Лекция 6 Тема: Основы молекулярно - кинетической теории

Лекция 6

Тема: Основы молекулярно - кинетической теории.

План: 1. Понятие идеального газа и уравнения, описывающие

его состояние.

2. Основные уравнения молекулярно - кинетической теории

идеального газа.

3. Статистика Максвелла и Больцмана.

Введение

На прошлых лекциях мы рассмотрели вопросы, связанные с описанием движения отдельных тел (материальных точек). Этот раздел физики был назван “Классической” или “Ньютоновой механикой”.

Возникает вопрос: “можно ли?” и если можно “то как?” описать свойства тел, состоящих из множества движущихся материальных точек, например, молекул газа? В принципе существует два подхода для такого описания: статистический или вероятный, когда учитываются усредненные характеристики движения отдельных частиц, и термодинамический или энергетический, когда движение частиц, принадлежащих телу не учитывается, а в расчет берутся только энергетические характеристики системы в целом. Оба метода дополняют друг друга. И сегодня мы рассмотрим элементы одного из них. Тема. План.

1.1.1. Для рассмотрения возьмем наиболее простую систему, называемую идеальным газом. Его основные свойства: 1. Размером молекул можно пренебречь в условиях данной задачи (они много меньше объема, занимаемого газом). 2. Взаимной потенциальной энергией взаимодействия молекул пренебрегаем, (они находятся далеко друг от друга). 3. Молекулы, сталкиваясь со стенками сосуда и между собой испытывают абсолютно упругий удар. 4. Механика их соответствует классической (Ньютоновой). 5. Молекулы движутся хаотически.

1.2. Для идеального газа (реального, отвечающего сформулированным условиям) были экспериментально установлены законы, известные вам как законы Бойля - Мариотта и Гей - Люсака.

 

- абсолютная температура, а - абсолютный нуль по шкале Кельвина.

1.3. Менделеев и Клапейрон, объединив все три закона в один, придали ему вид , где - масса идеального газа, - его молярная масса, - универсальная газовая постоянная, имеющая смысл работы (энергии), которую необходимо совершить (затратить) 1 киломолем газа при изменении температуры на 1°К. Закон Менделеева - Клапейрона дает возможность построить газовый термометр и выражение, описывающее его состояние.

1.4. Учитывая, что , запишем .

Отсюда , т. е. давление газа пропорционально его абсолютной температуре и концентрации молекул.

2. Остановимся на этом вопросе подробнее. Пусть в кубе с ребром длиною движется молекул. Тогда, вследствие хаотичности их движения, в каждом из трех направлений движется молекул.

2.1. Рассмотрим, например, движение вдоль . Расстояние молекула 1 пройдет за время . Импульс силы, сообщенной ей при ударе о стенку, будет равен . Если массы всех молекул однородного газа одинаковы, то этого нельзя сказать об их скорости (каждая молекула вследствие хаотичности движения обладает своей особой скоростью). Следовательно, давление на стенку сосуда Можно заменить средне квадратичной скоростью молекул , тогда - основное уравнение молекулярно - кинетической теории.

2.2. Следствие 1. Учитывая, что , запишем , откуда - кинетическая энергия молекул

Можно сказать наоборот: температура газа его молекулы.

2.3. Следствие 2. Так как число степеней свободы молекулы равно 3, то можно предположить, что на каждую степень свободы приходится средняя энергия , а в общем случае считать, что если число степеней свободы i, то .

2.4. Следствие 3. Внутренняя энергия идеального газа по определению есть сумма кинетических энергий молекул его составляющих. Следовательно . Т. к.. , то !

3. 3.1. Усреднив скорости молекул при выводе основного уравнения молекулярно - кинетической теории газа, мы получим весьма серьезные выводы. Тем не менее, вопрос об истинном распределении молекул по скоростям, являясь весьма существенным для понимания физики газа, волновал ученых. Поэтому выдающийся английский физик Максвелл, пользуясь методами математической статистики, рассмотрел этот вопрос. Он пришел к ряду интересных выводов. Прежде всего нельзя принципиально указать скорость отдельно взятой молекулы, можно только решить проблему распределения молекул газа по скоростям, указав интервал скоростей и число молекул, “находящихся” в этом интервале. Иначе говоря, можно найти функцию распределения молекул газа по скоростям при данной температуре газа и прочих неизменных внешних условиях. Функция Максвелла выглядит следующим образом (рис.1.) из чего следуют выводы:

1. нет ни одной молекулы, скорость которой =0, и мала вероятность найти молекулу . 2. Максимум кривой соответствует скорости, которая является наиболее вероятной.

Этой скоростью обладает наибольшеечисло молекул газа при данных условиях. Далее указаны средняя арифметическая и среднеквадратичная скорости молекул, которые больше, чем наиболее вероятная скорость:

Заметим, что площадь, заключенная под кривой, равна .

3.2. Естественно подчеркнуть, что, определив закон распределения молекул по скоростям Максвелл указал на их распределение по кинетическим энергиям.

Ясно, что у идеального газа отсутствует взаимная потенциальная энергия молекул, но последние, например, для воздуха, находятся в поле тяготения Земли, являющемся, как отмечено ранее, потенциальным.

Каково же распределение молекул в поле потенциальных сил? Эта задача была решена Больцманом, выдающимся австрийским физиком.

Рассмотрим изменение давления в столбе воздуха, находящегося в поле тяготения Земли.

, где знак " - " указывает на уменьшение давления с ростом высоты h

; - барометр.

- формула Больцмана.