Интегрирование функций

Интегрирование функций.

Задание №1.

Вычислить интеграл по формуле трапеций и оценить погрешности

function f(x: real): real;

begin

f:=ln(x);

end;

function Trapec(a, b: real;n: integer): real;

var

k: integer;

h, I,x: real;

begin

h:=(b-a)/n;

x:= a;

i:=0;

for k:= 1 to (n-1) do begin

x:=x+h;

I:=I+f(x);

end;

trapec:=(I+f(a)/2+f(b)/2)*h;

end;

begin

writeln(Trapec(4,5.2,6));

readln;

end.

Интеграл равен 1,8276

Оценка погрешности.

0,

a=4

b=5,2

n=6

h=(b-a)/n=0,2

Rтрап==2,2675e-4

Задание №2.

Вычислить интеграл по формулам трапеций и Симпсона с точностью до , определяя шаг интегрирования по оценке остаточного члена.

Определим шаг интегрирования по формуле трапеций

Rтрап=

Определим шаг интегрирования по формуле Симпсона.

function f(x: real): real;

begin

f:=sqrt(1+sin(x)*sin(x));

end;

function Trapec(a, b: real;n: integer): real;

var

k: integer;

h, I,x: real;

begin

h:=(b-a)/n;

x:= a;

i:=0;

for k:= 1 to (n-1) do begin

x:=x+h;

I:=I+f(x);

end;

trapec:=(I+f(a)/2+f(b)/2)*h;

end;

function Simps(a, b: real;n: integer): real;

var

k: integer;

h, I,x: real;

begin

h:=(b-a)/n;

x:= a;

i:=0;

for k:= 1 to n do begin

x:=x+h;

I:=I+f(x-h)+4*f(x-h/2)+f(x);

end;

simps:=I*h/6;

end;

begin

writeln(Trapec(0,pi/2,39));

writeln(Simps(0,pi/2,15));

readln;

end.

Задание №3.

Вычислить интеграл по формулам трапеций и Симпсона с точностью , определяя шаг интегрирования с помощью двойного пересчёта

begin

n:=1;

i:=trapec(0, 0.5, n);

repeat

i0:=i;

n:=n*2;

i:=trapec(0, 0.5, n)

until abs(i-i0)/3<=e;

writeln('n=',n);

writeln('i=',i);

readln;

end.

N=256;

I=0,4867334;

begin

n:=1;

i:=simps(0, 0.5, n);

repeat

i0:=i;

n:=n*2;

i:=simps(0, 0.5, n)

until abs(i-i0)/15<=e;

writeln('n=',n);

writeln('i=',i);

readln;

end.

N=16;

I=0,4867334;

Задание №4.

Найти с точностью до длины дуг лемнискаты ,

Длина дуги вычисляется по формуле:

Вычисление дуги лемнискаты.

function f(x: real): real;

begin

f := sqrt(2*cos(x) + sqr(sin(x))/2/cos(x));

end;

begin

n:=1;

a:=Pi/36;

h:=pi/36;

b:=a+h;

l:=0;

while b<=Pi/4 do begin

n:=1;

i:=simps(a, b, n);

repeat

i0:=i;

n:=n*2;

i:=simps(a, b, n)

until abs(i-i0)/15<=e;

a:=a+h;

b:=a+h;

l:=l+i;

end;

writeln('l=',l);

readln;

end.

Задание №5.

Вычислить интеграл по формуле Гаусса, применяя для оценки точности двойной пересчёт (при и ).

Вычислим интеграл по формуле , где .

function f(x: real): real;

begin

f:=x/sqrt(3+x*x*x);

end;

function Gauss4(a1,b1: real;n1: integer): real;

const

n=4;

var

a, x: array [1..n] of real;

h: real;

i: real;

j, k: integer;

begin

a[1]:=0.;

a[2]:=0.;

a[3]:=a[2];

a[4]:=a[1];

x[1]:=-0.;

x[2]:=-0.;

x[3]:=-x[2];

x[4]:=-x[1];

h:=(b1-a1)/n1;

b1:=a1+h;

i:=0;

for k:=1 to n1 do begin

for j:=1 to n do

i:=i+a[j]*(f(x[j]*(b1-a1)/2+(b1+a1)/2))*(b1-a1)/2;

a1:=b1;

b1:=b1+h;

end;

gauss4:=i;

end;

var

i1,i2:real;

begin

i1:=Gauss4(1, 2.6 ,1);

i2:=Gauss4(1, 2.6 ,2);

writeln('i1=', i1);

writeln('i2=', i2);

writeln('R=',abs(i1-i2)/127);

readln;

end.

При n=5.

function f(x: real): real;

begin

f:=x/sqrt(3+x*x*x);

end;

function Gauss5(a1,b1: real;n1: integer): real;

const

n=5;

var

a, x: array [1..n] of real;

h: real;

i: real;

j, k: integer;

begin

a[1]:=0.;

a[2]:=0.;

a[3]:=0.;

a[4]:=a[2];

a[5]:=a[1];

x[1]:=-0.;

x[2]:=-0.;

x[3]:=0;

x[4]:=-x[2];

x[5]:=-x[1];

h:=(b1-a1)/n1;

b1:=a1+h;

i:=0;

for k:=1 to n1 do begin

for j:=1 to n do

i:=i+a[j]*(f(x[j]*(b1-a1)/2+(b1+a1)/2))*(b1-a1)/2;

a1:=b1;

b1:=b1+h;

end;

gauss5:=i;

end;

var

i1,i2: real;

begin

i1:=Gauss5(1, 2.6 ,1);

i2:=Gauss5(1, 2.6 ,2);

writeln('i1=', i1);

writeln('i2=', i2);

writeln('R=',abs(i1-i2)/1023);

readln;

end.

Интеграл равен 0,93376

При n=4 погрешность равна 3,03*10-9

При n=5 погрешность равна 1,51*10-10