К РАСЧЁТУ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК, ПРИВОДЯЩИХ К РАЗРУШЕНИЮ ГРАДИЕНТНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Екатеринбург, Россия
Решение основных проблем безопасности для объектов техносферы опирается на фундаментальные результаты, полученные в таких дисциплинах, как сопротивление материалов, теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, механика разрушения и других разделах механики деформируемого твёрдого тела. Эта теоретическая база положена в основу традиционного проектирования всех объектов технических систем. Однако проблема качественного и достоверного прогнозирования риска и аварий требует развития и применения новых нетрадиционных методов. В данной работе излагается один из возможных подходов к прогнозированию аварий технических систем, использующий современный математический аппарат теории катастроф.
В течение срока службы техническая система подвергается различным опасностям. Для того, чтобы их сформулировать воспользуемся тем, что каждая система описывается совокупностью параметров управления 
и параметров состояния 
. Параметры управления – обобщённые силы, а параметры состояния – обобщённые перемещения. При заданных параметрах управления параметры состояния должны принимать такие значения, при которых система находится в положении равновесия. Теперь опасности можно описывать набором несовместных сценариев 
неблагоприятных событий, которые произойдут, если отдельные параметры управления достигнут критического (предельного, экстремального) значения и объекту будет нанесён ущерб (произойдёт авария).
Разрушение или авария технической системы есть явление того же порядка, что и явление невозможности равновесия. Когда положение равновесия становится неустойчивым, то реализуется или скачкообразный переход в ближайшее устойчивое равновесное состояние или глобальная катастрофа. Поэтому под предельным значением параметра управления будем понимать такую его величину, при которой нарушается устойчивость системы. Следовательно, для прогнозирования аварий (или нахождения предельных значений параметров управления) необходимо «проиграть» каждый сценарий, зафиксировав часть управляющих параметров на уровне их нормативных значений, а другую часть (несколько управляющих параметров или один из них) увеличивать до тех пор, пока не произойдёт катастрофа.
В тех случаях, когда механическая система является градиентной, для определения значений параметров управления можно воспользоваться следующей методикой. Градиентная система описывается потенциальной функцией 
, связывающей параметры состояния и управления. Эта функция есть сумма потенциальных функций 
элементов системы, причём функции не должны быть выпуклыми, а содержать участки выпуклости и вогнутости. Выпуклые вниз участки каждой функции характеризуют устойчивые состояния элемента системы, вогнутые (выпуклые вверх) – неустойчивые. Если техническая система находится в состоянии равновесия (устойчивом или неустойчивом), то связь параметров управления и состояния в этом равновесии определяют уравнения
(1)
Система уравнений (1) может иметь одно или более одного решения. Все решения этой системы для всевозможных параметров управления образуют совокупность критических точек потенциальной функции 
.
Известно [1], что смена типа равновесия (устойчивое или неустойчивое) происходит в вырожденных критических точках, которые определяются из совместного решения уравнений (1) и уравнения, получающегося приравниванием к нулю детерминанта матрицы устойчивости, или матрицы Гессе потенциальной функции. Компонентами матрицы Гессе являются функции 
. Очевидно, что последнее уравнение (равенство нулю детерминанты матрицы Гессе) выделяет из множества критических точек вырожденные критические точки.
Теперь возьмём некоторый сценарий, в котором авария происходит при достижении одного из параметров управления своего экстремального (предельного) значения. Для определения этого значения зафиксируем остальные управляющие параметры на уровне их нормативных величин, а исследуемый параметр будем постепенно увеличивать. Решая указанные выше уравнения для каждого получающегося набора параметров управления, можно найти такую величину исследуемого параметра, при которой положение равновесия системы будет отвечать вырожденной критической точке функции . Данная величина и есть предельное значение исследуемого параметра, когда техническая система становится неустойчивой и, в следствие этого, происходит катастрофа (реализуется неблагоприятный сценарий).
При реализации данной схемы нахождения предельных значений параметров управления в сценариях нужно находить решение большого числа нелинейных уравнений, что представляет собой достаточно сложную задачу. Однако, этих проблем можно избежать, если использовать следующую численную процедуру. Воспользуемся тем, что решение задачи о нахождении предельных (экстремальных) значений параметров управления не требует, вообще говоря, знания всех критических точек функции . Для анализа необходимо только вырожденные критические точки, которые, очевидно, удовлетворяют уравнению
(2)
Здесь 
− матрица Гессе функции .
Рассмотрим евклидово пространство 
, элементами которого являются системы упорядоченных чисел 
. Задавая физически обоснованные пределы изменения параметров состояния и управления, получаем 
− мерный куб в пространстве и разбиваем его на множество «кубиков» с заданным шагом. Затем в каждом узле сетки разбиения вычисляем значения компонент матрицы Гессе (величины функций 
) и величину её определителя. Таким образом, каждому узлу ставится в соответствие значение гессиана. После этого выделяем те узлы, в которых гессиан близок к нулю с достаточной степенью точности. Полученное множество 
точек пространства содержит все вырожденные критические точки потенциальной функции системы при монотонном возрастании исследуемого параметра управления. Отметим, что в частном случае множество может совпадать с множеством критических точек функции . Для выделения из множества критических точек функции следует подставить элементы множества в уравнение равновесия (1). Те из них, которые удовлетворяют этим уравнениям с заданной степенью точности, и будут вырожденными критическими точками функции . Первая вырожденная точка и определит экстремальное (предельное) значение исследуемого параметра управления.
В качестве примера рассмотрена механическая система осуществляющая двухосное растяжение элементарного куба из нелинейного материала. Нагрузка передаётся через линейно упругие стержни. Свойства куба характеризуются невыпуклым потенциалом. Тогда связь напряжений и деформаций представляет собой отображение двумерного евклидова пространства деформаций в двумерное же пространство напряжений, имеющее особенности (матрица Якоби отображения вырождена на некоторых кривых пространства деформаций).
Далее строится потенциальная функция системы при её активном деформировании. Она зависит от параметров управления, которые в данном случае есть перемещения свободных концов упругих стержней, и параметров состояния (деформации куба). Критические точки этой функции определяет нелинейная система уравнений равновесия, получающаяся приравниванием к нулю её производных по параметрам состояния. В силу особенностей определяющих соотношений для материала куба среди критических точек имеются вырожденные точки, в которых матрица Гессе потенциальной функции вырождена. Отображение таких точек посредством уравнений равновесия в пространство уравнений определяет линии, разделяющих пространство управлений на области единственности и неединственности решений уравнений равновесия. Эти линии образуют сепаратрису потенциальной функции системы.
При монотонном возрастании параметров управления изображающая процесс деформирования точка попадает внутрь области, ограниченной сепаратрисой, где система имеет несколько положений равновесия (устойчивых и неустойчивых). Однако, согласно принципу промедления, система продолжает переходить из одного устойчивого равновесия в другое. При выходе из данной области равновесие системы становится неустойчивым и происходит катастрофический переход в новое устойчивое состояние. Этот момент можно трактовать как разрушение системы, связанное с разрушением элементарного куба.
Сепаратрису возможно построить приближённо, используя следующую численную процедуру. Дискретизируем с малым шагом пространство состояний. В узлах сетки вычисляем дискриминант матрицы Гессе и выделяем множество узлов, в которых он достаточно близок к нулю. Координаты таких узлов подставляем в уравнения равновесия и вычисляем параметры управления, им соответствующие. Полученные значения и образуют приближённый вид сепаратрисы. После этого можно определить приближённые величины нагрузок, при которых система потеряет равновесие. Таким образом, минуя стадию расчёта параметров равновесных состояний (решений нелинейных уравнений) находятся критические нагрузки, что достаточно для оценки прочности и живучести системы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект , ).
