Устойчивость систем автоматического регулирования

Устойчивость систем автоматического регулирования

Устойчивость является очень важной характеристикой качества функционирования систем и устройств, применяемых в самых различных областях техники. Особенно остро проблема устойчивости стоит в автоматике. Это объясняется следующим. Автоматические системы являются замкнутыми системами, у которых выходная величина через основную обратную связь подается на вход системы, где сравнивается с задающим воздействием.

Нормально функционирующая система стремится уменьшить разность между значениями задающего воздействия и регулируемой величины. Однако в ряде случаев может получиться так, что эта разность будет не уменьшаться, авозрастать с течением времени, т. е. система будет неустойчивой. Характерно, что неустойчивой может быть система, состоящая только из устойчивых звеньев, как это бывает на практике. Только устойчивая автоматическая сиcтема является работоспособной. Поэтому одной из основных задач теории автоматическоrо регулирования является исследование устойчивости автоматических систем.

Понятие устойчивости автоматической системы связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Сначала выясним физическую трактовку понятия устойчивости. Рассмотрим шар, помещенный в верхнюю точку возвышенности. Он находится в неустойчивом положении. Действительно, достаточно малейшего отклонения шара от начального положения, как он скатится по склону поверхности и не возвратится в исходное положение. Наоборот шар, находящийся во впадине, занимает устойчивое положение, так как после отклонения он обязательно возвратится к своему первоначальному состоянию.

Геометрическое объяснение устойчивости

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из этого состояния и прекращения действия возмущения.

Как видно из определения, способность системы возвращаться в первоначальное состояние связывается с начальными отклонениями. Всегда ли за исходное состояние системы, устойчивость которой оценивается, берут состояние покоя? Нет, не всегда. В общем случае можно говорить об устойчивости движения, т. е. движения, связанного с любым перемещением массы или энергии. Например, можно оценивать устойчивость движения спутника как его способность возвращаться на исходную орбиту после прекращения действия сил, отклоняющих спутник от заданной орбиты. Точно так же можно оценивать устойчивость системы автоматического регулирования как ее способность возвращаться к первоначальному невозмущенному движению после прекращения действия возмущения.

Математическая оценка устойчивости. Ввиду сложности автоматических систем для оценки их устойчивости только физических представлений недостаточно. Для этого необходимо применение математического аппарата. Поэтому рассмотрим, в чем состоит особенность математической трактовки устойчивости автоматических систем.

Если автоматическая система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная сиcrема, уcтойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные же системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших.

Впервые наиболее существенные математические результаты по устойчивости механических систем были получены русским ученым в начале 20 века. Поскольку различные по своей природе материальные системы описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, то результаты по устойчивости механических систем, полученные , можно применить и ко многим другим физическим системам, в том числе и к системам автоматического регулирования.

Теоремы Ляпунова: 1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная автоматическая система будет также устойчивой, т. е. реальная автоматическая система будет также устойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость автоматической системы. 2. Если характеристическое уравнение линеаризованной автоматической системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная автоматическая система будет также устойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой. 3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной автоматической системы не всегда даже качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав автоматическую систему устойчивой или неустойчивой

Математически устойчивость невозмущенного движения оценивают по характеру возмущенного движения какспособность системы приходить в результате возмущения к невозмущенному движению, если действие возмущения прекратилось. По этой причине возмущенное движение чаще рассматривают как свободное движение системы, поскольку проще решать однородное дифференциальное уравнение с ненулевыми начальными условиями, чем неоднородное уравнение.

Если невозмущенное движение характеризуется функцией y0(t), а возмущенное - функцией y(t), то возмущенное движение можно описать отклонением величин от тех значений, которые они имеют при невозмущенном движении:

Начальными условиями для свободного движения, записанного в отклонениях. Они возникли в результате действия возмущения, которое затем прекратилось. Поэтому это уравнение описывает процесс свободного движения системы.

Как трактуется определение устойчивости в этом случае?

Невозмущенное движение будет устойчивым, если для всякого положительного числа e, как бы мало оно ни было, можно подобрать другое число h, зависящее от e, такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент

при всех t > 0 выполняется равенство

 .

Свободное движение линейной системы описывается однородным дифференциальным уравнением

Решение этого уравнения представляет собой сумму членов ряда

,

где рk - корни характеристического уравнения; 
 Сk - постоянные интегрирования.

Автоматическая система будет устойчивой, если решение дифференциального уравнения удовлетворяет условию

Для затухающего переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходится, т. е. система окажется неустойчива.

Трудность применения прямого метода Ляпунова к решению прикладных задач связана с отсутствием широко разработанных приемов построения функций Ляпунова в тех или иных частных случаях. Однако, если задача о построении функций Ляпунова для какого-либо класса автоматических систем решена, то прямой метод можно рассматривать как наиболее эффективный метод исследования устойчивости. Его особенная ценность проявляется в тех случаях, когда интересуются исследованием устойчивости тех систем в большом, то есть при любых конечных возмущениях. Кроме того этот метод может применяться к изучению устойчивости тех систем автоматического регулирования, которые содержат существенно нелинейные и неаналитические (разрывные) характеристики.

Если какая-либо задача об устойчивости в теории автоматического регулирования может быть решена прямым методом, то решение не будет однозначным. Действительно, функции Ляпунова определены столь общими свойствами, что их может быть построено бесчисленное множество. При этом следует помнить, что полученное решение может оказаться неконструктивным, то есть таким, которое предъявляет чрезмерно высокие требования к параметрам автоматической системы, реализовать которые практически невозможно.

Итак, мы установили необходимое и достаточное условие устойчивости линейных автоматических систем. Если изображать эти корни точками на комплексной плоскости, то необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в том, чтобы все корни были расположены в левой части комплексной плоскости.

Расположение корней для устойчивой и неустойчивой автоматических систем

Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости.

Резюме: Для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней характеристического уравнения были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходится, т. е. автоматическая система окажется неустойчивой. Для устойчивой линейной автоматической системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень характеристического уравнения окажется справа от мнимой оси, то автоматическая система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения.

Превращение устойчивой автоматической системы в неустойчивую в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая граница устойчивости автоматической системы.

Автоматическая система будет находиться на границе устойчивости при наличии:
- нулевого вещественного корня;
- пары чисто мнимых корней;
- бесконечного корня.
Во всех трех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

Следовательно, для определения устойчивости автоматической системы придется решать ее характеристическое уравнение, чтобы определить знаки его корней. Аналитическое решение характеристических уравнений 3-го и 4-го порядков требует много времени, а уравнения 5 и более высоких порядков аналитически вообще не решаются.

Поэтому возникает вопрос, как определить знаки корней или их вещественных частей, а следовательно устойчивость автоматической системы, не решая дифференциальных уравнений?