функций и функционального анализа.– М.: Наука, 1976. – 544 с. , Функциональний анализ. – М.: Мир, 1977. – 744 с. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975. – 443 с. Секефальви- Лекции по функциональному анализу. – М.: Мир, 1979. – 587 с. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 496 с.