Нелінійні апроксимаційні моделі

УДК 519.6

Нелінійні апроксимаційні моделі

Б. Попов, О. Лаушник, К. Сущик

Фізико-механічний інститут ім. Г. В Карпенка НАН України

вул. Наукова, 5, м. Львів, 79601, e-mail: *****@***

Запропоновано нелінійні апроксимаційні моделі зображення фізичних процесів у вигляді найкращого чебишовського нелінійного наближення та балансного наближення чебишовськими сплайнами з різними виразами на підінтервалах. Моделі ґрунтуються на понятті ядра наближення.

Ключові слова: ядро наближення, найкраще чебишовське наближення, балансне наближення чебишовським сплайном

1. ВСТУП

Математичні моделі багатьох фізичних явищ і процесів у механіці, електро - і радіотехніці, біології тощо можна отримувати, ґрунтуючись на фізичній теорії. Такий підхід часто приводить до потреби розв’язувати складні диференціальні або інтегральні рівняння, розв’язки яких в аналітичному вигляді, як звичайно, одержати не вдається. Іноді їх виражають через нескінченні ряди або спеціальні функції. Такі вирази можуть бути достатньо складними і з них важко зрозуміти характер зміни фізичного процесу. Тому часто користуються наближеними моделями, які будуються унаслідок припущення про певні значення окремих параметрів моделей.

Доцільно наближати складні аналітичні вирази, що описують модель, простішими функціональними залежностями, з яких можна зрозуміти характер зміни процесу. Для зображення точних моделей логічно використовувати найкраще чебишовське (мінімаксне) наближення окремими виразами або набором таких виразів, тобто застосовувати наближення сплайнами. Якщо на кожному інтервалі (ланці сплайна) максимальна похибка наближення однакова, то таке наближення називаємо балансним сплайн-наближенням. Балансне сплайн-наближення із ланками - найкращими чебишовськими наближеннями є і оптимальним [4, 10], тобто в разі вибору границь ланок сплайна з умов балансності за заданої кількості ланок отримуємо найменшу можливу похибку, а за заданої похибки - найменшу кількість ланок. Для адекватного зображення фізичних процесів наближаючі вирази і ланки сплайна доцільно вибирати серед різних раціональних та нелінійних виразів.

Такі математичні моделі використовують зрідка, оскільки відповідні обчислювальні методи складні і потребують завеликих обчислень. Далі пропонуємо деякі методи, що дають змогу значно спрощувати такі обчислення. Основою методів є перетворення ядер наближень [3, 5, 6, 9].

2. Ядро наближення

Відомо, що для функції максимальна похибка найкращого чебишовського наближення багаточленом степеня m на інтервалі має вигляд [1]

, (1)

де .

Припустимо, що в разі виконання певних умов для довільного виразу наближення , залежного від параметрів максимальну похибку найкращого чебишовського наближення функції на інтервалі можна записати у вигляді

. (2)

За виконання рівності (2) називають ядром наближення функції виразом . У загальному випадку вираз ядра залежить від похідних функції .

Теорема 1 [3]. Нехай функція при . Тоді при похибка рівномірного наближення функції на проміжку чебишовським сплайном з ланками матиме вигляд

. (3)

За формулою (3) можна знаходити похибки сплайн-наближень, фактично їх не обчислюючи. Цей вираз є основою виведення формул та алгоритмів для відшукання балансних наближень сплайнами. Для практичного використання формули (3) необхідно мати аналітичні вирази відповідних ядер. Далі наведемо теореми, що дають змогу визначати вирази ядер наближень за допомогою деяких поширених виразів.

Ядро наближення монотонним виразом від багаточлена можна визначити за допомогою теореми.

Теорема 2 [6]. Якщо на інтервалі існують найкраще чебишовське наближення функції виразом і найкраще чебишовське наближення функції виразом , де - монотонна неперервно диференційована функція, - обернена функція до, тоді для ядер наближень виконується співвідношення

. (4)

Співвідношення типу (4) для конкретної монотонної функції можна одержати автоматично з використанням системи комп’ютерної алгебри Maple V Release 5:

.

Наведені властивості виразів ядер були відомі раніше [3]. За формулою (4) можна виявити багато нових властивостей ядер.

Для того, щоб одержати вираз ядра наближення для раціонального багаточлена

, (5)

де - цілі числа, нам потрібна теорема про ядро наближення цим виразом.

Теорема 3 [5]. Для раціонального виразу (5) ядро наближення

, (6)

де

отримують з рекурентного співвідношення

,

Наведені вище формули були реалізовані у вигляді процедур у системі Maple 5 Release 5 [8]. Приклади застосування цих процедур наведені нижче.

Приклад 1. Для довільної функції ядро наближення дробово-лінійного виразу при матиме вигляд

.

2. Алгоритми побудови балансного наближення сплайном із заданою кількістю ланок

Для знаходження границь ланок при балансному наближенні функції сплайном з ланками - найкращими чебишовськими багаточленними наближеннями степеня m Г. Мейнардус [7] запропонував ітераційну формулу для розв’язування системи -го рівняння із -м невідомим :

(7)

де , наступне значення ; початкові значення точок поділяють проміжок на рівні частини. Формулу (7) узагальнено [3, 9] на випадок балансного зваженого наближення довільним сплайном з ланками вигляду , причому . Ітераційна процедура (7) може збігатися, якщо функція не змінює знака на проміжку . Можна довести, що достатньою (але не необхідною) умовою збіжності ітераційної процедури (7) є , де

. (8)

Якщо ітераційна процедура (7) не збігається, то для знаходження балансного наближення із заданою кількістю ланок використовують складніший алгоритм [2]. Наведемо приклад відшукання наближення чебишовським сплайном з використанням (7).

Приклад 2. Знайти наближення функції чебишовським сплайном з трьома ланками вигляду на проміжку . Підставивши значення функції у вираз (6), одержимо аналітичний вираз ядра наближення: . Далі підставимо значення ядра у вираз (8) і отримаємо: . Очевидно, що при маємо , і тому ітераційна процедура (7) повинна збігатися. Результатом є сплайн-наближення LN, максимальні похибки на кожній ланці, а також коефіцієнт балансності , що характеризує близькість сплайн-наближення до балансного і дорівнює відношенню максимальної похибки до середньої на ланках. Коефіцієнт ; при маємо балансне наближення;

.

Відмінність максимальних похибок на різних ланках незначна. Максимальна похибка балансного наближення , що у 2.4 раза менше від похибки аналогічного наближення із рівновіддаленими вузлами (). Крива похибки наближення за допомогою виразу LN на проміжку (рис. 1) підтверджує балансність наближення.

Рис. 1.Крива похибки наближення виразом LN.

3. Алгоритми побудови найкращого чебишовського наближення виразом від раціонального багаточлена

Теоретичні дослідження найкращого чебишовського наближення функції монотонним виразом від багаточлена свідчать, що точні числові алгоритми для отримання їхніх параметрів є досить складними [4, 10]. Застосування сучасних систем комп’ютерної алгебри дає змогу суттєво спростити ці алгоритми. Далі описано деякі порівняно прості методи для дослідження властивостей і знаходження параметрів найкращого чебишовського наближення монотонним виразом від раціонального багаточлена

. (9)

Теорема 4 [6]. Нехай для - монотонна на проміжку . Нехай, крім того, існують єдині

найкраще чебишовське наближення з вагою функції виразом з максимальною зваженою похибкою ;

найкраще чебишовське наближення з вагою до функції виразом з максимальною зваженою похибкою .

Позначимо . Тоді , .

Теорема дає змогу замінити складну задачу найкращого чебишовського наближення нелінійним виразом (9) простішою задачею - знаходженням найкращого чебишовського наближення раціональним виразом (5) зі зміненою наближуваною функцією і вагою.

Приклад 3. Порівняємо найкраще абсолютне чебишовське наближення модифікованої функції Бесселя нульового порядку раціональним багаточленом при (m) з наближенням експонентою від раціонального багаточлена , при (eхx). Функція наближення є парною і має властивість . Вирази відповідних наближень наведено нижче:

;

.

Максимальні похибки наближень та , відповідно. Похибка в 49 разів менша, ніж . Крива похибки наближення модифікованої функції Бесселя нульового порядку за допомогою виразу ехх на проміжку [-8,8] (рис. 2) підтверджує, що наближення є найкращим чебишовським наближенням.

Рис. 2. Крива похибки наближення функції виразом ехх.

4. висновки

Наведені властивості та процедури можуть бути успішно використані для зображення моделей фізичних процесів у вигляді найкращого чебишовського нелінійного наближення та балансного наближення чебишовськими сплайнами з різними виразами на підінтервалах.

ЛІТЕРАТУРА

1.   С. Численные методы. Москва: Наука, 1973.

2.   І., Алгоритм знаходження рівномірного наближення функцій сплайнами із заданою кількістю ланок // Відбір і обробка інформації. 1998. Вип. 12(88). С. 119-124.

3.   Равномерное приближение сплайнами. Киев: Наукова думка, 1989.

4.   , Приближение функций для технических приложений. Киев: Наукова думка, 1980.

5.   , І. Визначення похибок рівномірного наближення раціональними сплайнами із ланками, залежними від  // Доповіді НАН України. 1999. № 3. С. 40-43.

6.   , Точність наближення функцією від раціонального многочлена // Відбір і обробка інформації. 2000. Вип. 14(90). С. 137-141.

7.   Meinardus G. Segmentapproximation mit Polynomes // ZAMM. 1966. Vol. 46. № 3/4. P. 239-246.

8.   Monagan M. B., Geddes K. O., Heal K. M. et al. Maple V Release 5. Programming Guide. N. Y.: Springer-Verlag, 1998.

9.   Popov B. A. Information Technology of the Formulaic Representation of Physical Relationships // Pattern Recognition and Image Analysis. 1994. Vol. 4. № 3. P.306-312.

10. Rice J. R. The Approximation of functions. Nonlinear and multivariate theory. Vol.  2. Massachusetts: Mass. Read, 1969.

Non-Linear approximation models

B. Popov, O. Laushnyk, K. Sushchyk

Karpenko Physico-Mechnical Institute of NAS of Ukraine

Naukova str, 5, Lviv, 79601, e-mail: *****@***

The non-linear approximation models for physical processes presentation in the format of the best Chebyshov non-linear approximation and balanced Chebyshov spline approximation with different expressions on subintervals are proposed. The models are based on the conception of approximation kernel.

Key words: approximation kernel, the best Chebyshov approximation, balanced approximation by Chebyshov spline

Стаття надійшла до редколегії

Прийнята до друку

© 2002