Домашнее задание после семинара 17 октября

Тип задач 1.

С. в. Х имеет нормальное распределение со средним значением 10 и дисперсией 9. Найдите плотность распределения вероятностей с. в. Х в эпсилон-окрестности точек:

Х = 7 Х = 16

Тип задач 2.

Пусть z – случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение

[т. е. z ~ N(0,1)].Найдите:

P(– 2 < z < 1.5) P(– 2.6 < z < 0) P(1 < z < 8) P(– 2.5758 < z < 2.5758) P(– 2.5758 < z < 1) P(– 2.4 < z < 1.4) P(– 0.1 < z < 1.5)

Тип задач 3.

1.  Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z| ≤ 1.96)

2.  Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z| ≤ 2.5758)

3.  Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z| ≤ 3)

4.  Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z| ≤ 3.3)

Тип задач 4.

1.  Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z+1| ≤ 2)

2.  Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z-0.5| ≤ 2)

3.  Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z-0.2| ≤ 1.7)

4.  Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|Z-0.5| ≥ 2)

Тип задач 5.

Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|3Z| ≤ 3) Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|2Z| ≤ 4) Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|2Z| ≥ 3) Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|1.5Z| ≥ 3)

Тип задач 6.

Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|2Z+1| ≤ 3) Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|2Z-2| ≤ 2) Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|2Z+1| ≥ 3) Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти P(|1.5Z+1| ≥ 2)

Тип задач 7.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (2, 9). Найти P(Z + Y ≤ 3), если Z и Y независимы. Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (3, 16). Найти P(Z + Y ≤ 4), если Z и Y независимы. Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (3, 16). Найти P(Z - Y ≤ 3), если Z и Y независимы. Известно, что Z ~ N (0, 1), Y ~ N (3, 16). Найти P(Z - Y ≥ 4), если Z и Y независимы.

Тип задач 8.

Известно, что X ~ N(0, 4), Y ~ N(2, 4). Найти P (X+Y ≤ 2), если X и Y независимы. Известно, что X ~ N(2, 4), Y ~ N(2, 9). Найти P (X+Y ≥ 5), если X и Y независимы. Известно, что X ~ N(2, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (X-Y ≤ 5), если X и Y независимы. Известно, что X ~ N(4, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (2X-Y ≤ 5), если X и Y независимы.

Тип задач 9.

1.  Известно, что X ~ N(0, 4), Y ~ N(2, 4). Найти P (|X+Y| ≤ 2), если X и Y независимы.

2.  Известно, что X ~ N(2, 4), Y ~ N(2, 9). Найти P (|X+Y| ≥ 5), если X и Y независимы.

3.  Известно, что X ~ N(2, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (|X-Y| ≤ 5), если X и Y независимы.

4.  Известно, что X ~ N(4, 9), Y ~ N(2, 9). Найти P (|2X-Y| ≤ 5), если X и Y независимы.

Тип задач 10.

1. У Вас есть 100 руб., которые Вы решили вложить в активы. Вы можете вложить деньги в 2 вида активов: стоимость одного – это Х, стоимость другого – это Y. Распределение цен активов таково: X ~ N (10, 1), Y ~ N (20, 9). Стоимости активов независимы.

За одну единицу покупаемого актива Вы платите среднюю стоимость этого актива.

Вы хотите вложить свои 100 руб. так, чтобы минимизировать риск критических потерь, коими принято считать 10%-ные потери (т. е. Вы хотите вложить деньги так, чтобы минимизировать риск того, что купленные Вами активы будут стоить не больше 90 руб.). Проведите соответствующие расчеты и установите, какой из способов формирования портфеля активов более Вам выгоден:

купить 10 единиц первого актива купить 5 единиц второго актива купить 4 единицы первого и 3 единицы второго актива

2. У Вас есть 200 руб., которые Вы решили вложить в активы. Вы можете вложить деньги в 2 вида активов: стоимость одного – это Х, стоимость другого – это Y. Распределение цен активов таково: X ~ N (10, 4), Y ~ N (40, 9). Стоимости активов независимы.

За одну единицу покупаемого актива Вы платите среднюю стоимость этого актива.

Вы хотите вложить свои 200 руб. так, чтобы минимизировать риск критических потерь, коими принято считать 10%-ные потери. Проведите соответствующие расчеты и установите, какой из способов формирования портфеля активов более Вам выгоден:

купить 20 единиц первого актива купить 5 единиц второго актива купить 8 единиц первого и 3 единицы второго актива купить 4 единицы первого и 4 единицы второго актива

Тип задач 11.

Известно, что Z ~ N (0, 1). Найти такое значение с. в. Z, что:

a)  50% значений с. в. Z будут меньше найденного значения

b)  65% значений с. в. Z будут меньше найденного значения

c)  75% значений с. в. Z будут меньше найденного значения

d)  70% значений с. в. Z будут больше найденного значения

e)  35% значений с. в. Z будут больше найденного значения

Тип задач 12.

1. Известно, что Z ~ N (10, 9). Найти такое значение с. в. Z, что:

a)  50% значений с. в. Z будут меньше найденного значения

b)  65% значений с. в. Z будут меньше найденного значения

c)  75% значений с. в. Z будут меньше найденного значения

d)  70% значений с. в. Z будут больше найденного значения

e)  35% значений с. в. Z будут больше найденного значения

2. Известно, что Z ~ N (30, 36). Найти такое значение с. в. Z, что:

a)  40% значений с. в. Z будут меньше найденного значения

b)  55% значений с. в. Z будут меньше найденного значения

c)  65% значений с. в. Z будут меньше найденного значения

d)  75% значений с. в. Z будут больше найденного значения

e)  25% значений с. в. Z будут больше найденного значения

Тип задач 13.

1. Известно, что X ~ N(2, 4), Y ~ N(2, 9), X и Y независимы. Найти:

a)  квантиль уровня 0.65 с. в. (X+Y)

b)  верхнюю квартиль с. в. (X+Y)

c)  нижнюю квартиль с. в. (X+Y)

d)  медиану с. в. (X+Y)

e)  верхнюю квартиль с. в. (X-Y)

f)  нижнюю квартиль с. в. (X-Y)

2. Известно, что X ~ N(4, 9), Y ~ N(2, 9), X и Y независимы. Найти:

g)  квантиль уровня 0.65 с. в. (X+Y)

h)  верхнюю квартиль с. в. (X+Y)

i)  нижнюю квартиль с. в. (X+Y)

j)  медиану с. в. (X+Y)

k)  верхнюю квартиль с. в. (X-Y)

l)  нижнюю квартиль с. в. (X-Y)

Ответы

Тип задач 1.

a

b

0,24

0,148

Тип задач 2.

1

2

3

4

5

6

7

0,91

0,495

0,159

0,99

0,836

0,911

0,47

Тип задач 3.

1

2

3

4

0,95

0,99

0,9974

0,999

Тип задач 4.

1

2

3

4

0,84

0,9792

0,9045

0,073

Тип задач 5.

1

2

3

4

0,682

0,9544

0,1336

0,0456

Тип задач 6.

1

2

3

4

0,8186

0,4772

0,1814

0,2742

Тип задач 7.

1

2

3

4

0,6242

0,596

0,9272

0,0447

Тип задач 8.

1

2

3

4

0,5

0,3897

0,881

0,44

Тип задач 9.

1

2

3

4

0,4207

0,3961

0,762

0.3899

Тип задач 10.

1

(P ≤ 90)

2

(P ≤ 180)

1

2

3

4

5

6

7

0,1587

0,2514

0.1539

0,3085

0,0918

0,1379

0,0823

Тип задач 11.

1

2

3

4

5

0

0,39

0,67

-0,52

0,39

Тип задач 12.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

11,17

12,01

11,56

11.17

28,5

30,78

32,34

34,02

25,98

Тип задач 13.

a

b

c

d

e

f

5,41

6,42

1,58

4

2,42

-2,42

g

h

i

j

k

l

7,65

8,84

3,16

6

4,84

-0,84

В задачах №10 все эти безумные вероятности можно не считать, а просто сравнить волатильность стоимости портфелей, т. е. сравнить дисперсии. Тот портфель, чья стоимость менее волатильна (чья дисперсия меньше), более «надежен».