Балансовые модели

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Кафедра «высшая математика»

БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ

Методические указания

к практическому занятию по дисциплине

«Экономико-математические методы»

РПК «Политехник»

Волгоград

2007

ББК 65в 631

Б 20

БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ: Методические указания к практическому занятию по дисциплине «Экономико-математические методы» / Сост. C. В. Мягкова; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 11 с.

Содержат теоретический материал, примеры решения задач по данной теме и задачи для контрольной работы.

Предназначены для студентов, обучающихся по специальности 060500 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит».

Табл. 3. Библиогр. 2 назв.

Рецензенты: к. м. н. В. Ф Казак., к. э. н.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский

государственный

технический

университет, 2007

Введение

Методические указания предназначены для проведения первого практического занятия для студентов 3-го курса специальности 060500 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит».

Данная работа поможет студентам научиться составлять межпродуктовый баланс производства и распределения продукции экономико-математическими методами, а так же привить студентам умение самостоятельно изучать литературу по экономико-математическому моделированию.

В начале практического занятия студентам под руководством преподавателя необходимо изучить теоретическую часть и лишь потом, ответив на контрольные вопросы приступить к решению задачи.

Тема: балансовые модели.

Цель: научить студентов составлять баланс производства и распределения продукции предприятия.

Время проведения: 2 часа.

Порядок проведения:

§  изучить теоретический материал;

§  ответить на контрольные вопросы;

§  разобрать предложенный пример;

§  выполнить самостоятельно индивидуальное задание.

1. Основные теоретические положения

Матричные (балансовые) модели представляют собой математическое выражение балансового метода планирования (метод взаимного сопоставления затрат и результатов).

Матричные модели включают в себя общий принцип построения задач, единство системы расчетов и аналогичность ряда экономических характеристик.

В качестве примера указанных моделей рассмотрим статические динамические модели межотраслевого стоимостного баланса, межпродуктовый баланс для обеспечения взаимоувязки планов производства группы предприятий или обособленных подразделений (цехов или иных структур) одной организации.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта по отраслям, межотраслевые потоки, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Экономико-математические методы (ЭММ) межотраслевого баланса представляет собой систему уравнений, отражающих функциональную взаимосвязь включенных в его систему элементов:

где - вектор валовой продукции,

- вектор конечной продукции (конечное потребление и накопление).

– производственные (материальные)затраты -й отрасли продукции -й отрасли в течении планового периода (например, если отрасль 1– угольная, отрасль 2 – черная металлургия, то – годовые затраты угля на производство черных металлов).

С учетом того, что = система уравнений перепишется в виде:

или в более компактном виде:

,

(запись с использованием знаков суммирования):

,

(запись в матричной форме).

Именно, в этих двух формах записи и используется ЭММ межотраслевого баланса, которую называют моделью Леонтьева или моделью «затраты – выпуск».

Элементы матрицы А называют коэффициентами прямых (материальных) затрат – это затраты -й отрасли на единицу (рубль) валовой продукции -й отрасли.

В матричной форме модель Леонтьева можно записать в виде:

или .

Последнее соотношение можно использовать для анализа и планирования решения следующих задач:

§  определение объемов конечного продукта отраслей по заданным объемам валовой продукции:

;

§  определение валовой продукции отраслей по заданным объемам конечной продукции:

.

Элементы - обратной матрицы называют коэффициентами полных (материальных) затрат – это затраты

-й отрасли на каждый рубль конечной продукции .

Соответственно матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат, а матрицу А – матрицей коэффициентов прямых затрат.

Неотрицательную матрицу называют продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор Х > 0,

что (Е - А)Х > 0.

Это определение имеет простой экономический смысл: матрица А продуктивна, если существует такой план Х, что каждый объект (отрасль, предприятие, цех) может произвести некоторое количество конечной продукции.

Продуктивность матрицы является необходимым и достаточным условием существования, единственности и неотрицательности решения системы уравнений при любом неотрицательном векторе .

Поэтому для определения продуктивности матрицы А надо чтобы выполнялись условия:

§  существовала обратная матрица .

§  максимальное собственное число* матрицы А было меньше единицы, т. е. (собственными числами квадратной матрицы А называются корни характеристического уравнения ).

2. Пример

Оценить продуктивность матрицы:

.

Решение

Рассмотрим матрицу:

.

Найдем её определитель:

,

значит обратная матрица - существует.

Рассмотрим характеристическое уравнение .

;

;

.

Таким образом, , следовательно, матрица А продуктивна.

Рассмотрим межпродуктовую балансовую модель на примере предприятия, у которого в каждом цехе производиться один вид продукции в объёме . Отдельный вид продукции может быть использован как промежуточный продукт, идущий на внутреннее потребление (передаваемый другим цехам), и как конечный продукт, поступающий непосредственно потребителю.

Обозначим через - количество продукции – -го вида, потребляемой для изготовления j-й продукции в количестве , через – выпуск конечной продукции -го вида.

Общий (валовый) выпуск продукции i-го вида (потребность в ее производстве) равен сумме промежуточного и конечного продукта:

.

Обозначим через норму расхода продукции i-го вида на производство продукции j-го вида, т. е. – это коэффициент прямых затрат, значит . Тогда . Система балансовых уравнений в матричной форме имеет вид .

Используя это матричное уравнение, можно найти:

§  валовой выпуск продукции Х;

§  распределение продукции между цехами путем умножения коэффициентов прямых затрат на общий выпуск:

.

2.1. Задача

Предприятие выпускает продукцию трех видов, причем каждое из его структурных подразделений (цехов) специализируется на выпуске только одного вида: первый цех выпускает продукцию первого вида, второй – продукцию второго вида, третий - продукцию третьего вида. Часть продукции идет на внутреннее потребление, остальная часть является конечным продуктом.

Имеются экономические оценки коэффициентов прямых затрат и объемов конечной продукции:

.

Требуется составить баланс производства и распределения продукции предприятия.

Решение

Модель баланса производства и распределения продукции предприятия можно представить следующей системой уравнений:

,

где Х1, Х2, Х3 – количество продукции соответственно первого, второго и третьего вида.

Решим систему уравнений методом полного исключения неизвестных и определим валовую продукцию цехов X1, X2, X3:

значит:

.

Распределение продукции между цехами на внутреннее потребление определяем из соотношения:

т. е. и т. д.

В итоге плановая модель – баланс производства и распределения продукции предприятия – будут иметь следующий вид табл. 1.

Таблица 1

Межпродуктовый баланс производства и распределения продукции
Производящие структуры	Потребляющие структуры	Конечный продукт	Валовый продукт
1	2	3
1	6,0	12,0	6,0	36	60
2	12,0	8,0	9,0	11	40
3	6,0	4,0	12,0	8	30
Итого:	24	24	27	55	130

3. Задачи к самостоятельной работе

Заданы матрица коэффициентов прямых затрат трех отраслей и вектор конечной продукции Y.

Требуется:

1. проверить продуктивность матрицы А;

2. построить баланс производства и распределения продукции отраслей.

(В табл. 2 указан номер задачи. В соответствии с ним из табл. 2 выберите числовые значения для табл. 3).

Таблица 2

№	Для первой строки	Для второй строки	Для третей строки
1А	2А	3А	4А	1Б	2Б	3Б	4Б	1В	2В	3В	4В
1	0,1	0,2	0,1	200	0,2	0,1	0	150	0	0,2	0,1	250
2	0	0,1	0,2	180	0,1	0,2	0,1	200	0,2	0,1	0,2	200
3	0,2	0,1	0,2	150	0	0,1	0,2	180	0,1	0	0,1	100
4	0,1	0	0,1	100	0,1	0	0,2	300	0,2	0,1	0	160
5	0,2	0,3	0	120	0,3	0,1	0,2	250	0,1	0	0,3	180
6	0,3	0,4	0,1	200	0,1	0,2	0,4	300	0,3	0,4	0,1	200
7	0,1	0,2	0,4	100	0	0,4	0,1	200	0,1	0,3	0,4	100
8	0	0,4	0,1	160	0,4	0,1	0	180	0,3	0	0,1	150
9	0,4	0,2	0,3	180	0,2	0,1	0	200	0,2	0,1	0	160
10	0,1	0,1	0,2	160	0,1	0,2	0,3	180	0,2	0,2	0,3	170

Таблица 3

Отрасли	Коэффициенты прямых затрат,	Конечный продукт Y
1	2	3
1	1А	2А	3А	4А
2	1Б	2Б	3Б	4Б
3	1В	2В	3В	4В

4. Контрольные вопросы

1. Из чего состоит экономико-математическая модель межотраслевого баланса?

2. Какая матрица называется продуктивной?

3. Какие условия должны выполнятся, чтобы матрица была продуктивной?

4. Какой вид имеет система балансовых уравнений в матричной форме?

5. Литература

1.Федосеева -математические методы и прикладные модели. Учебное пособие. М.,: ЮНИТИ, – 1999 .г

2. Орлова -математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel: Практикум. М.: Финстатинформ, –

2000 г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………3

1. Основные теоретические положения………………………………..3

2. Пример……………………………….………………………………..5

2.1. Задача………………………………………………………………..7

3. Задачи к самостоятельной работе…..……………………………….8

4. Контрольные вопросы………………………………………………..9

5. Литература…………………………………………………………….9

Составитель: Светлана Васильевна Мягкова

БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ

Методические указания к практическому занятию

по дисциплине «Экономико-математические методы»

Под редакцией автора

Темплан 2007 г., поз. № 47.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,69. Усл. авт. л. 0,5.

Тираж 50 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.