Поверхности. Методические указания к выполнению задания 2 для студентов специальностей 1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Министерство образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

ПОВЕРХНОСТИ

Методические указания к выполнению задания 2

для студентов специальностей
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2003

ВВЕДЕНИЕ

В практике машиностроения широко распространены детали с цилиндрическими, коническими, сферическими, торовыми и винтовыми, поверхностями. Технические формы изделий часто представляют собой комбинацию поверхностей вращения с совпадающими, пересекающимися и скрещивающимися осями. При выполнении чертежей таких изделий возникает необходимость изображения линий пересечения поверхностей, называемых также линиями перехода.

Общим способом построения линий пересечения является нахождение точек этой линии при помощи некоторых вспомогательных секущих плоско­стей или поверхностей называемых иногда «посредниками».

В настоящих методических указаниях рассматриваются общие и част­ные случаи построения линий пересечения двух поверхностей и способы построения разверток поверхностей.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений перемещающейся в пространстве линии, называемой образующей.

Если одну из линий поверхности принять за направляющую q и перемещать по ней по определенному закону образующую l, получим семейство образующих поверхности, определяющих поверхность (рис. 1).

Рис. 1

Для задания поверхности на чертеже введено понятие определителя поверхности.

Определитель – это совокупность условий, необходимых и достаточных для однозначного задания поверхности.

Определитель состоит из геометрической части, содержащей геометрические фигуры, и закона образования поверхности. Например, геометрической частью определителя фигуры a(l, q) на рис.1 являются образующая l и направляющая q, положение которых задано на чертеже. Закон образования: прямая l, перемещаясь в пространстве, всегда касается q, оставаясь параллельной направлению S. Эти условия однозначно определяют цилиндрическую поверхность. Для любой точки пространства можно решить вопрос принадлежности ее поверхности (АÎa, вÏa).

Геометрическая часть определителя конической поверхности b(q, S) состоит из направляющей q и вершины S (рис. 2). Закон образования конической поверхности: образующая прямая l, перемещаясь по направляющей q, всегда проходит через вершину S, образуя непрерывное множество прямых конической поверхности.

Рис. 2.

Поверхности, полученные непрерывным движением, называют кинематическими. Такие поверхности относятся к точным, закономерным, в отличие от незакономерных или случайных.

Поверхности, образованные движением прямой линии, именуют линейчатыми , кривой линией – нелинейчатыми.

По закону движения образующей различают поверхности с поступательным перемещением образующей, с вращательным движением образующей – поверхности вращения, с винтовым движением образующей – винтовые поверхности.

Поверхности могут быть заданы каркасом. Каркасной называют поверхность, которая задается некоторым числом линий, принадлежащих такой поверхности (рис. 3).

Рис. 3.

Зная координаты точек пересечения линий, можно построить чертеж каркасной поверхности.

1.2. Поверхности вращения.

В числе кривых поверхностей широко распространены поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую вращением какой-либо образующей вокруг неподвижной прямой – оси поверхности.

Поверхность вращения может быть образована вращением кривой линии (сфера, тор, параболоид, эллипсоид, гиперболоид и др.) и вращением прямой линии (цилиндр вращения, конус вращения, однополостной гиперболоид вращения).

Из определения поверхности вращения вытекает, что геометрическая часть определителя a(i, l) поверхности вращения a должна состоять из оси вращения i и образующей l. Закон образования поверхности, вращение l вокруг I позволяет построить непрерывное множество последовательных положений образующей поверхности вращения.

Рис. 4.

Из множества линий, которые можно провести на поверхностях вращения, параллели (экватор) и меридианы (главный меридиан) занимают особое положение. Применение этих линий значительно упрощает решение позиционных задач. Рассмотрим эти линии.

Каждая точка образующей l (рис. 4) описывает вокруг оси i окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эту окружность можно представить как линию пересечения поверхности некоторой плоскостью (b), перпендикулярной к оси поверхности вращения. Такие окружности называют параллелями (Р). Наибольшую из параллелей именуют экватором, наименьшую – горлом.

Рис. 5 Рис. 6

На рис. 5 параллель РА точки А – экватор, параллель РВ точки R –горло поверхности.

В случае, если ось поверхности i перпендикулярна плоскости проекций, то параллель проецируется на эту плоскость окружностью в истинную величину (Р1А), а на плоскость проекций, параллельную оси – прямой (Р2А), равной диаметру параллели. В этом случае упрощается решение позиционных задач. Связывая любую точку поверхности (например С) с параллелью, легко можно найти положение проекций параллели и точку на ней. На рис. 5 по проекции С2 точки С, принадлежащей поверхности a, с помощью параллели Рс найдена горизонтальная проекция С1.

Плоскость, проходящую через ось вращения, называют меридиональной. На рис. 4 это плоскость g. Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называется меридианом поверхности. Меридиан, лежащий в плоскости, параллельной плоскости проекций, называется главным (m0 на рис. 4,5). При таком положении меридиан проецируется на плоскость П2 без искажения, а на П1 – прямой параллельной оси Х12. Для цилиндра и конуса меридианы являются прямыми линиями.

Экватор Р2 (рис. 6) и главных меридиан (m) разграничивают поверхность на видимую и невидимую части.

На рис. 6 экватор поверхности a получен в результате сечения поверхности плоскостью d(Р=a∩d), а главный меридиан – плоскостью g(m=a∩g).

1.3. Очерк поверхности.

Проецирующая поверхность, облегающая заданную, пересекает плоскость проекций по линии, называемой очерком проекции поверхности. Другими словами, очерк поверхности – это линия, разграничивающая проекцию фигуры от остального пространства чертежа. Для построения очерка необходимо построить крайние граничные очерковые образующие. Очерковые образующие лежат в плоскости, параллельной плоскости проекций.

Любой меридиан поверхности вращения может быть принят за ее образующую. Построение очерка упростится, если за образующую взять главный меридиан, так как главный меридиан – это плоская кривая (прямая), параллельная плоскости проекций и проецирующаяся на нее без искажения.

Пример 1. Цилиндр a задан геометрической частью определителя a(i, l). Построить очерк поверхности (рис. 7).

При таком расположении оси i горизонтальный очерк представляет собой окружность радиуса R(R=i1 l1). Проведем через ось i меридиальную плоскость b||П2. Для построения фронтального очерка найдем горизонтальные проекции очерков образующих, которые лежат в плоскости главного меридиана (l1’, l1”) и по ним определим фронтальные проекции l2’ и l2”.

Фронтальная проекция главного меридиана цилиндра очерковые образующие l2’ и l2”. Прямоугольник является фронтальным очерком поверхности.

Пример 2. Конус a задан геометрической частью определителя a(i, l). Построить очерк поверхности (рис. 8).

Рис. 7 Рис 8

Горизонтальный очерк поверхности – окружность радиуса l. Для построения фронтального очерка проводим через ось i плоскость главного меридиана b, находим горизонтальные проекции очерковых образующих l1’ и l1”, лежащих в этой плоскости, и строим l2’ и l2” которые являются фронтальной проекцией главного меридиана конуса.

Пример 3. Поверхность вращения a, задана геометрической частью определителя a(i, l). Построить очерки поверхности (рис. 9).

Рис. 9.

Из положения геометрических фигур l, i на рис. 9 видно, что заданная поверхность является однополостным гиперболоидом вращения. Каждая точка образующей (А, В, С и т. д.) при вращении вокруг оси i описывает окружность (параллель). При i ^ П1 на плоскость П1 параллели проецируются окружностями с радиусом равным истиной величине радиуса параллели. Точка С на образующей l описывает наименьшую параллель – параллель горла. Это кратчайшее расстояние между осью вращения и образующей l. Для нахождения Rc проведем перпендикуляр из i к l1. i1C1=Rc – радиус горла поверхности.

Горизонтальная проекция гиперболоида представит собой три концентрических окружности.

Фронтальный очерк поверхности должен иметь очертание ее главного меридиана.

Проведем через ось i главную меридиональную плоскость b и построим горизонтальные проекции параллелей точек А, В, С. Параллели пересекаются с плоскостью b в точках А′, В′, С′, принадлежащих главному меридиану поверхности. Непрерывное множество этих параллелей образуют каркас поверхности, а точки пересечения с плоскостью b – главный меридиан m0 поверхности. Главный меридиан можно построить как обвод точек пресечения параллелей с плоскостью b. На рисунке показано построение точки С и D.

Пример 4. Построить очерк наклонного цилиндра a(l, m). Образующая цилиндра l, перемещаясь по направляющей m, остается параллельной сама себе. Очерк поверхности построен на рис. 10. Любая точка на поверхности цилиндра определяется, если провести через нее образующую («связать» точку с образующей). На рис. 10а по фронтальной проекции точки А2, принадлежащей поверхности, найдена ее горизонтальная проекция А1.

1.4. Линейчатые поверхности, с плоскостью параллелизма.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма образуются перемещением прямолинейной образующей по двум направляющим. При этом образующая во всех своих положениях сохраняет параллельность некоторой заданной плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Геометрическая часть определителя a(m, n, b) такой поверхности a содержит две направляющие и плоскость параллелизма. В зависимости от формы направляющих эти поверхности делятся на: цилиндроиды – обе направляющие кривые; коноиды – одна направляющая – прямая, одна - кривая; косая плоскость – обе направляющие прямые.

Пример: построить каркас поверхности a(m, n, b) (рис. 10б).

В данном случае за плоскость параллелизма принята горизонтальная плоскость проекций. Образующая линия, пресекая кривую m и прямую n, в любом положении остается параллельной плоскости П1.

Всякая плоскость, параллельная плоскости параллелизма, пресекает эти поверхности по прямой линии. Отсюда, если требуется построить какую-либо образующую поверхности, надо рассечь поверхность плоскостью (например b), параллельной плоскости параллелизма, найти точки пересечения направляющих линий поверхности с этой плоскостью (b∩n=1; b∩m=2; рис. 10б) и через эти точки провести прямую.

Рис. 10

Для построения коноида на рис. 10б можно обойтись и без вспомогательных секущих плоскостей, так как фронтальные проекции образующих должны быть параллельны оси Х12. Плотность линий каркаса на фронтальной проекции задаем произвольно. Горизонтальные проекции заданных образующих строим по линии связи, используя свойство принадлежности.

Если необходимо найти проекцию точки А, заданную проекцией А2, необходимо поверхность рассечь плоскостью g , проходящей через точку А и параллельной плоскости параллелизма (на рис. 10б g//П1), найти образующую, как линию пересечения плоскости g с поверхностью a(a∩g=3, 4), по фронтальной проекции 32, 42 найти горизонтальную 31, 41 и на ней определить А1.

1.5. Построение точки встречи линии с поверхностью.

Найти точку встречи кривой l c поверхностью a(Р,S).

Решение 1. Заключаем кривую l (рис. 11) во вспомогательную проецирующую поверхность b^П1. Проекция b1 совпадает с проекцией l1. 2. Строим линию пересечения а поверхности α с поверхностью b′, (αÇb=е). Горизонтальная проекция этой линии а1 известна, она совпадает с b1. По горизонтальной проекции а1 строим фронтальную проекцию а2 (рис. 1Определяем искомую точку к пресечения кривой l с поверхностью a.. К=lÇ a есть точка встречи l и a. С одной стороны l и а принадлежат b и lÇ a=к. С другой аÌ a, следовательно кÌ α, то есть к есть точки встречи l с поверхностью α.

Рис. 11.

На рис. 11 фронтальная проекция точки встречи к2 определена l2Çа2=к2 . К1 строится по свойству принадлежности, проведением линий связи от к2 до пересечения с а1.

Рис. 12.

1.6. Построение линии пересечения поверхностей.

При решении задачи построения линии пересечения одной поверхности другою применяют метод сечений – основной метод решения позиционных задач. При этом заданные поверхности рассекают вспомогательными плоскостями или кривыми поверхностями (например сферами).

Вспомогательные секущие поверхности иногда называются «посредниками».

1.5.1. Общий случай.

В общем случае для решения задачи определения линии пересечения двух поверхностей можно задать семейство образующих на одной из поверхностей (рис. 12), найти точку встречи этих образующих со второй поверхностью по алгоритму решения задачи на рис. 11, после чего произвести обводы точек встречи.

Применяя указанный способ для построения линий пресечения двух кривых поверхностей, мы можем в качестве секущих «посредников» применять вспомогательные плоскости или кривые поверхности.

Следует выбрать по возможности такие вспомогательные поверхности, которые в пересечении с заданными дают простые для построения линии (прямые или окружности).

1.5.2. Оси поверхностей вращения совпадают
(соосные поверхности).

На рис. 13 поверхности a и b заданы общей осью i и главными меридианами m0 m0’.

Рис. 13

Главные меридианы пересекаются в точке А(В). Точка А(В) пересечения меридианов при вращении вокруг оси опишет параллель Р, которая будет принадлежать обеим поверхностям, следовательно, будет их линией пресечения.

Таким образом, две соосные поверхности вращения пересекаются по параллелям, которые описывают точки пересечения их меридианов. На рис. 13 оси поверхностей параллельны П2. На плоскость проекций к которой оси поверхностей параллельны, линия пересечения Р2 проецируется прямой положение которой определяют точки пресечения главных меридианов А и В.

1.5.3. Способ секущих плоскостей.

В случае, когда оси поверхностей вращения параллельны, наиболее простые построения получаются при применении в качестве посредников секущих плоскостей. При этом вспомогательные секущие плоскости выбираются так, чтобы они пресекали обе поверхности по окружностям.

На рис. 14 заданы очерками проекции двух поверхностей вращения α и b, их оси i и j параллельны. В этом случае применение секущих плоскостей перпендикулярных осям поверхностей дает простое решение задачи. Получаемые линии пресечения поверхностей будут параллели, фронтальные проекции которых прямые равные диаметру параллели, а горизонтальные – окружности в натуральную величину.

g2

Рис. 14.

При построении точек линий пересечения сначала следует найти опорные и характерные точки. Опорными называются точки, которые лежат на главном меридиане (3) и экваторе (4, 5). Нахождение этих точек не связано с дополнительными построениями и основано на использовании свойств принадлежности.

Заданные на рис. 14 поверхности имеют общую плоскость главного меридиана, их оси ^П1, основания лежат в плоскости П1. Опорными точками линии пересечения являются точка 3 пересечения главных меридианов и точки 4 и 5 пресечения параллелей оснований поверхностей. Используя свойства принадлежности, по известным проекциям 32, 41 и 51 находим 31, 42 и 52.

Остальные точки пресечения находим применяя вспомогательные секущие плоскости. Рассечем поверхности α и b горизонтальной плоскостью g. Так как g^ осям i и j, то поверхности α и b пересекаются плоскостью g, по параллелям Ра и Рb. А так как оси i и j^П1, то эти параллели проецируются на П1 окружностями Ра, Рb в истинную величину, а на П2 прямыми Р2а, Р2b равными диаметру параллели.

Точки пресечения параллелей 1 и 2 искомые. Действительно, с одной стороны параллели Ра и Рb принадлежат одной плоскости g и пересекаются в точках 2 и 1. С другой – Ра и Рb принадлежат разным поверхностям α и b. Следовательно, точки 2 и 1 одновременно принадлежат поверхностям а и b, то есть являются точками линии пересечения поверхностей. Горизонтальные проекции 21 и 11 этих точек находятся в пересечении Р1а, Р1b, а фронтальные строим, используя свойство принадлежности.

Повторяя указанный прием, получим необходимое количество точек. Секущие плоскости распределяют равномерно в интервале от точки наивысшего подъема кривой 32 до основной фигуры.

Количество точек линии пересечения, а следовательно, и секущих плоскостей определяется требуемой точностью графических построений. Проекции линии пересечения строятся как обводы проекций ее точек. На рис. 14 линия по точкам 4, 1, 3, 2, 5.

Рассмотренный пример решения задач получил название способа секущих плоскостей.

1.5.4. Способ сфер.

Этот прием применяется в случае, когда оси поверхностей вращения пересекаются. В его основу положен рассмотренный на рис. 13 случай пересечения соосных поверхностей.

На рис. 15 изображены конус и цилиндр с пересекающимися осями i и j. Их оси параллельны плоскости П2. Плоскость главного меридиана у обеих поверхностей общая.

Рис. 15

Так как плоскость главного меридиана у поверхностей общая, то пересечение главных меридианов конуса и цилиндра дают четыре опорных точки линии пересечения (1, 2, 3, 4), проекции которых 12; 22; 32; 42.

Примем точку пересечения осей «0» за центр концентрических сфер. Проведем сферу g , радиусом Rg=O2A2. Эта сфера, как соосная с цилиндром и конусом (ось j и ось i), пересекается по окружностям с каждой из поверхностей (Ра, Рb, Рb') . Построение упрощается вследствие того, что плоскость главного меридиана общая. Окружности, по которым сфера пересекает одновременно две поверхности (Ра, Рb Рb'), проецируется на плоскость П2 в виде прямых (Р2а, Р2b, Р2b') равных диаметрам параллелей.

В пересечении этих окружностей получаются точки (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), общие для обеих поверхностей и, следовательно, принадлежащие линии пересечения. Действительно параллели Ра, Рb, Рb', с одной стороны, принадлежат одной поверхности – сфере и имеют общие точки (5, 6, 7, 8), с другой – принадлежат разным поверхностям а и b. То есть точки 5, 6, 7, 8 принадлежат обеим поверхностям или линии пересечения поверхностей.

Чтобы получить достаточно точек для проведения искомой линии пересечения, проводится несколько сфер.

Радиус наибольшей сферы (Rmax) равен расстоянию от центра О2 до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующий (в данном случае точки 32 и 42, Rmax=0232=0242. При этом обе линии пресечения поверхностей со сферой (Ра и Рb) пересекутся между собой в точках 3 и 4 при большем радиусе сферы пересечения не будет.

Радиус наименьшей сферы (Rmin) равен расстоянию от центра 02 до наиболее удаленной очерковой образующей (Rmin=02А2). При этом сфера коснется конуса по окружности, а цилиндр пересечет дважды и даст точки 5, 6, 7, 8. При меньшем радиусе сферы пересечения с конусом не будет.

Теперь остается провести через точки 1, 5, 4, 6, 1 и 2, 7, 3, 8, 2 кривые линии пересечения поверхностей.

На рис. 15 все построения выполнены на одной проекции. Количество секущих сфер, с радиусами в интервале от Rmax до Rmin, зависит от требуемой точности построения. Построение горизонтальной проекции линии пересечения выполняется по фронтальной 1, 5, 4, 6, 1 и 2, 7, 3, 8, 2 с использованием свойства принадлежности.

1.5.5. Применение способа секущих плоскостей
в случаях линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма.

Две поверхности заданы геометрической частью определителя: a (l, i) и b(m, n, П1). Необходимо построить очерки поверхностей и найти линию их пересечения (рис. 16).

Решение: 1. Строим очерк поверхности a, n геометрической части определителя видно, что поверхность a – сфера. Ее горизонтальный и фронтальный очерки – окружности радиуса R. 2. Строим каркас линейчатой поверхности. Так как плоскость параллельна П1 , то фронтальные проекции образующих параллельны оси Х12. Задав на фронтальной проекции каркас определенной плоскости линий (на рис. 16 четыре линии), строим горизонтальные проекции этих образующих. 3. Для построения линии пресечения поверхностей применяем в качестве посредников секущие плоскости. Положение секущих плоскостей надо выбирать такими, чтобы они пересекали заданные поверхности по простым для построения линиям (прямым или окружностям). Этому условию удовлетворяют горизонтальные плоскости. Горизонтальные плоскости параллельны плоскости параллелизма коноида (П1), поэтому они будут пересекать коноид по прямым линиям. Сферу такие плоскости пересекают по параллелям.

Рис. 16

Например, плоскость g пересекает коноид b по образующей 1,1', а' сферу по параллели Рa. Фронтальная проекция параллели (Р2a) прямая, равная диаметру параллели, а горизонтальная проекция (Р1a) – окружность. На горизонтальной проекции в пересечении параллели Р1a и образующей 1, 11' определяется проекцией двух точек линии пресечения поверхности а и b. По горизонтальным проекциям точек А1 и В1 строим их фронтальные проекции. Повторив операцию, получим серию точек линии пересечения, обвод которых даст линию пересечения.

Экватор и главный меридиан сферы разграничивает линию на видимые и не видимые части.

1.6.Построение развёрток.

Развёрткой поверхности называется фигура, получаемая совмещением развёртываемой поверхности с плоскостью.

Развёртываемыми называются поверхности, которые совмещаются с плоскостью без разрывов и складок.

К развёртываемым поверхностям относятся гранные поверхности, а из криволинейных только цилиндрическая, коническая и торс.

Развёртки делятся на точные (развёртки гранных поверхностей), приближённые (развёртки цилиндра, конуса, торса) и условные (развёртки сферы и других неразвертываемых поверхностей).

1.6.1. Развёртки гранных поверхностей.

Выполнить развёртку пирамиды заданной проекциями на рис.17.

Рис.17

Для построения развёртки находим истинные величины всех рёбер пирамиды и строим развёртку каждой грани, как треугольник по трём сторонам.

В данном случае рёбра основания на горизонтальную проекцию спроецировались в истинную величину. Истинную величину боковых рёбер находим любым способом. На рис.17 она найдена вращением вокруг проецирующей прямой.

Построить развёртку наклонной призмы.

Развёртку можно выполнить способом нормального сечения и способом раскатки.

При применении способа нормального сечения (рис.18) необходимо:

1.  Пересечь поверхность плоскостью перпендикулярно рёбрам (a).

2.  Найти истинную величину нормального сечения (на рис.18 это выполнено методом замены плоскостей проекций).

3.  Развернуть ломаную линию нормального сечения в прямую.

4.  Восстановить в точках излома перпендикуляры.

5.  Отложить на перпендикулярах истинные величины отрезков рёбер

( 1A¢, 1A0, 2B¢, 2B0 и т. д.) и провести отрезки A0B0, B0C0, C0A0, A¢B¢, B¢C¢, C¢A¢.Так как боковые рёбра призмы фронтальные прямые, то на П2 они спроецировались в натуральную величину. Отрезки на развёртке 1A¢= =12A2¢, 1A0=12A2 и т. д.

Рис.18.

Способ раскатки применим в случае, если рёбра призмы параллельны плоскости проекций и известна истинная величина рёбер одного из оснований (рис.18).

Раскатка фигуры представляет процесс совмещения граней призмы с плоскостью, при которых истинный вид каждой грани получается вращением вокруг её ребра.

Точки A, B, C при раскатке перемещаются по дугам окружностей, которые изображаются на плоскости П2 прямыми, перпендикулярными к проекциям рёбер призмы. Вершины развёртки строятся следующим образом: из точки A2 радиусом R1=A1B1 (истинная длина AB) делаем засечку на прямой B2B0, перпендикулярной B2B2¢. Из построенной точки B0 радиусом R2=B1C1 делается засечка на прямой C2C0^C2C2¢. Затем засечкой из точки C0 радиусом R3=A1C1 на прямой A2A0^A2A2¢. Получаем точку A0. Точки A2B0C0A0 соединяют прямыми. Из точек A0B0C0 проводим линии, параллельные рёбрам (A2 A2¢), откладываем на них истинные величины боковых рёбер А2A¢, B2B¢, C2C¢. Соединяем точки A¢B¢C¢A¢ отрезками прямых.

1.6.2. Развёртки кривых поверхностей.

Теоретически можно получить точную развёртку, т. е. развёртку, в точности повторяющую размеры развёртываемой поверхности. Практически, при выполнении чертежей, приходится мириться с приближённым решением задачи, если предположить, что отдельные элементы поверхности аппроксимируются отсеками плоскостей. При таких условиях выполнение приближённых развёрток цилиндра и конуса сводится к построению развёрток вписанных в них (или описанных) призмы и пирамиды.

На рис.19 приведён пример выполнения развёртки конуса.

Рис.19.

Вписываем в конус многогранную пирамиду. Из точки S проводим дугу радиусом, равным истинной величине образующей конуса (S212) и на дуге откладываем хорды 1121; 2, заменяющие дуги 1121;2

Для нахождения любой точки на развёртке необходимо через заданную точку (A) провести образующую, найти место этой образующей на развёртке (2B=21B1), определить истинную величину отрезка SA или AB и отложить его на образующей на развёртке. Любая линия на поверхности состоит из непрерывного множества точек. Найдя на развёртке необходимое количество точек способом, описанным для точки A и выполнив обводы этих точек, получим линию на развёртке. При построении развёрток наклонных цилиндрических поверхностей применимы способы нормального сечения и раскатки.

Любую неразвёртываемую поверхность также можно аппроксимировать многогранной поверхностью с любой заданной точностью. Но развёртка такой поверхности не будет непрерывной плоской фигурой, так как эти поверхности не развёртываются без разрывов и складок.

1.6.3. Построение плоскости, касательной
к поверхности в данной точке.

Для построения касательной плоскости к поверхности в заданной точке (на рис.20 точка A) необходимо на поверхности через точку A провести две произвольные кривые a и b, затем в точке A построить две касательные t и t¢ к кривым a и b. Касательные определят положение касательной плоскости a к поверхности b.

Рис.20.

На рис.21 построена поверхность вращения a. Требуется провести касательную плоскость в точке A, принадлежащей a.

Рис.21.

Для решения задачи через точку А проводим параллель a и строим касательную t к ней в точке А (t1;t2).

В качестве второй кривой, проходящей через точку А, возьмём меридиан. На рис.21 он не изображён. Решение упростится, если меридиан вместе с точкой А повернуть вокруг оси до совпадения его с главным меридианом. При этом точка А займёт положение А¢. Затем через точку А¢ провести касательную t¢¢ к главному меридиану до пересечения её с осью в точке B. Вернув меридиан в прежнее положение, проводим касательную t¢ к этому меридиану через точку А и неподвижную точку B на оси вращения (t1¢;t2¢). Касательные t и t¢ определят касательную плоскость.

При проведении касательной плоскости к линейчатой поверхности за одну из касательных, определяющих касательную плоскость, можно взять образующую t поверхности (рис.22). В качестве второй – можно взять касательную t¢ к параллели (если это цилиндр или конус) или касательную к любой кривой, проведённой через заданную точку коноида, цилиндроида, косой плоскости. Кривую легко построить, рассекая поверхность проецирующей плоскостью, проходящей через заданную точку.

Рис.22

2. ЭПЮР 2.

2.1. Цель работы:

Закрепить программный материал по разделам «Поверхность» и «Развёртки» и получить навыки в решении задач построения очерков, линий пересечения и развёрток поверхностей.

2.2. Задание:

На чертеже заданы две пересекающиеся поверхности. Поверхности заданы координированными проекциями геометрической части определителя.

Необходимо:

- используя координаты геометрической части определителя, нанести проекции определителя на чертеже, соединить необходимые точки для полу-чения геометрических фигур определителя;

- построить очерки заданных поверхностей по проекциям геометриче-ской части определителя;

- построить линию пересечения поверхностей;

- построить развёртку одной из поверхностей с нанесением линии пере-сечения ( по указанию преподавателя );

- провести касательную плоскость к одной из поверхностей в точке, ука-занной преподавателем;

- выполнить макет пересекающихся поверхностей.

Работа выполняется сначала на миллиметровке формата А2, затем на бумаге «Ватман» формата А2. Чертёж должен быть оформлен в соответствии с ГОСТ ЕСКД. Основная надпись выполняется по форме 1.

При выполнении работы используются лекции, материалы практических занятий и рекомендованная литература.

Варианты заданий даны в приложении.

2.3. Порядок выполнения задания.

Студент получает вариант задания, соответствующий номеру по списку в журнале группы, и работает над заданием четыре недели.

Через неделю после получения задания студент предъявляет преподавателю выполненные на миллиметровке формата А2 построения геометрической части определителей и очерков заданных поверхностей.

Через две недели предъявляется чертёж, дополненный построениями линии пересечения поверхностей и касательной плоскостью.

В течение третьей недели работа на миллиметровке формата А4 завершается построением развёртки одной из поверхностей с нанесением на ней линии пересечения поверхностей.

В течение четвёртой недели выполняется макет пересекающихся поверхностей.

Выполняемая работа предъявляется преподавателю, ведущему практическое занятие. По законченному построению на миллиметровке проверяется усвоение студентом изученного материала.

При решении позиционной задачи построения линии пересечения поверхностей применяется метод сечения. В качестве «посредников» выбирают секущие плоскости или сферы. Следует обратить внимание на рассмотренные выше частные случаи (способ секущих плоскостей и способ сфер), которые дают наиболее простое решение задачи. При необходимости прибегнуть к комбинации этих способов.

При выполнении развёртки поверхности необходимо изучить построения, выполняемые методом нормального сечения и методом раскатки, а также методы построения приближённых и условных развёрток и использовать в работе наиболее рациональный способ.

При проведении касательной плоскости к поверхности в заданной точке достаточно построить на поверхности две кривые линии, проходящие через точку, и провести к этим линиям касательные в заданной точке, помня, что касательная к плоской кривой линии проецируется касательной к её проекции.

ЛИТЕРАТУРА.

1.  Виницкий геометрия. М.: Высшая школа, 1975.

2.  Гордон геометрия. М.: Наука, 1975.

3.  Поверхности. Методические указания. /Составил , / Саратов, СГТУ, 1990.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

№ варианта	Обозначе - ние точек	Координаты точек	Словесная информация
C	U	Z
1	2	3	4	5	6
1.	А B C D I I¢ N M	180 150 50 10 100 100 60 60	90 0 90 0 90 0 90 0	100 0 0 100 50 50 50 50	1.  Гиперболический параболоид Направляющие прямые-AB и CD Плоскость параллелизма - П2 2.  Фронтально проецирующий цилиндр: Ось вращения – I I¢ Образующая - MN
2.	А B C D E F S	64 5 200 50 14 110 182	0 0 0 0 0 0 0	18 122 100 194 159 10 153	1.  Конус: Вершина – S Основание – AB 2.  Усечённый конус: Нижнее основание – CF 3.  Верхнее основание – DE
3.	А B C D T I	101 23 100 163 100 80	144 44 80 80 80 80	0 120 85 0 0 0	1.  Конус: Ось вращения t ^ П1 Образующая – CD 2.  Гиперболоид: Ось вращения i ^ П1 Образующая – AB
4.	O A K K¢ M M¢ L L¢	10 50 120 120 90 90 45 45	80 80 80 80 160 5 160 5	80 0 0 120 50 50 50 50	1.  Поверхность вращения: Ось вращения-KK¢ Образующая - фронтальная дуга ( О - центр вращения ОА - радиус) 2.  Цилиндр: Ось вращения-ММ¢ Образующая - LL¢

1	2	3	4	5	6
5.	А B C D E F I I¢	148 140 0 190 150 150 90 90	105 127 30 30 75 75 75 75	110 4 80 80 130 0 0 130	1.  Цилиндр: Ось вращения – I I¢ Образующая – EF 2.  Пирамида: Вершины пирамиды – A, B,C, D
6.	A B C D O K	190 240 65 10 130 130	75 15 15 75 15 80	138 10 138 10 75 10	1.  Гиперболический параболоид Направляющие прямые AB, CD Плоскость параллелелизма. – П2 2.  Полусфера: Центр – О Радиус – ОК
7.	A 1.5.6 B C O R R¢	0 130 0 0 100 0	10 10 140 10 10 110	100 0 100 0 0 100	1.  Часть сферы ( от R до R¢ ) Центр – О Радиус – ОR = ОR¢ 2. Коноид: направляющая прямая – ОА, BC-направляющая кривая проекции которой: на П2- прямая, на П1-дуга (центр - О, радиус – OB).П1-плоскость параллелизма.
8.	A B C S O O¢ R R¢ E F	160 90 70 115 210 90 200 120 70 10	60 110 0 30 0 0 90 0 100 0	0 0 0 120 0 0 0 106 0 120	1.  Пирамида: Вершины – S, A, B, C. 2.  Коноид: Направляющая прямая – EF Направляющая кривая – RR¢, проекции которой: на П2-дуга (О¢-центр, O¢R =O¢R¢- радиус), на П1-дуга (О - центр, OR =OR¢- радиус), П1-плоскость паралле-лизма.
9.	A 1.5.7 B C D E O i	70 70 220 220 10 70 150	130 10 110 110 70 70 110	120 120 120 0 0 0 0	1.  Цилиндр: i ^ П1-ось Образующая – CD 2.  Коноид: Направляющая прямая – АВ Направляющая окружность принадлежит плоскость П1. О – центр, ОЕ – радиус, П2 – плоскость параллелизма.
1	2	3	4	5	6
10.	A B C D O O¢ M M¢ K	20 20 185 150 140 100 77 77 77	10 110 60 60 60 60 105 105 15	0 0 0 0 0 0 140 0 0	1.  Торовая поверхность: Ось - AB Образующая окружность принадлежит пл. П1. О – центр, ОС - радиус. 2.  Линейчатая поверхность: Образующая – ММ¢ Направляющая дуга-KDM (О¢- центр, О¢D-радиус)
11.	A B I I¢ M N O	160 85 130 130 178 60 60	89 65 60 60 0 120 120	0 95 95 0 90 90 45	1.  Гиперболоид: Ось вращения – I I¢ Образующая – АВ 2.  Цилиндр: Образующая – NM Направляющая окружность фронтальная (О-центр, ОN - радиус).
12.	A 1.5.8 B 1.5.9 C D i t	170 65 150 150 80 120	105 105 140 140 100 140	0 100 0 110 0 0	1.  Цилиндр: Образующая – CD Ось вращения t ^ П1 2.  Гиперболоид: Ось вращения i ^ П1 Образующая – АВ
13.	A 1.5.10 B I T T¢ O C I¢	130 130 100 0 0 90 42 100	75 75 75 12 108 60 60 75	125 0 0 0 0 0 0 125	1.  Цилиндр: Ось вращения – I I¢ Образующая – АВ 2.  Тор: Ось вращения – ТТ¢ Образующая окружность принадлежит плоскости П1 (О – центр, ОС – радиус)
14.	O 1.5.11 K L M	90 30 90 90	90 90 30 150	0 0 90 90	1.  Полусфера: ( О- центр, ОК - радиус) 2.  Коноид: Направляющая прямая – LM Направляющая окружность принадлежит пл. П1 ( О - центр, ОК - радиус) П2- плоскость параллелизма

1	2	3	4	5	6
15	A A¢ C B B¢ O I I¢ C¢	167.5 10 190 167.5 10 0 100 100 10	55 55 85 115 115 85 85 85 85	75 75 15 75 75 75 100 0 15	1.  Призма: АА¢ ВВ¢ - рёбра. СС¢ 2.  Тор: Ось вращения - I I¢ Образующая дуга окружности (Центр- О2, R= 80 мм.)
16	A B C I I¢ O S	135 68 20 100 100 85 85	146 120 100 100 100 100 100	0 90 0 0 90 0 100	1.  Гиперболоид: Ось вращения - I I¢ Образующая- АВ 2.  Конус: Ось вращения - ОS Радиус основания - ОС
17	A B C D E S I	50 10 150 210 100 100 100	15 105 105 15 15 60 30	90 0 90 0 0 105 0	1.  Гиперболический параболоид Направляющие- АВ и CD П1- плоскость параллелизма 2.  Конус: Ось вращения - SI Образующая- SE
18	A B O C	100 100 100 25	0 150 75 75	149 149 0 0	1.  Коноид: Направляющая прямая - АВ Направляющая окружность принадлежит пл. П1 Центр- О, радиус - ОС П2- плоскость параллелизма 2.  Полусфера: Центр- О, радиус - ОС
19	A B C D O O¢	15 180 120 120 60 160	10 100 100 100 10 159	45 0 115 0 45 45	1.  Цилиндр: Направляющая окружность принадлежит пл. П2 (Центр- О, радиус - ОА), Образующая- ОА 2.  Конус: Ось вращения - CD Образующая- CB
1	2	3	4	5	6
20	A A¢ B B¢ C C¢ E F D	180 0 180 0 180 25 100 100 170	130 130 50 50 90 90 90 90 90	75 75 75 75 15 15 106 0 0	1.  Призма: АА¢ ВВ¢- рёбра СС¢ 2.  Конус: Ось вращения - EF Образующая- ED
21	A B M N O I I¢ C D	25 25 154 55 25 80 80 30 30	125 0 0 125 0 90 0 0 90	110 110 0 0 0 0 0 0 0	1.  Коноид: Направляющая прямая - АВ Направляющая дуга, принадлежащая П1- MN Центр- О. Радиус - ОМ П2- плоскость параллелизма 2.  Полуцилиндр: Ось - I I¢ Образующая- CD
22	A B O C D E F M N I I¢	0 0 20 150 0 160 180 110 110 60 60	20 20 20 20 170 0 0 10 180 10 180	150 0 0 0 0 20 0 50 50 50 50	1.  Коноид: Направляющая прямая - АВ Направляющая дуга, принадлежащая П1- CD (центр- О, радиус - ОС) E2F2- следы плоскости параллелизма 2.  Цилиндр: Ось вращения - I I¢ Образующая- MN
23	O R A B K	80 35 150 140 140	70 70 135 70 70	60 60 5 142 5	1.  Сфера: (Центр- О, радиус - OR) 2.  Конус: Ось вращения - ВК Образующая- АВ
24	O S A C D B	120 120 155 80 80 30	25 25 80 25 25 25	15 135 15 0 90 90	1.  Конус: OS - ось вращения, AS - образующая 2.  Конус: Ось вращения - CD Образующая- СВ
1	2	3	4	5	6
25	A B O C I I¢	105 15 110 185 80 80	140 50 75 75 75 75	0 100 0 0 0 100	1.  Полусфера: Центр - О Радиус - ОС 2.  Гиперболоид: Ось вращения - I I¢ Образующая - АВ