Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Тюменский областной государственный институт

развития регионального образования

Районная олимпиада по математике

учебный год

10 класс

1.  Решите уравнение

(3 балла)

2.  Докажите, что для любого и натурального n выполнено неравенство .

(4 балла)

3.  В треугольнике АВС, в котором ВС < ВА, через вершину С проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе ВЕ. Эта прямая пересекает биссектрису ВЕ в точке F, а медиану ВD – в точке G. Доказать, что отрезок ЕG делится отрезком DF пополам.

(5 балла)

4.  На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю – фальшивые, а с 8-й по 14-ю – настоящие. Суд же знает только то, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, и что фальшивые монеты легче настоящих. В распоряжении эксперта – чашечные весы без гирь. Эксперт уверен, что с помощью трех взвешиваний он сможет доказать суду, что монеты с 1-й по 7-ю – фальшивые, а с 8-й по 14-ю – настоящие. Объясните как это можно сделать?

(4 балла)

5.  Можно ли разделить равносторонний треугольник на 2002 равносторонних треугольника? Если да, то как? Если нет – то почему?

(4 балла)

Решение районной олимпиады, 1-й лист

(2006 –2007 учебный год).

10 класс.

1. Решите уравнение

(3 балла)

Решение:

Обозначим через y; тогда , и данное уравнение принимает вид

или Отсюда , а следовательно, единственным решением исходного уравнения является

Ответ: 0.

2.  Докажите, что для любого и натурального n выполнено неравенство .

(4 балла)

Решение:

По неравенству о средних арифметическом и геометрическом

, .

Поэтому

для любого и натурального n выполнено неравенство .

Решение районной олимпиады, 2-й лист

(2006 –2007 учебный год)

10 класс

3. В треугольнике АВС, в котором ВС < ВА, через вершину С проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе ВЕ. Эта прямая пересекает биссектрису ВЕ в точке F, а медиану ВD – в точке G. Доказать, что отрезок ЕG делится отрезком DF пополам.

(4 балла)

Доказательство:

Пусть прямая СF пересекает АВ в точке К, а прямая DF пересекает ВС в точке М как показано на рисунке.

BK = BC (в треугольнике КВС биссектриса угла В перпендикулярна стороне КС), а DM – средняя линия в треугольнике АВС.

Докажем, что GE || ВС. Для этого достаточно доказать равен

ство . Учитывая, что DF параллельна АК и , получим (~). Кроме того, =

= (~).

Итак, GE || ВС и М – середина ВС, следовательно, DF делит GE пополам.

Решение районной олимпиады, 3-й лист

(2006 –2007 учебный год)

10 класс

4. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю – фальшивые, а с 8-й по 14-ю – настоящие. Суд же знает только то, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, и что фальшивые монеты легче настоящих. В распоряжении эксперта – чашечные весы без гирь. Эксперт уверен, что с помощью трех взвешиваний он сможет доказать суду, что монеты с 1-й по 7-ю – фальшивые, а с 8-й по 14-ю – настоящие. Объясните как это можно сделать?

(4 балла)

Решение:

Эксперт должен осуществить три взвешивания следующим образом:

1)  Эксперт кладет на левую чашку 1-ю монету, на правую – 8-ю, так как правая чашка перевешивает, то суд видит, что 1-монета фальшивая, а 8-я – настоящая.

2)  На правую чашку кладутся 2-я, 3-я и 8-я монеты, на левую – 9-я, 10-я и 1-я. Левая чашка перевешивает, и суд убеждается, что 2-я и 3-я монеты фальшивые, а 9-я и 10-я – настоящие.

3)  Эксперт кладет на левую чашку 4-ю, 5-ю, 6-ю, 8-ю, 9-ю и 10-ю монеты, а на правую – остальные. Правая чашка перевешивает и суд видит, что на ней больше настоящих монет чем на левой, а на левой чашке фальшивых монет больше, чем на правой. Это и доказывает суду, что 4-я, 5-я, 6-я и 7-я монеты фальшивые, а 11-я, 12-я, 13-я и 14-я настоящие.

Решение районной олимпиады, 4-й лист

(2006 –2007 учебный год)

10 класс

5. Можно ли разделить равносторонний треугольник на 2002 равносторонних треугольника? Если да, то как? Если нет – то почему?

(4 балла)

Решение:

На 2002 треугольника разделить можно.

План построения:

1)  Отложить как показано на рисунке.

А1000

А1

. . .

2)  Провести MN, параллельную АС.

3)  На АС отложить 1001 отрезок, равных АМ.

4)  Из точек А1, А2, … , А1000 провести прямые параллельные прямой АВ.

5)  В полосе АМNC как показано на рисунке получается 2001 треугольник, все они равносторонние и равны между собой, а 2002-й треугольник – это . Треугольники АМА1, А1М1А2, … , А1000NС – равносторонние.

Ответ: можно.

Рекомендации к оценке задания № 5

Ответ без пояснения считается необоснованным предположением и не может быть оценен каким-либо количеством баллов.

Рекомендации по организации и проведению

зональной олимпиады по математике для 10 классов

В текстах зональной олимпиады (9-11кл.) для разных классов повторяющихся заданий нет.

Зональная олимпиада по математике для 10 классов (время выполнения – 3 часа (180 минут)) состоит из 5 заданий различных уровней трудности из различных разделов школьного курса математики, оцененных от 3 до 5 баллов.

К тексту олимпиады прилагаются листы с решениями заданий и ответами. К заданию № 5 имеется рекомендация по выставлению оценки.