Расчетно-графическое задание №2: Динамика. Для студентов 1бАС1-4 и 1бПМ-2013.
1. Железнодорожный вагон тормозится, и его скорость изменяется за t с от v1 км/час до v2 км/час. При каком предельном значении коэффициента трения между чемоданом и полкой чемодан при торможении начнет скользить по полке?
2. Автомобиль движется с постоянной скоростью v км/час по кругу радиуса R м. Каков должен быть минимальный коэффициент трения между полотном дороги и шинами, чтобы автомобиль не заносило?
3. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус кривизны которого R м. При какой скорости автомобиля начнется его занос во время гололеда? Коэффициент сцепления колес с полотном дороги m.
4. Брусок скользит по наклонной плоскости с углом a. Зависимость пройденного пути от времени дается уравнением: S = At2. Найти коэффициент трения бруска о плоскость.
5. По наклонной плоскости с углом наклона a движутся друг за другом два бруска с массами m1 кг и m2 кг. Коэффициент трения первого бруска равен m1, второго – m2<m1. Определить силу давления второго бруска на первый.
6. Какое наибольшее количество вагонов может везти локомотив в гору с уклоном 0,025 (т. е. sin j = 0,025), если известно, что масса локомотива в n раз больше массы вагона? Коэффициент максимального трения покоя ведущих колес локомотива о рельсы равен m.
7. Катер массы m кг движется по озеру со скоростью v0 км/час. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости с коэффициентом сопротивления k кг/с, найти скорость катера через t с после выключения мотора.
8. Моторная лодка массой m кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги мотора F Н. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости, с коэффициентом сопротивления k кг/с, определить расстояние, которое пройдет лодка за t с.
9. Парашютист массой m кг совершает затяжной прыжок. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, коэффициент сопротивления k кг/с. Определить зависимость скорости парашютиста от времени. Вычислить предельную скорость. Определить за сколько секунд его скорость достигнет значения 0,8 от скорости установившегося движения, и расстояние, которое пролетит парашютист к этому моменту времени. Начальная скорость равна нулю.
10. Спортсмен массы m кг прыгает с вышки в воду. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости с коэффициентом k кг/с, определить зависимость ускорения спортсмена от времени.
11. Начальная скорость пули массой m г равна v0 м/с. При движении в воздухе за t1 с ее скорость уменьшилась до v1 м/с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определить расстояние, которое пролетела пуля за это время.
12. Брусок начинает скользить по наклонной плоскости с углом a. Коэффициент трения увеличивается с пройденным расстоянием по закону: m = кх. Найти путь, пройденный бруском от начала движения до остановки. Указание: a=dv/dt=(dv/dx).(dx/dt) =(dv/dx). v.
13. В вершинах равностороннего треугольника со стороной L м расположены три шарика массами m1,m2, и m3 кг. Найти момент инерции этой системы относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости треугольника.
14. Определить моменты инерции равностороннего проволочного треугольника со стороной L см относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр масс; относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его вершину; относительно оси, проходящей через высоту треугольника. Масса треугольника m г равномерно распределена по длине проволоки.
15. Четыре шарика массами m1, m2, m3 и m4 кг находятся в вершинах квадрата со стороной L м. Найти момент инерции этой системы относительно оси, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через центр масс системы.
16. Плотность стержня длиной L м возрастает по линейному закону от r1 на левом конце до r2 = nr1 на правом. Найти расстояние центра масс стержня от левого конца.
17. На горизонтальном стержне длиной L cм и массой M кг закреплено 5 одинаковых шариков по m кг каждый на расстоянии 0, 0,25L, 0,5L, 0,75L и L см от левого конца. Определить момент инерции стержня с шариками относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс и через его конец.
18. На конце стержня длины L м и массы M г закреплен маленький шарик массы m г. Определить моменты инерции относительно оси, проходящей через другой конец перпендикулярно стержню; относительно оси, проходящей через центр масс системы перпендикулярно стержню.
19. Шар радиуса r см, массы m г закреплен на конце стержня длины L см, массы M г. Определить момент инерции относительно оси проходящей через центр масс системы перпендикулярно стержню.
20. Два маленьких шарика массами m1 и m2 г скреплены однородным стержнем массы m г и длины L см. Определить моменты инерции относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его центр, через меньший шарик, через больший шарик, через центр масс системы.
21. Двойной шкив состоит из двух цилиндров радиусами R см и r см с общей осью симметрии. Длина большего цилиндра H см, меньшего h см. Найти моменты инерции шкива относительно оси симметрии и относительно оси, проходящей через образующую большего цилиндра, плотность материала r г/см3.
22. В диске радиуса R см сделан вырез в виде круга радиуса r см. Центр выреза лежит на прямой, проходящей через центр диска, на расстоянии L см от него. Найти положение центра масс.
23. Найти момент инерции диска толщиной h см, радиусом R см, в котором сделаны два выреза в виде кругов радиусами r см. Центры вырезов лежат на прямой, проходящей через центр диска на расстоянии L см от него. Ось вращения перпендикулярна плоскости диска и проходит через его центр. Плотность r г/см3.
24. Найти момент инерции тонкого однородного кольца радиуса R см, массы m г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.
25. К краю стола прикреплен блок (диск) массой m кг. Через него перекинута нить с грузами m1 кг и m2 кг. Первый груз скользит по столу, коэффициент трения m. Второй груз движется вниз и тянет за собой первый. Найти ускорение грузов и натяжение нитей.
26. Диск радиусом R м и массой m кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр, под действием касательной силы, приложенной к его ободу. Зависимость угловой скорости вращения от времени дается формулой: w = (A + Bt) с-1. Найти величину касательной силы.
27. Диск массой m кг и радиусом R см вращается с частотой n об/мин. Под действием тормозящей силы он останавливается через t с. Определить момент тормозящей силы.
28. Диск радиусом R м начинает вращаться вокруг своей оси под действием силы F Н, касательной к ободу диска. Найти момент импульса диска в момент времени t с.
29. На горизонтальный вал насажен диск массы m кг и радиуса R м. Он начинает вращаться под действием приложенной вниз к ободу касательной силы. Через t с его угловая скорость стала равна w с-1. Найти силу реакции опоры в подшипниках, в которых закреплен вал.
30. Через блок массой m кг, имеющий форму сплошного диска, перекинута нить с грузами m1 кг и m2 кг по обоим ее концам. Найти полную кинетическую энергию системы через t с после начала движения.
31. Обруч массы m кг скатывается вниз по наклонной плоскости с углом a. Определить ускорение центра масс и силу трения обруча о плоскость.
32. Обруч скатывается вниз по наклонной плоскости высотой h см. Определить скорость обруча у основания плоскости.
33. По наклонной плоскости с углом a скатывается без скольжения сплошной однородный диск. Определить ускорение центра масс диска.
34. По наклонной плоскости с углом a скатывается без скольжения сплошной однородный цилиндр, масса которого m кг. Определить силу трения цилиндра о плоскость.
35. Сплошной цилиндр скатывается вниз по наклонной плоскости высотой H см. Определить скорость цилиндра у основания плоскости.
36. Сплошной шар массы m кг скатывается вниз по наклонной плоскости с углом a. Определить ускорение центра шара и силу трения шара о плоскость.
37. Сплошной шар скатывается вниз по наклонной плоскости высотой H см. Определить скорость шара у основания плоскости.
38. Толстое кольцо, внешний и внутренний радиусы которого равны R и r м, а масса m кг, скатывается с наклонной плоскости, достигая у основания скорости v м/с. Найти полную кинетическую энергию, приобретенную к моменту достижения нижней точки.
39. На барабан радиусом R см с моментом инерции J кг. м2 намотан шнур, к которому привязан груз массой m кг. За сколько секунд груз опустится на L м? Найти кинетическую энергию груза, когда он опустится на L м?
40. Найти угловое ускорение шкива, состоящего из двух цилиндров с общей горизонтальной осью, на которые намотаны в противоположных направлениях две нити с гирями m1 кг и m2 кг. Момент инерции шкива J кг. м2. Радиусы цилиндров r1 м и r2 м.
41. На полый цилиндр массы m г намотана нить, свободный конец которой прикреплен к кронштейну. Определить силу натяжения нити при опускании цилиндра.
42. На сплошной однородный цилиндр массы m г намотана нить, свободный конец которой прикреплен к кронштейну. Определить силу натяжения нити при опускании цилиндра.
43. На цилиндрический вал колодца массы M кг и радиуса R м намотана веревка с ведром. Масса ведра m кг. Найти угловое ускорение вала при опускании ведра.
44. Блок массы m г и радиуса R см может вращаться вокруг своей оси с трением, характеризуемым моментом M Н. м. На блок намотана нить с грузом m1 г. Груз отпускают, и он начинает опускаться, раскручивая блок. Найти момент импульса системы через t с.
45. Через блок массы m г радиуса R см перекинут шнур, к концам которого прикреплены грузы массой m1 г и m2 г. Рассчитать ускорение грузов с учетом силы трения, создающей в оси блока тормозящий момент M Н×м.
46. На полый тонкостенный цилиндр массы m г намотана нить. Свободный конец прикреплен к потолку лифта, движущегося вниз с ускорением a м/с2. Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта.
47. На сплошной однородный цилиндр массы m г намотана нить. Свободный конец прикреплен к потолку лифта, движущегося вниз с ускорением a м/с2. Цилиндр предоставлен сам себе. Найти ускорение цилиндра относительно лифта.
