Предел числовой последовательности

3. Предел числовой последовательности

3.1. Понятие числовой последовательности и функции натурального аргумента

Определение 3.1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{x1, x2, x3, ... }.

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение {xn}.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c×{xn} – это последовательность с элементами {c×xn}, то есть

c×{x1, x2, x3, ... }={c×x1, c×x2, c×x3, ... }.

2. Сложение и вычитание последовательностей.

{xn}±{yn}={xn±yn},

или, более подробно,

{x1, x2, x3, ... }±{y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Умножение последовательностей.

{xn}×{yn}={xn×yn}.

4. Деление последовательностей.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Естественно, предполагается, что в этом случае все yn ¹ 0.

Определение 3.2. Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если .

Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если .Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

3.2. Предел последовательности. Бесконечно большая последовательность

Определение 3.3. Число a называется пределом последовательности {xn} при n стремящимся к бесконечности, если

.

Для этого факта используют следующие обозначения:

или .

Подчеркнем, что N зависит от e.

Варианты определения.

Говорят, что , если .

Говорят, что , если .

Определение 3.4. Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если (то есть, если ).

3.3.  Бесконечно малая последовательность.

Определение 3.5. Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если , то есть если .

Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/xn}, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn} – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/xn} есть бесконечно большая последовательность.

3.4.  Сходящиеся последовательности.

Определение 3.6. Если существует конечный предел , то последовательность {xn} называется сходящейся.

Сходящиеся последовательности имеют следующие свойства.

1. Сходящаяся последовательность ограничена.

2. .

3. .

4. .

5. Если , то .

3.5.  Предельный переход в неравенствах.

Теорема 3.1. Если, начиная с некоторого N, все xn ³ b, то .

Следствие. Если, начиная с некоторого N, все xn ³ yn, то .

Замечание. Заметьте, что если, начиная с некоторого N, все xn > b, то , то есть при предельном переходе строгое неравенство может перейти в нестрогое.

Теорема 3.2. («Теорема о двух милиционерах») Если, начиная с некоторого N, выполнены следующие свойства

1. ;

2. ,

то существует .

3.6. Предел монотонной последовательности.

Определение 3.7. Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 ³ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 > xn.

Оба этих случая объединяют символом xn­.

Определение 3.8. Последовательность {xn} называется монотонно убывающей, если для любого n xn+1 £ xn.

Последовательность {xn} называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn+1 < xn.

Оба этих случая объединяют символом xn¯.

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn} ( inf{xn} ).

2 Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный +¥ ( -¥ ).

На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел

3.8. Подпоследовательности

Пусть имеется некоторая последовательность {xn}={x1, x2, x3, ... }. Рассмотрим последовательность n1, n2, n3, ... , где

а) все ni - целые положительные числа;

б) ni­+¥

и рассмотрим последовательность . Она называется подпоследовательностью последовательности {xn}.

Теорема 3.3. Если последовательность {xn} сходится и ее предел равен a, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.

Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Лемма Больцано - Вейерштрасса.

1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.

2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.

На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов – Признак сходимости Больцано-Коши.

Для того, чтобы у последовательности {xn} существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

.

Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе.