11 класс

11 класс

1. Футболист хочет попасть мячом в перекладину ворот, расположенную на расстоянии S по горизонтали и на высоте Н над поверхностью Земли. Какую наименьшую скорость и0 он должен сообщить мячу? Определить начальный угол полета мяча a0 по отношению к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебречь (10б.).

Возможное решение.

Начало системы отсчета поместим в точку, где находится мяч, оси системы направим горизонтально и вертикально. Если удар произведен под углом a к горизонту с начальной скоростью u0, а траектория мяча проходит через точку с координатами S и Н, то справедливо соотношение

. (1)

Найдем отсюда u02:

. (2)

Задача теперь состоит в подборе такого значения a, при котором величина u02 минимальна. Обозначив , произведем тригонометрические преобразования выражения (2)

(3)

Очевидно, это выражение минимально когда синус максимален ( равен 1), тогда

(4)

Это достигается при начальном угле

. (5)

Тогда

. (6)

Интересно отметить, что траектория мяча, соответствующая найденным величинам a0 и u0min, имеет вид, указанный па рис. 1.1 сплошной линией. Вершина траектории расположена по горизонтали ближе к футболисту, чем перекладина, и находится выше нее. Мяч попадает в перекладину на излете (т. е. когда вертикальная составляющая его скорости направлена вниз). Пунктиром на рис. изображена траектория, вершина которой совпадает с положением перекладины.

Примерные критерии оценивания
	Махбал.
Уравнения (1),(2)	2
Преобразования (3)	3
Уравнение (4),(6)	3
Выражение для a0 (5)	2

2. Найти удельную теплоемкость идеального одноатомного газа, если нагревание осуществляется так, что среднеквадратичная скорость и теплового движения его атомов массой т увеличивается прямо пропорционально давлению р.

Возможное решение.

Как известно, частицы идеального газа не взаимодействуют между собой. Следовательно, внутренняя энергия такого газа определяется лишь кинетической энергией хаотического движения его частиц. При использовании шкалы температур Кельвина внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа равна 3RT/2, где R – универсальная газовая постоянная. С другой стороны, кинетическая энергия одного моля частиц массой т, среднеквадратичная скорость которых равна и, равна ти2NA/2, где NA – число Авогадро. Поэтому, вспоминая, что постоянная Больцмана k = R/NA, можно утверждать, что абсолютная температура таких частиц Т = ти2/3 k. По условию задачи нагревание ведется так, что среднеквадратичная скорость и теплового движения атомов и давление газа р связаны между собой соотношением: и = a р, где a - постоянный коэффициент пропорциональности. Поэтому, учитывая, что согласно уравнению Клапейрона-Менделеева объем одного моля идеального газа при давлении р и температуре Т равен V = RT/p, можно утверждать, что с ростом температуры объем газа и его давление р будут увеличиваться пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры. Следовательно, при заданном способе нагревания одновременно будет увеличиваться внутренняя энергия газа и газ будет совершать работу. Если, как обычно, считать, что нагревание газа происходит столь медленно, что он практически все время находится в состоянии термодинамического равновесия, то зависимость давления газа от занимаемого им объема согласно сказанному должна иметь вид, показанный на pV – диаграмме (см. рис. 2.1).

Поскольку, силы, действующие на стенки сосуда со стороны газа, при квазиравновесном изменении его состояния направлены перпендикулярно стенкам, работа газа при увеличении его объема на величину при постоянном давлении р равна ΔA = p ΔV. Поэтому можно утверждать, что работа газа при квазиравновесном изменении давления пропорциональна площади р – диаграммы, ограниченной графиком р(V), перпендикулярами, восставленными к оси V в точках, соответствующих начальному V1 =V (Т) и конечному V2 = V (Т +Δ Т) объемам газа, и осью V. Используя формулу для вычисления площади трапеции, найдем работу моля газа при его нагревании от температуры Т до температуры Т + ΔТ:

A(T, T + ΔТ) = (p1 + p2)(V2 – V1)/2 = R ΔТ/2,

т. к. согласно сказанному ранее при температуре Т объем моля газа и его давление должны быть равны

V (Т) = a R (mT / 3k)1/2 и p(T) = a-1(3k T/m)1/2.

На основании этого с учетом первого закона термодинамики можно утверждать, что для увеличения температуры моля газа при заданных условиях на ΔТ градусов необходимо затратить количество теплоты ΔQ = ΔWm + ΔA = 2R ΔТ. Следовательно, молярная теплоемкость газа сμ = 2 R, а т. к. масса моля данного газа μ = m NА, то искомая удельная теплоемкость должна быть равна

с = сμ/μ = 2k m.

Примерные критерии оценивания
	Махбал.
Определение зависимости P,V от T	2
Выявление зависимости Р от V	3
Определение изменения внутренней энергии	1
Определение работы, совершенной газом	2
Выражение для теплоемкости	2

3. Металлический шар радиусом r, удаленный от других предметов, заземлен через резистор R. На шар налетает пучок электронов, скорость которых вдали от шара была u. В секунду на шар попадает n электронов. Какое количество теплоты выделяется на шаре за секунду? Каков заряд шара? Решите задачу различными способами.

Возможное решение.

Вариант решения 1. Полная энергия, приносимая электронами за секунду . Через резистор течет ток: I = - ne (число уходящих в землю электронов = числу электронов, попадающих на шар за то же время). В резисторе переходит в тепло энергия за 1 сек Р=I2R = (ne)2R.

По закону сохранения энергии, количество теплоты, выделяющееся на шаре будет равно:

Q = – (ne)2R (1 –

Потенциал шара будет: (разность потенциалов между шаром и землей) φ = IR = - neR.

С другой стороны

. q = 4 πε0 rφ = - 4 πε0 rneR. (2)

Примечание:

Электроны попадут на шар, если их кинетическая энергия больше работы, затраченной на преодоление отталкивания от шара:

> - e φ. (3)

Подставляя φ = - neR, перепишем это условие в виде: . При этом выражение в скобках формулы (1) будет положительным Q > 0. Если число попадающих электронов больше nкр, то потенциал шара постепенно уменьшается, и, начиная с некоторого момента, электроны перестали бы попадать на шар из-за электрического отталкивания.

Вариант решения 2. Представим нашу систему как электрическую цепь, состоящую из источника с ЭДС e и двух последовательно соединенных резисторов Rш (для шара) и R. Источник тока – это электронная пушка, для которой , следовательно э. д.с. источника , электрический ток I = ne. Тепловыделение равно Q = I2Rш = (ne)2 Rш.

По закону Ома для полной цепи e = I (R + Rш) , тогда Rш = e/I – R = , (4)

тогда Q = (1 – ).

Примерные критерии оценивания
	Мах. бал.
Соотношение (1)	3
Соотношение (2)	2
Обсуждение рамок применимости решения задачи	1
Введение э. д.с. электронной пушки	1
Соотношение (4)	3

4. Равномерно заряженное тонкое кольцо с зарядом q находится на расстоянии a от заземленного металлического шара радиусом R (рис. 4.1). Радиус кольца r. Определить заряд шара.

Возможное решение.

Элементарные заряды Dqi, находящиеся на кольце, в центре сферы создают потенциалы

, (1)

тогда их общий потенциал равен

. (2)

Наведенные на шаре элементарные заряды Dq j распределяются по поверхности и создают в его центре потенциалы

, (3)

следовательно, их общий потенциал определяется соотношением

, (4)

где q/ – заряд наведенный на шаре. Т. к. внутри металлического шара результирующий потенциал везде одинаков и равен нулю (из-за заземления), имеем

j = j1 + j2 = 0, (5)

из соотношений (2), (4), (5) имеем

. (6)

Примерные критерии оценивания
	Мах. бал.
Соотношения (1),(2)	3
Соотношения (3),(4)	3
Соотношения (5)	2
Выражение (6)	2

5. Две пластинки освещаются монохроматическим светом. Угол падения на первую (зеркальную) пластинку равен 45о. Определить угол падения света на вторую (черную) пластинку, если давление света на них одинаково.

Возможное решение.

Считаем, как и при объяснении фотоэффекта, что каждый падающий фотон обладает порцией энергии и импульсом рф. Один падающий под углом a фотон передает стенке в направлении оси х (рис. 5.1) импульс:

при отражении на зеркальной пластинке

D p1 = 2 рф cos a1 , (1)

при поглощении на черной пластинке

D p2 = рф cos a2 , (2)

Так как поток фотонов в обоих случаях одинаков, число фотонов DN, падающих на единичную площадку поверхности DS в единицу времени, зависит от ориентации пластинки (от угла a)

DN = n0 DS^ = n0 DS сos a, (3)

где DS^ – соответствующая площадка перпендикулярная потоку (рис. 5.1), n0 – плотность потока фотонов (число фотонов, проходящих, через единичную площадку перпендикулярную потоку за единицу времени).

Давление P определяется общим импульсом, переданным фотонами в направлении оси x единичной площадке за единицу времени (D t = 1 с), следовательно

P = DN Dp . (4)

Тогда давления на зеркальную и черную пластинки равны

P1 = 2 n0 рф сos2 a1 , P2 = n0 рф. сos2 a

Т. к. по условию задачи они одинаковы P1 = P2, имеем

сos2 a2 = 2 сos2 a1 = 1 , (6)

следовательно, a2 = 0 град.

Примерные критерии оценивания
	Мах. бал.
Соотношения (1),(2)	3
Соотношения (3),(4)	4
Соотношения (5), (6)	3