Задачи: Принцип Дирихле
1. В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день.
2. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6 х 6 из чисел 
так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по диагоналям были различны. Как помочь Буратино?
3. На Земле океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.
4. На собеседование пришли 65 школьников, им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась оценка: 2, 3, 4, 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?
5. В классе 30 учеников. Во время контрольной Петя сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что найдутся 3 ученика, сделавших одинаковое число ошибок.
6. На плоскости проведено 12 прямых. Докажите, что какие-то две из них образуют угол не больше 
7. Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делятся на 100.
8. В классе 25 учеников. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей.
9. Первоклассник Петя знает цифру 1. Докажите, что он может написать число, делящееся на 1989.
--
10. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике только яблоки одного сорта). Докажите, что есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного сорта.
11. Дано 8 различных натуральных чисел, каждое из которых не больше 15. Докажите, что среди их попарных разностей есть три одинаковые.
12. Для каждого натурального числа 
существует число вида 
делящееся на 
13. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
14. В бригаде 7 человек и их суммарный возраст - 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех, сумма возрастов которых не менее 142 лет.
15. Несколько дуг окружности окрасили в синий цвет. Сумма длин окрашенных меньше длины дуги окружности. Докажите, что существуют диаметрально противоположные точки, не окрашенные.
белок собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое количество орехов.
17. Докажите, что среди любых 6 человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
18. В классе 35 учеников. Докажите, что среди них есть по крайней мере двое, у которых фамилии начинаются с одной буквы.
19. В бору 600 000 сосен и на каждой не более 500 000 иголок. Докажите, что есть в бору две сосны с одинаковым количеством игл.
20. Алеша в среду, четверг и пятницу съел всего 7 конфет. Докажите, что хотя бы в один день он съел более 2 конфет.
21. Машинистка перепечатывала текст в 25 страниц и сделала 102 ошибки. Докажите, что есть страница, на которой более 4 ошибок.
22. В ящике лежат 105 яблок четырех сортов. Докажите, что есть по крайней мере 27 яблок одного сорта.
23. В школе 30 классов и 995 учеников. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.
24. Среди любых 
натуральных чисел найдутся два, которые при делении на дают одинаковые остатки.
25. Среди любых натуральных чисел найдутся два таких числа, разность которых делится на
26. Докажите, что из любых трех чисел можно найти два, сумма которых четна.
27. Докажите, что среди любых 9 последовательных натуральных чисел найдется по крайней мере одно, взаимно простое со всеми остальными.
28. Цифры 1 – 9 разбили на 3 группы. Докажите, что произведение чисел в одной из них не меньше 72.
29. Десять математиков составили 35 задач для олимпиады. Известно, что были такие математики, которые составили по 1, 2 или 3 задачи. Докажите, что есть математик, составивший не менее 5 задач.
30. Дано 51 различное натуральное число, меньшее 100. Докажите, что среди них можно выбрать 6 таких чисел, что никакие два из них не имеют одинаковых цифр ни в одном разряде.
31. Дан набор различных натуральных чисел, меньших 
Докажите, что из него можно выбрать три числа так, что одно их них равно сумме двух других.
32. На плоскости проведено прямых, никакие две из них не параллельны. Докажите, найдутся две прямые, угол между которыми не более 
градусов.
33. В квадрате 4х4 нарисованы 15 точек. Докажите, что из него можно вырезать квадратик размером 1х1, не содержащий точек.
34. Не видя написанных на гранях куба чисел от 1 до 6, Леша утверждает, что:
- у куба есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа;
- таких пар соседних граней не менее двух. Прав ли он?
35. Можно ли занумеровать вершины куба числами от 1 до 8 так, чтобы суммы номеров на концах отрезка были различны?
