«Графические приёмы при решении задач с параметрами»

«Графические приёмы при решении задач с параметрами» (метод областей)

I.  На примере решения задачи:

«При каких значениях параметра неравенство выполняется при всех ?»

познакомимся с методом областей, сделав замечание о том, что взгляд на параметр как на равноправную переменную находит своё отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно, можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость . Отказ от традиционного выбора букв и для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – «метод областей».

Решение. 1). Раскроем модули с учётом знака подмодульного выражения:

2). Запишем все системы получившихся неравенств:

а)

б)

в)

г)

3). Покажем множество точек, удовлетворяющих каждой системе неравенств

4). Объединяя все области, показанные на рисунке штриховкой, можно заметить, что неравенству не удовлетворяют точки , лежащие внутри парабол.

На рисунке видно, что при любом значении параметра можно найти область, где лежат точки, координаты которых удовлетворяют исходному неравенству. Неравенство выполняется при всех , если .

Ответ: при .

II. Делаем вывод: рассмотренный пример представляет собой «открытую задачу» - можно рассмотреть решение целого класса задач, не изменяя рассмотренное в примере выражение, в которых технические трудности построения графиков уже преодолены.

Примени полученные знания для решения задач.

Задача1. При каких значениях параметра уравнение не имеет решений?

Ответ: при .

Задача 2. При каких значениях параметра уравнение имеет два решения? Запишите оба найденных решения.

Ответ: , тогда , ;

, тогда ;

, тогда ;

, тогда , .

Задача 3. При каких значениях параметра уравнение имеет один корень? Найдите этот корень.

Ответ: при при .

Задача 4. Решите неравенство .

(«Работают» точки, лежащие внутри парабол).

Ответ: , ;

, ;

, решений нет;

, ;

, .

III. Пришли к выводу о самых общих признаках, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод:

·  в задаче фигурирует лишь один параметр и одна переменная ; они конструируют некоторые аналитические выражения , и т. д.;

·  графики уравнений , и т. д. в системе координат строятся несложно.

·   

IV. Уточняем и записываем в тетрадь процесс решения задач с помощью метода областей

Процесс решения задач схематично выглядит так:

·  строится графический образ;

·  пересекается полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси;

·  «снимается» нужная информация.

V. Перейти к решению задач, к которым рекомендации более конкретны:

получить равенство вида , выражая параметр через переменную;

на плоскости строить график функции .

Задача 1.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств образует на числовой прямой отрезок длины 1.

Решение. Перепишем исходную систему в таком виде

Все решения этой системы (пары вида ) образуют некоторую область, ограниченную параболами и (рис 1).

Рис. 1.

Очевидно, решением системы неравенств будет отрезок длины 1 при и при .

Ответ: ; .

Задача 2.Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит число , а так же содержит два отрезка длиной , не имеющие общих точек.

Решение. По смыслу неравенства ; перепишем неравенство, умножив обе его части на (), получаем неравенство:

, ,

, ,

(1)

Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:

1) 2)

Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 2).

Рис. 2

Очевидно, интервал не может содержать отрезка длины . Значит, два непересекающихся отрезка длины содержатся в интервале . Это возможно при , т. е. при .

Ответ: .

Задача 3.Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства содержит отрезок длиной 4 и при этом содержится в некотором отрезке длиной 7.

Решение. Проведём равносильные преобразования, учитывая, что и . , ,

, ,

; последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:

1) 2)

Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 3).

Рис. 3

1) При множество решений – это интервал длиной, меньшей 4. При множество решений – это объединение двух интервалов .Содержать отрезок длиной 4 может только интервал . Но тогда , и объединение уже не содержится ни в каком отрезке длиной 7. Значит, такие не удовлетворяют условию.

2) множество решений – это интервал . Он содержит отрезок длиной 4, только если его длина больше 4, т. е. при . Он содержится в отрезке длиной 7, только если его длина не больше 7, т. е. при , тогда .

Ответ: .

Задача 4. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит число 4, а также содержит два непересекающихся отрезка длиной 4 каждый.

Решение. По условия . Домножим обе части неравенства на (). Получим равносильное неравенство, в котором сгруппируем все члены в левой части и преобразуем её в произведение:

, ,

, .

Из последнего неравенства следует:

1) 2)

Покажем области, которые соответствуют этим системам (рис. 4).

Рис. 4

а) При получаем интервал , не содержащий числа 4. При получаем интервал , также не содержащий числа 4.

б) При получаем объединение двух интервалов. Непересекающиеся отрезки длиной 4 могут располагаться только в интервале . Это возможно только в том случае, если длина интервала больше 8, т. е. если . При таких выполнено и другое условие: .

Ответ: .

Задача 5. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержит какой-нибудь отрезок длиной 2, но не содержит никакого отрезка длиной 3.

Решение. По смыслу задания , умножим обе части неравенства на , сгруппируем все члены в левой части неравенства и преобразуем её в произведение:

, ,

, . Из последнего неравенства следует:

1) 2)

Покажем область, которая соответствует первой системе (рис. 5).

Рис. 5

Очевидно, что условие задачи выполняется, если .

Ответ: .

Задача 6. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства 1+ содержится в некотором отрезке длиной 1 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 0,5.

Решение. 1). Укажем ОДЗ переменной и параметра:

2). Перепишем неравенство в виде

, ,

, ,

(1). Неравенство (1) равносильно совокупности двух систем:

1)

2)

С учётом ОДЗ решения систем выглядят так:

1)

а) б)

Покажем область, соответствующую системе а) (рис. 6). Рис. 6

2)

а) б)

Покажем область, соответствующую системе а) (рис. 7). Рис. 7

Ответ: .

Задача 7. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные
не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.

Решение. I. Найдём все решения неравенства .

а). ОДЗ: , т. е. (учли в решении, что функция возрастает на ).

б). На ОДЗ неравенство равносильно неравенству , т. е. , что даёт:

1).

2).

Очевидно, решением неравенства служит множество значений .

II. Проиллюстрируем вторую часть задачи о членах возрастающей арифметической прогрессии рисунком ( - первый член, - второй и т. д.)

Рис. 8

Очевидно, что одновременно должны выполняться условия:

Перепишем эти условия в виде системы неравенств:

Систему этих линейных неравенств решим графическим способом. Построим прямые и , а также прямые

, , , , , , .

Все решения этой системы образуют область, показанную штриховкой на рисунке.

Рис. 9

Ответ: возможные значения первого члена .

Задача 8. . Найдите все значения при которых в области определения функции столько же целых чисел, сколько их в области определения функции

Решение. I. Покажем, что в области определения второй функции имеется ровно три целых числа. Целые значения из области определения функции удовлетворяют условию , тогда это числа: -1; 0; 1.

Функция чётная;

Заметим, если , то .

II. Функция определена, если

Найдём корни квадратного трёхчлена

тогда .

Перепишем систему неравенств в виде

(*)

Последняя система равносильна совокупности двух систем:

а) б)

На плоскости покажем графическое решение системы (*) (см. рис.10).

Вероятно, что 3 целых числа в области определения функции следует искать среди чисел 0, 1, 2, 3 и, может быть, числа 4. Проведём дополнительные прямые , , , , и посмотрим, при каких выполняется условие задачи.

Очевидно, что в области определения функции ровно 3 целых числа при всех

Ответ:

Задача 9. При каких значениях параметра площадь фигуры, заданной на координатной плоскости условием , равна 24?

Решение. 1) , тогда такой фигуры не существует.

2) т. е. , что возможно при тогда эта фигура – точка .

3) . Выясним, какую фигуру задаёт множество точек, удовлетворяющих условию задачи.

Заметим, что

Получаем системы неравенств:

а). б).

в)

г) В плоскости покажем множество точек, удовлетворяющих, каждой системе неравенств (см. рис. 11).

Рис. 11

Оказалось, что при заданное множество – параллелограмм с центром в точке и сторонами, параллельными прямым и , которому соответствует площадь, равная 24.

4) , тогда

Ответ: при

VI. Дома: решить задачи. Задача 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств образует на числовой прямой отрезок длины 1. Ответ: ; .

Задача 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.

Ответ:

Задача 3. Найдите все значения параметра , при которых в множестве решений неравенства можно расположить два отрезка длиной 1 и длиной 4, которые не имеют общих точек.

Ответ: .

Задача 4. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства содержится в некотором отрезке длиной 4 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 2.

Ответ: .

Задача 5. Семь чисел образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью . Первый, второй и шестой члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений разности этой прогрессии. Ответ: .

VII. Подводим итог: разобранные задачи достаточно убедительно демонстрируют эффективность предложенного метода. (Однако, к сожалению, сфера применения этого метода ограничена трудностями, с которыми можно столкнуться при построении графического образа.)