Лекция 6. Законы распределения дискретных случайных величин
6.1. Схема повторных испытаний. Биномиальное распределение
Обсудим следующие примеры.
Пример 6.1.
Монета подбрасывается 4 раза, пусть Х — число появившихся гербов.
Пример 6.2.
Известно, что в определенном городе 30% горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 8 человек. Пусть У— число людей в выборке, предпочитающих личный автотранспорт.
Пример 6.3
Известно, что 15% деталей, произведенных автоматом, — бракованные. В порядке случайного отбора взято 12 деталей. Пусть Z— число дефектных деталей.
Что характерно для случайных величин X, Y, Z? Они являются примерами дискретных величин, подчиняющихся специальному вероятностному закону распределения, известному как биноминальное распределение.
Биномиальное распределение базируется на эксперименте, состоящем в последовательности испытаний Бернулли (или, как ее еще называют, схеме повторных испытаний}.
Свое название эти испытания получили в честь одного из трех знаменитых математиков, братьев Бернулли, -~ Джеймса Бернулли (1654—1705), который первым представил формализованную схему таких испытаний.
Испытания Бернулли — это последовательность п идентичных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:
1. Каждое испытание имеет два исхода: успех и неуспех. Эти два исхода — взаимно несовместные и противоположные события.
2. Вероятность успеха, обозначаемая р, остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха обозначается q, где q = 1 — р.
3. Все п испытаний — независимы. Это означает, что вероятность наступления события в любом из испытании не зависит от результатов других испытаний.
Успех и неуспех — статистические термины, и нет необходимости вкладывать в них обыденный смысл. Например, когда имеют дело с производственным процессом, то исход испытания едеталь дефектная» определяют как успех. Успех относится к появлению определенного события — <деталь дефектная», а неуспех относится к непоявлению события. Определим случайную величину как биномиальную, если для нее мы рассчитываем число успехов и неуспехов в последовательности п испытаний Бернулли.
Случайная величина, для которой вычисляется число успехов в п повторных испытаниях, где р — вероятность успеха в любом из заданных испытаний, а q = (1 — р) — соответствующая вероятность неуспеха, подчиняется закону биномиального распределения с параметрами п и р.
Вернемся к примерам, которые были приведены выше. Все перечисленные в них дискретные случайные величины подчиняются закону биномиального распределения.
>• В примере 6.1 п = 4, р = 0,5 — параметры биномиального распределения случайной величины X. Последовательные подбрасывания монеты — независимые эксперименты; исходы — «цифра» или «герб» (успех или неуспех) и вероятности их выпадения остаются постоянными от испытания к испытанию.
>• В примере 6.2 п = 8, р = 0,3 — параметры биномиального распределения случайной величины Y. Заметим, что случайная выборка из большой генеральной совокупности предполагает независимость испытаний. Мы полагаем, что число людей в городе (генеральная совокупность) намного больше, чем число испытаний, и случайный отбор небольшого числа людей не влияет на ту часть оставшихся горожан, которые предпочитают Добираться до работы на личном транспорте (т. е. события «предпочитает личный транспорт» для любых выбранных горожан — независимы). Если же в нашей генеральной совокупности только 10 человек, трое из которых предпочитают личный транспорт, то ситуация меняется. Вероятность того, что следующий отобранный предпочтет также личный транспорт, составит уже только 2/9 » 0,22 или 3/9 я 0,33 в зависимости от того, предпочитает ли отобранный человек личный транспорт или нет. В этом случае условия 2 и ^испытаний Бернулли будут нарушены, и Кие будет биномиальной случайной величиной. Чем больше объем генеральной совокупности в сравнении с выборкой, тем менее серьезным является нарушение условий 2 и 3. На практике пользуются правилом, согласно которому, если N/n > 10 (где N — объем генеральной совокупности, а
n— объем выборки), то можно предположить независимость исходов.
>• В примере 6.3 Z подчиняется биномиальному распределению с параметрами я = 12, р = 0,15. Мы полагаем, что автомат произвел большое количество деталей и что выборка произведена случайным образом из большого числа деталей, которые сходны друг с другом (либо наличием дефектов, либо их отсутствием).
6.2. Формула Бернулли. Биномиальные вероятности
Зная условия, необходимые для биномиального распределения, рассмотрим, как вычисляются вероятности значений случайной величины, подчиняющиеся закону биномиального распределения.
При четырех подбрасываниях монеты случайная величина X, определяющая число выпадений герба, принимает возможные значения X, = 0;1;2;3;4. Рассмотрим определенное событие, когда Х = 2. Это событие состоит в том, что при четырех подбрасываниях монеты 2 раза выпадет герб. Определим вероятность этого события, т. е. Р(Х=2). Для этого подсчитаем, сколькими способами может осуществиться данное событие.
При четырех бросаниях монеты герб появится два раза в одной из следующих шести последовательностей: ГТЦЦ, ГЦГЦ, ГЦЦГ, ЦГГЦ, ЦГЦГ, ЦЦГГ. Исходя из независимости четырех испытаний вероятность определенной последовательности, (скажем, ЦЦГГ) есть ppqq. Очевидно, что порядок появления цифры или герба не влияет на вероятность. Мы видим, что вероятность p2q2- есть вероятность для любой из шести перечисленных комбинаций. Поскольку все шесть возможных комбинаций ведут к событию Х=2, то мы умножим результат на шесть, получим 6 p2q2. Для идеальной монеты р = q = 0,5; отсюда P(X=2)=6(0,5)4= 0,375.
Точно так же можно вычислить другие вероятности Р(Х=0), Р(Х=1), Р(Х=3), Р(Х=4). Для проведения расчетов гораздо удобнее обобщить процедуру вычисления вероятности появления некоторого события точно т раз в п последовательных испытаниях, удовлетворяющую условиям схемы повторных испытаний (испытаний Бернулли), при помощи специальной формулы. Отметим следующее.
1. Вероятность любой заданной последовательности, в которой событие появляется т раз и в я испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании рис вероятностью неуспеха q, равна pmqn-m.
Заметим, что для нашего опыта с подбрасыванием монеты при р = q = 0.5, п = 4 и т = 2 получим P(X)=(0,5)4.
2. Число различных комбинаций в испытаниях, в результате которых наступит точно т успехов, равно числу сочетаний из п элементов по т элементов в каждом:
Для примера 6.1 с. подбрасыванием монеты
Этот результат совпадает с результатом, полученным путем непосредственного подсчета.
3. Поскольку существует комбинаций и каждая комбинация имеет вероятность pmqn-m, то вероятность т успехов в п испытаниях есть результат двух описанных выше действий. Будем использовать символ Рn, m для обозначения вероятности Р(Х=т) в п испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании р:
(6.2.1)
где q = 1 - р,
n — число испытаний, m — число успешных испытаний.
Формула (5.2.1) называется формулой Бернулли.
5.3. Биномиальный закон распределения
В формуле (5.2.1) т может принимать значения от 0 до п. Подставим т = 0;1;2;...; п в формулу (6.2.1):
Эго название связано с тем, что вычисленные вероятности Рn, m при различных т совпадают с соответствующими членами разложения бинома (q+-р)n.
. (6.3.1)
Так как (q + р) = 1, то –Рn,0 + Pn,1 + ... + Рn, m = 1, т. е. сумма вероятностей биномиального распределения равна 1 (табл. 6.1).
Таблица 6.1. Биномиальное распределение
Число успехов m | Вероятность Р(п, т) |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
…… | ….. |
* |
|
… | … |
N |
|
1,00 |
В табл. 6.2 представлены биномиальные вероятности случайной величины Х для примера 6.1 с подбрасыванием монеты, рассчитанные при помощи формулы (6.2.1).
Таблица 6.2. Биномиальное распределение Х — числа гербов, появляющихся при четырех подбрасываниях монеты
Х=т | P(X)=P4,m |
0 | 0,0625 |
1 | 0,2500 |
2 | 0,3750 |
3 | 0,2500 |
4 | 0,0625 |
Биномиальные коэффициенты можно определить из треугольника Паскаля.
С увеличением числа испытаний расчет вероятностей по формуле (2.2.1) становится все более и более громоздким. Для облегчения работы с биномиальными вероятностными моделями существуют специальные таблицы, в которых табулированы значения вероятностей биномиального распределения для различных n и р.
Иногда в литературе предлагаются таблицы, в которых табулированы значения интегральной функции биномиального распределения F1(x) = Р(Х£ х) или 1-F(x) = Р(Х³ х).
Табл. 6.3 воспроизводит значения функции при n = 4. В колонке для р = 0,5 найдем кумулятивную вероятность, которой соответствует распределение, представленное в табл. 6.2. Заметим, например, что для р=0,5
,
т. е. в общем виде
Р(Х) = F1(x)-F1(x-
Вероятность, равная 0,3750, корреспондирует с вероятностью при т = 2 в табл. 6.2.
Таблица 6.3. Фрагмент таблицы F1(x) = Р(Х£ х) биномиального распределения
m | F1(x) = Р(Х£ х) |
0 1 2 3 4 | 0,06250 0,31250 = 0,0625 + 0,2500 0,68750 = 0,31250 + 0,3750 0,93750 = 0,68750 + 0,2500 1,00000 = 0,93750 + 0,0625 |
Для случайной величины Y (пример 6.2) найдем вероятности того, что предпочтут личный транспорт: а) 5 человек из 8; в) не более 5 человек; с) не менее 5 человек. По условию р = 0,3. Значит, надо определить Р(Х=5), Р(Х£5), Р(Х³5).
Таблица 6.4. фрагмент таблиц биномиального распределения (Приложение, табл. 4) и функции биномиального распределения 1
х= т |
| Р(Х£ х) =F1(x) | Р(Х< х) = F (x) | Р(Х³ х) = F (x) |
0 1 2 3 4 | 0,058 0,198 0,296 0,254 0,136 | 0,058 0,256 0,552 0,806 0,942 | 0 0,058 0,256 0,552 0,806 | 1 0,942 0,745 0,448 0,194 |
5 | 0.047 | 0.989 | 0,942 | 0.058 |
И тогда получим, что P(X=5)= 0,047; Р(Х£5) = 0,989; Р(Х³5)=0,058.
6.4. Математическое ожидание, дисперсия и график биномиального распределения
Рассмотрим в качестве случайной величины Х — число т наступления некоторого события в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений этого события в испытаниях состоит из суммы чисел появлений события в отдельных испытаниях, т. е. Xi = т = Х1 + Х2 + ... + Хn, где Xi — число появлений события в i-м испытании (i = 1, 2, ..., n). Так как вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равна р (q — вероятность ненаступления события), то для каждой случайной величины Xi имеем распределение вероятностей:
xi | 0 | 1 |
pi | q | p |
Следовательно, m(x1) = M(X2) = ... = М(Хn), M(Xi)=0×q+ 1× p. Биномиальные коэффициенты можно определить из треугольника Паскаля. Исходя из формулы (6.5.3), получим: M(x)= nр.
Математическое ожидание случайной величины X (частоты появления события в п независимых испытаниях), подчиняющейся биномиальному распределению, равно произведению числа испытаний n на постоянную вероятность успеха р в каждом отдельном испытании.
Следует отметить, что частость (m/n) также можно рассматривать как случайную величину, и тогда
M(X) = пр. (6.4.1)
Математическое ожидание частоты биномиального распределения:
M(m/n) = 1/n • М(т) == (1/п) • (пр) = р. (6.4.2)
Аналогично рассуждая и применяя формулу (1.8.5), получим:
D(Xi) = М(Xi2) – M2 (XI) = = р (1-p) = рq;
D (X)= D (Х1)+ D (Х2) +...+ D(Xn) = npq
Дисперсия частоты биномиального распределения:
s2 = D(Х) = npq. (6.4.3)
Если роль случайной величины играет m/n, то по формуле (1.8.2) следует:
D(m/n) = 1/n2 D(m) = 1/n2npq = pq/n (6.4.4)
Стандартное отклонение биномиального распределения
s= Önpq. (6.4.5)
Используя формулы (6.4.1) и (6.4.2), найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х — числа появления гербов при четырех подбрасываниях монеты, М(Х) =4 • 0,5 = 2. Полученное значение интуитивно понятно и без вычислений. При достаточно большой серии испытаний по четыре подбрасывания монеты можно ожидать, что в среднем при четырех подбрасываниях монеты выпадет два герба. ; Дисперсия X есть npq=4•0,5•0,5 = 1,00. В нашем конкретном случае стандартное отклонение также равно 1,00.
Пример 5.4.
В отдел верхней одежды универмага один за другим входят трое посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,3. Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ничего не купит? Один из посетителей купит что-либо?
Двое из трех вошедших в магазин людей совершат, покупку? Все трое купят что-нибудь в отделе?
Решение. Проверим, соответствует ли задача условиям биномиального эксперимента.
1. Эксперимент может быть описан как последовательность трех идентичных испытаний — по одному испытанию для каждого из трех посетителей, входящих в отдел верхней одежды универмага.
2. Два исхода — посетитель совершает покупку (успех) или не совершает покупку (неуспех) ~ возможны для каждого отдельного испытания.
3. Вероятность каждой отдельной покупки равна 0,3, вероятность непокупки равна 0,7.
4. Решение о покупке для каждого из покупателей не зависит от
решений других покупателей.
Рассчитаем вероятности биномиального распределения, применяя формулу (5.2.1), и результаты представим в виде таблицы (табл. 6.5).
Таблица 5.5. Биномиальное распределение числа покупателем | |||
m=xi | Рn, m= pi | xipi | xi2pi |
0 1 2 3 | 0,343 0,441 0,189 0,027 | 0 0,441 0,378 0,081 | 0 0,441 0,756 0,2643 |
1 | 0,9 |
Вычислим математическое ожидание по формуле (4.4.1):
M(X) = 0• 0,343 + 1•0,441 + 2•0,189 + 3•0,027 = 0,9.
Математическое ожидание биномиального распределения проще вычислить по формуле (6.4.1): М(Х) = пр = 3 • 0,3 = 0,9. Вычислим дисперсию по формуле (6.4.3): s2 = D(X) = npq == 3 • 0,3 • 0,7 = 0,63. Построим график полученного распределения (рис. 6.1).
При m=1 (см. рис. 6.1) вероятность достигает максимального значения. Частота т, равная I, называется вероятнейшим числом или вероятнейшей частотой (наивероятнейшей).
Вероятнейшей частотой наступления события называется та частота, при которой вероятность достигает своего наибольшего значения и обозначается m0.
Для определения наивероятнейшего числа применяется формула:
nр - q £ m0 £ nр + р. (6.4.6)
В этом неравенстве m0 может быть только целым числом.
Замечание. Если пр — целое число, то m0= пр.
Пример 6.5.
Вероятность того, что выписанный продавцом чек будет оплачен, равна 0,9. Какое наивероятнейшее число чеков будет оплачено, если выписано 40 чеков?
Решение. Находим произведение пр = 40.0,9= 36 (целое число),.значит - m0 = 36.
Найдем m0 (6.4.6):
40 • 0,9 - 0,1 £ m0 £ 40 • 0,9 + 0,9; 35,9 £ m0 £ 36,9.
Этому двойному неравенству удовлетворяет целое число то =36. Кроме биномиального распределения существует и ряд других дискретных распределений. К ним относятся распределение Пуассона, гипергеометрическое, мультиноминальное и геометрическое распределения.
6.5. Распределение Пуассона
Распределение Пуассона (закон распределения редких событий) часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства. Например, число машин, прибывших на автомойку в течение часа, число дефектов на новом отрезке шоссе длиной в 10 километров, число мест утечки воды на 100 километров водопровода, число остановок станков в неделю, число дорожных происшествий.
Если вероятность появления, события А в п отдельных независимых испытаниях очень мала (р < q), то применяется формула Пуассона:
, (6.5.1)
где l=np, n - число независимых испытаний с постоянной малой вероятностью р, е — основание натуральных логарифмов (е=2,71828); m – число появлений события m=0,1,2,3,… .
При помощи формулы (6.5.1) можно записать закон распределения Пуассона. Его можно написать в виде ряда распределения, если, придавая т целые неотрицательные значения m = 0,1,2,..., n, вычислить соответствующие им вероятности Pn, m:
Таблица 6.6. Закон распределения Пуассона
m | 0 | 1 | 2 | 3 | … | k | … | n |
Pn, m | e-l | le-l | l2e-l/2! | l3e-l/3! | lke-l/k! | lne-l/n! |
Закон распределения Пуассона можно записать также в виде функции распределения:
. (6.5.2)
Применяя формулу (6.5.2), можно определить вероятность появления события хотя бы один раз в n независимых испытаниях. Поскольку вероятности Pn, m³1, Pn,0 есть вероятности противоположных событий, то
. (6.5.3)
По формуле (6.5.3) вычисляются вероятности появления события хотя бы один раз в n независимых испытаниях, если вероятность появления события в отдельных испытаниях постоянна и очень мала, а число испытаний достаточно велико (n³ 20), т. е. при условии применимости формулы Пуассона (5.5.1).
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру l, который определяет этот закон, т. е.
M(X)=D(X)=l. (6.5.4)
Формула (6.5.4) устанавливает важный теоретико-вероятностный смысл параметра l.
1Доказательство этой важной теоремы можно найти, например, в учебнике , , «Курс высшей математики для экономических вузов», ч.11. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1982. — С. 57, 58.
Последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени, называется потоком событий (например, вызов на АТС).
При этом должны выполняться следующие условия:
1. Вероятность появления события есть одна и та же для любых двух интервалов равной длины
2. Вероятность того, что событие появится в короткий интервал времени (или пространства), пропорциональна величине интервала.
3. В очень коротком интервале вероятность того, что два события появятся, близка к нулю.
4. Вероятность того, что любое число событий появится в интервале, не зависит от начала интервала.
5. Появление или непоявление события в определенном интервале не зависит от появления или непоявления события в любом другом интервале.
Пример 6.6.
Предположим, что нас интересует число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15 минут. Если мы предположим, что вероятность прибытия автомобиля одинакова в любые два периода времени равной длины и что прибытие или неприбытие автомобиля в любой период времени не зависит от прибытия или неприбытия в любой другой период времени, то последовательность прибытия инкассаторов в банк может быть описана распределением Пуассона.
Анализ предыдущих данных показал, что среднее число инкассаторов, прибывающих в 15 минутный период, равно 10, тогда при l= 10 получаем: Р(т) = lme-l/ т! = 10m е-10/m! при т = 0, 1, 2, ...
Если мы хотим узнать вероятность прибытия пяти инкассаторов в течение 15 минут, то при т = 5 получим:
P(5) = 105 e-10/m! = 0,0378.
Эта вероятность определена путем расчета вероятностной функции с l= 10 и т=5 по формуле (6.5.1). Расчет вероятностей распределения Пуассона легче осуществлять, пользуясь специальными таблицами вероятностей распределения Пуассона. В этих таблицах содержатся значения вероятностей при заданных т и l (см. Приложение, табл. 6).
Пример 6.7.
Предположим, что нас интересует число дефектов, появившихся на определенном участке шоссе через месяц после его асфальтирования. Мы предполагаем, что вероятность появления дефектов одна и та же на любых двух участках равной длины и что появление или непоявление дефектов на любом промежутке шоссе не зависит от появления дефектов на любом другом участке. Следовательно, для решения задачи можно использовать распределение Пуассона.
Предположим, мы выяснили, что количество дефектов спустя месяц после асфальтирования в среднем равно двум на километр. Найдем вероятность того, что на определенном участке шоссе длиной в три километра мы не найдем ни одного дефекта спустя месяц после асфальтирования. Поскольку нас интересует интервал длиной в три километра, то l= (2 дефекта/километр) • (3 километра) = 6.
Это — ожидаемое число дефектов на трехкилометровом участке шоссе. Отсюда, используя формулу (5.5.1) или таблицы распределения Пуассона с l = 6 и т = 0, получаем, что вероятность отсутствия дефектов на трех километрах дороги равна 0,0025. Результат говорит о том, что отсутствие дефектов на изучаемом участке дороги весьма маловероятно. Вероятность того, что хотя бы один дефект появится на трех километрах вновь асфальтированной дороги равна 1 - 0,0025 = 0,9975.
Рассмотрим теперь пример, в котором вероятности будут вычислены точно по формуле Бернулли (5.2.1) и приближенно по формуле Пуассона (6.5.1).
Пример 6.8.
Проведено 25 независимых испытаний с вероятностью появления события А в каждом из них 0,01. Построить ряд распределения для случайной величины Х = т — числа появлений события А. Вероятность Рп т вычислить двумя способами: по формуле Бернулли и по формуле Пуассона. Полученные результаты сравнить и оценить погрешности приближенной формулы. По условию п = 25; р = 0,01; q = 0,999. Вычислим Pn, m от и сведем их в таблицу:
Таблица 6.7. Сравнение вероятностей, вычисленных по формулам Бернулли и Пуассона
т | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 0,778 | 0,196 | 0,024 | 0,002 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| 0,779 | 0,195 | 0,022 | 0,001 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| 0,001 | 0,001 | 0,002 | 0,001 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
Сопоставление вероятностей показывает, что вычисленные по формуле Пуассона вероятности почти совпадают с их значениями, вычисленными по формуле Бернулли. Максимальная погрешность результатов, вычисленных по формуле Пуассона, равна 0,002.
6.6. Гипергеометрическое распределение и его аппроксимация биномиальным и пуассоновским распределениями
Выше мы рассмотрели способы вычисления вероятностей появления события ровно т раз в п независимых повторных испытаниях (по формулам Бернулли и Пуассона). Теперь познакомимся с вычислением вероятности появления события ровно т раз в п зависимых повторных испытаниях. Случайная величина, определяющая число успехов в п повторных зависимых испытаниях, подчиняется гипергеометрическому закону распределения.
Пример 6.9.
В урне N шаров, среди которых К белых и (N-K) черных. Без возвращения извлечены п шаров. Какова вероятность того, что в выборке из л шаров окажется т белых (и соответственно (п-т) черных) шаров. Изобразим ситуацию на схеме:
Случайная величина, интересующая нас, Х = т - число белых шаров в выборке объемом в п шаров. Число всех возможных случаев отбора N шаров из N равно числу сочетаний из N по п ( ), а число случаев отбора т белых шаров из имеющихся К белых шаров (и значит, (п— т) черных шаров из (N-K) имеющихся черных) равно произведению 
(отбор каждого из т белых шаров может сочетаться с отбором любого из (п - т) черных).
Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из п шаров окажется ровно т белых шаров. По формуле для вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке т белых шаров (т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение т) равна:
где — общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов,
— число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, т < п, если п < k; т < К, если k < п.
Итак, вероятность появления интересующего нас события ровно m раз в п зависимых испытаниях вычисляется по формуле (5.6.1), которая задает значения гипергеометрического распределения для т = 0, 1, 2, ..., n — распределения вероятностей значений случайной величины в п повторных зависимых испытаниях.
Если по формуле (5.6.1) вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения, называемый гшергеометрическим законом распределения.
Таблица 5.8. Гипергеометрическчй закон распределения
m | 0 | 1 | 2 | 3 | ….. | n |
P(X=m) |
|
|
|
| ….. |
|
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины т, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:
М(т) =пQ, (5.6.2)
D(m) = nQ ( 1 - Q) (1-(n-1)/(N-1)), (5.6.3)
где Q— доля единиц с интересующим нас признаком в совокупности N, т. е. Q=K/N, (1-(n-1)/(N-1)), а называется поправкой для бесповторной выборки.
Приведем несколько, примеров на нахождение вероятностей по формуле (5.6.1) и на построение гипергеометрического распределения.
Пример 5.10.
Разыгрывается тираж выигрышного денежного займа, в котором выпущено N облигаций, из которых К — выигрышные. Некто приобрел п облигаций. Найти вероятность того, что т из них — выигрышные.
Очевидно, что предлагаемая ситуация аналогична той, которую мы разобрали в примере 5.9 с черными и белыми шарами. Рассуждая в соответствии с вышеизложенной схемой, по формуле (5.6.1) получим интересующую покупателя облигаций вероятность выигрыша.
