Программа курса
"Дифференциальные уравнения"
Направление Прикладная математика и информатика
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Цель курса – освоение студентами фундаментальных знаний в области обыкновенных дифференциальных уравнений, изучение способов исследования и решения дифференциальных уравнений, а также их практического применения.
Задачами данного курса являются:
· формирование базовых знаний в области дифференциальных уравнений как дисциплины, обеспечивающей научные основы современных моделей окружающего мира и технологических процессов;
· обучение студентов методам решения дифференциальных уравнений и выявления их особенностей и специфических свойств;
· формирование подходов к выполнению студентами исследований в области дифференциальных уравнений в рамках выпускных работ на степень бакалавра.
Содержание дисциплины
№ п/п | Раздел | Тема | Содержание | |
1 | Введение в предмет | Основные определения и понятия | Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы первого порядка. Понятие решения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка. Автономные и неавтономные уравнения. Динамические системы. Геометрические понятия, связанные с дифференциальными уравнениями. Фазовое пространство и расширенное фазовое пространство. Поле направлений, интегральные кривые. Векторное поле, фазовые кривые (траектории). Фазовый портрет, положения равновесия, предельные циклы. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и поля направлений, замены переменных в дифференциальном уравнении. Симметрии векторного поля и поля направлений. Преобразование сдвига вдоль решений автономной и неавтономной системы. Фазовый поток автономной системы. Первые интегралы автономных и неавтономных систем. | |
Основные теоремы | Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Уравнение в вариациях и теорема о гладкой зависимости решения от параметров и начальных условий. Теоремы о выпрямлении поля направлений и векторного поля. Теоремы о продолжении решений. Максимальный интервал существования. Локальные теоремы о первых интегралах. | |||
Приемы интегрирования некоторых специальных классов обыкновенных дифференциальных уравнений | Понятие интегрируемости в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения в полных дифференциалах и интегрирующие множители. Уравнения, допускающие понижение порядка. Однородные и квазиоднородные уравнения. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнения, не разрешенные относительно производной. | |||
2 | Линейные уравнения и системы | Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами | Экспонента линейного оператора. Определитель экспоненты. Экспонента жордановой клетки. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Пространство решений. Фундаментальная система решений. Характеристическое уравнение. Разложение фазового пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Общее решение. Линейное однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами: пространство решений, характеристическое уравнение, общее решение. Классификация особых точек линейных систем на плоскости и их фазовые портреты. Линейные неоднородные системы уравнений с постоянными коэффициентами: общие свойства, метод вариации постоянных, частное решение системы с правой частью в виде квазимногочлена. Линейное неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами: общие свойства, метод вариации постоянных, частное решение уравнения с правой частью в виде квазимногочлена. | |
Линейные уравнения и системы с переменными коэффициентами | Пространство решений линейной однородной системы. Фундаментальная система решений, фундаментальная матрица, определитель Вронского, формула Лиувилля–Остроградского. Линейные неоднородные системы уравнений с переменными коэффициентами: общие свойства, метод вариации постоянных. Линейное однородное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами: общие свойства, пространство решений, линейная независимость и зависимость решений, фундаментальная система решений, определитель Вронского, формула Лиувилля–Остроградского. Линейное неоднородное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами: общие свойства, метод вариации постоянных, формула Коши для общего решения. | |||
Линейные уравнения второго порядка и задача Штурма–Лиувилля | Линейное однородное уравнение 2-ого порядка с переменными коэффициентами: теорема Штурма о перемежаемости нулей решений. Теорема сравнения Штурма, теорема Кнезера. Задача Штурма–Лиувилля, существование бесконечной последовательности собственных чисел. | |||
Линейные системы с периодическими коэффициентами и теория Флоке–Ляпунова | Линейные однородные системы уравнений с периодическими коэффициентами. Оператор монодромии. Мультипликаторы. Теория Флоке–Ляпунова: общий вид фундаментальной матрицы линейной периодической системы, приводимость к системе с постоянными коэффициентами. | |||
3 | Уравнения в частных производных первого порядка и метод характеристик | Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка | Линейные уравнения в частных производных первого порядка и их характеристики. Интегрирование с помощью характеристик. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Характеристики и общее решение. | |
Уравнение Гамильтона–Якоби | Уравнение Гамильтона–Якоби и система Гамильтона. Лагранжевы многообразия и решение задачи Коши для стационарного и нестационарного уравнения Гамильтона–Якоби. | |||
Общие нелинейные уравнения в частных производных первого порядка | Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка и их характеристики. Связь с частными случаями линейных и нелинейных уравнений. | |||
Катастрофы решений уравнений в частных производных первого порядка | Катастрофы в решении задачи Коши для нестационарного уравнения Гамильтона–Якоби. Примеры катастроф (уравнение Эйлера–Хопфа, уравнение эйконала в изотропной неоднородной среде). | |||
4 | Теория устойчивости | Понятие и виды устойчивости | Устойчивость по Ляпунову. Основные определения: устойчивость, асимптотическая устойчивость, неустойчивость. | |
Устойчивость линейных систем | Устойчивость линейных однородных систем: основные определения. Устойчивость систем с постоянными и периодическими коэффициентами. Устойчивость и сильная устойчивость линейных гамильтоновых систем с постоянными коэффициентами. Расположение и структура множества собственных чисел. Устойчивость и сильная устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Расположение и структура множества мультипликаторов. Параметрический резонанс. Характеристические показатели Ляпунова. Спектр Ляпунова линейной системы с непрерывной ограниченной матрицей. | |||
Теория Ляпунова | Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Функция Четаева. Теорема Четаева о неустойчивости. Теорема об исследовании равновесия на асимптотическую устойчивость по линейному приближению. | |||
5 | Системы с дискретным временем | Линейные однородные и неоднородные системы с дискретным временем | Динамические системы с дискретным временем. Линейные однородные системы с дискретным временем, их общее решение. Рекуррентные последовательности. Линейные неоднородные системы уравнений с дискретным временем и рекуррентные последовательности с неоднородностью в виде квазимногочлена. |
|
Список вопросов к экзамену за 3 семестр
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы первого порядка. Понятие решения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка. Автономные и неавтономные уравнения.
2. Геометрические понятия, связанные с дифференциальными уравнениями. Фазовое пространство и расширенное фазовое пространство. Поле направлений, интегральные кривые. Векторное поле, фазовые кривые (траектории). Фазовый портрет, положения равновесия.
3. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и поля направлений, замены переменных в дифференциальном уравнении. Симметрии векторного поля и поля направлений.
4. Сжимающие отображения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в вариациях и теорема о гладкой зависимости решения от параметров и начальных условий. Теоремы о выпрямлении поля направлений и векторного поля.
5. Теоремы о продолжении решений. Максимальный интервал существования.
6. Преобразование сдвига вдоль решений автономной и неавтономной системы. Фазовый поток автономной системы.
7. Первые интегралы автономных и неавтономных систем. Локальные теоремы о первых интегралах.
8. Экспонента линейного оператора. Определитель экспоненты. Экспонента жордановой клетки.
9. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Пространство решений. Фундаментальная система решений. Характеристическое уравнение. Разложение фазового пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Общее решение.
10. Линейное однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами: пространство решений, характеристическое уравнение, общее решение.
11. Классификация особых точек линейных систем на плоскости и их фазовые портреты.
12. Линейные неоднородные системы уравнений с постоянными коэффициентами: общие свойства, метод вариации постоянных, частное решение системы с правой частью в виде квазимногочлена.
13. Линейное неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами: общие свойства, метод вариации постоянных, частное решение уравнения с правой частью в виде квазимногочлена.
14. Теорема о продолжении решений.
15. Пространство решений линейной однородной системы. Оператор Коши. Общее решение. Фундаментальная система решений, фундаментальная матрица, определитель Вронского, формула Лиувилля–Остроградского.
16. Линейные неоднородные системы уравнений с переменными коэффициентами: общее решение, метод вариации постоянных.
17. Линейное однородное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами: общие свойства, пространство решений, линейная независимость и зависимость решений, фундаментальная система решений, определитель Вронского, формула Лиувилля–Остроградского.
18. Линейное неоднородное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами: общие свойства, метод вариации постоянных, формула Коши для общего решения.
19. Уравнения с разделяющимися переменными.
20. Уравнения в полных дифференциалах и интегрирующие множители.
21. Уравнения, допускающие понижение порядка.
22. Однородные и квазиоднородные уравнения.
23. Уравнения Бернулли и Риккати.
24. Уравнения, не разрешенные относительно производной.
25. Линейные однородные системы уравнений с периодическими коэффициентами. Оператор монодромии. Мультипликаторы.
26. Теория Флоке–Ляпунова: общий вид фундаментальной матрицы линейной периодической системы, приводимость к системе с постоянными коэффициентами.
Список вопросов к экзамену за 4 семестр
1. Линейные уравнения в частных производных первого порядка и их характеристики. Интегрирование с помощью характеристик.
2. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Решение задачи Коши методом характеристик.
3 Решение задачи Коши для нестационарного уравнения Гамильтона–Якоби.
4. Катастрофы в решении задачи Коши для нестационарного уравнения Гамильтона–Якоби.
5. Примеры катастроф (уравнение Эйлера–Хопфа, уравнение эйконала в изотропной неоднородной среде).
6. Линейное однородное уравнение 2-ого порядка с переменными коэффициентами: теорема Штурма о перемежаемости нулей решений.
7. Линейное однородное уравнение 2-ого порядка с переменными коэффициентами: теорема сравнения Штурма, теорема Кнезера.
8. Задача Штурма–Лиувилля, существование бесконечной последовательности собственных чисел.
9. Устойчивость линейных однородных систем: основные определения. Устойчивость систем с постоянными и периодическими коэффициентами.
10. Устойчивость и сильная устойчивость линейных гамильтоновых систем с постоянными коэффициентами. Расположение и структура множества собственных чисел.
11. Устойчивость и сильная устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Расположение и структура множества мультипликаторов. Параметрический резонанс.
12. Характеристические показатели Ляпунова. Спектр Ляпунова линейной системы с непрерывной ограниченной матрицей.
13. Устойчивость по Ляпунову. Основные определения: устойчивость, асимптотическая устойчивость, неустойчивость. Устойчивость по Ляпунову в линейных системах.
14. Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости.
15. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.
16. Функция Четаева. Теорема Четаева о неустойчивости.
17. Теорема об исследовании равновесия на асимптотическую устойчивость по линейному приближению.
18. Динамические системы с дискретным временем.
19. Линейные однородные системы с дискретным временем, их общее решение. Рекуррентные последовательности.
20. Линейные неоднородные системы уравнений с дискретным временем и рекуррентные последовательности с неоднородностью в виде квазимногочлена.
Основная литература
1. Арнольд дифференциальные уравнения. Изд. третье. – М.: Наука, 1984.
2. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.
3. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1961.
4. Филиппов задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: "РХД", 2000
5. Петровский по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. шестое. – М.: Наука, 1970
Дополнительная литература.
1. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978.
2. Арнольд методы классической механики. Изд. третье. – М.: Наука, 1989.
3. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961.
4. Устойчивость движения. – Гостехиздат. 1955.
5. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.
Пособия и методические указания.
1. , Головач уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике, т. 5. – М.: Эдиториал УРСС, 2001.
2. , М. Сборник задач по доп. главам мат. физики. – М.: Высшая школа, 1978.
Электронные ресурсы, включая доступ к базам данных и. т. д.
1. Электронная математическая библиотека портала EqWorld (http://eqworld. *****/)
2. Электронный задачник (*****)
