Теоретическая часть. Разложение многочлена на множители

Теоретическая часть.

Разложение  многочлена  на  множители

 Для преобразования выражений, при решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов.

Разложением многочлена на множители называется представление   многочлена  в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Существует несколько способов разложения многочлена на множители:

*  вынесение общего множителя за скобки;

*  способ группировки;

*  с помощью формул сокращенного умножения.

  Вынесение общего множителя за скобки

  Рассмотрим несколько примеров. Вынесем за скобки общий множитель на основе распределительного свойства умножения:

    4х - 4у = 4( х-у )

  ab + ac = a( b+c )

Теперь рассмотрим такой многочлен:

  8х2- 12xy = 4х·2х - 4х·3у = 4х( 2х-3у )

  Каждый член многочлена мы заменили произведением двух множителей, один из которых - общий множитель 4х, и вынесли этот множитель за скобки.

  Разложим на множители многочлен:   -10х2у + 2х3у2 - 6х4 

*    Найдем наибольший общий делитель коэффициентов -10, 2 и 6. Он равен 2.

*  Переменная х входит во все члены многочлена с показателями 2, 3 и 4; следовательно, можно вынести за скобки х2.

*  Переменная у входит не во все члены многочлена, значит, ее нельзя вынести за скобки.

Поэтому за скобки можно вынести 2х2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести -2х2.Теперь разделим каждый член многочлена на -2х2.Получим:

  -10х2у + 2х3у2- 6х4= -2х2( 5у - ху2+ 3х2)

Способ  группировки

   Чтобы уяснить суть способа группировки, рассмотрим следующий пример: 

  Разложите на множители многочлен:   ху + 3х - 2у - 6 

  Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель, и вынесем его за скобки:

  ху + 3х - 2у - 6 = ( ху + 3х ) + ( -2у - 6 ) = х( у + у + 3 ) = ( у + 3 )( х - 2 )

Этот же многочлен можно разложить на множители, группируя его члены иначе:

  ху + 3х - 2у - 6 = ( ху - 2у ) + ( 3х - 6 ) = у( х - 2 ) + 3( х - 2 ) = ( х у + 3 )

  Разложим на множители трехчлен:  х2- 6х + 5

Представим -6х в виде суммы -х - 5х, а затем применим способ группировки:

  х2- 6х + 5 = х2- х - 5х + 5 = ( х2- х ) + (-5х + 5 ) = х( х х - 1 ) = ( х х - 5 )  

  Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения 

  Вот эти формулы:  а2- b2= (a-b)(a+b) - формула разности квадратов;

  a3- b3= (a-b)(a2+ab+b2) - формула разности кубов; 

  a3+ b3= (a+b)(a2-ab+b2) - формула суммы кубов;

  a2+2ab+b2= (a+b)2 - квадрат суммы;

   a2-2ab+b2= (a-b)2 - квадрат разности.

  Рассмотрим примеры:

4х2-у2= (2х)2-у2= (2х-у)(2х+у)  9х4-х6= (3х2)2-(х3)2= (3х2-х3)(3х2+х3)

8а3+b3= (2a)3+b3=(2a+b)(4a2-2ab+b2)  27x6- 64y3= (3x2)3-(4y)3= (3x2-4y)(9x4+12x2y+16y2)

4x2-4xy+y2=(2x)2-2·2x·y+y2=(2x-y)2  25a2+40a+16=(5a)2+2·5a·4+42=(5a+4)2

  В математике не так часто бывает, что при разложении многочлена на множители применяется только один способ. Чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один способ, затем другой и т. д. Например:

  Разложите на множители многочлен:  27x3-18x2y+3xy2

Сначала вынесем за скобки общий множитель, затем рассмотрим трехчлен в скобках, не является ли он квадратом суммы или квадратом разности.

  27x3-18x2y+3xy2=3x(9x2-6xy+y2)=3x(3x-y)2

Разложите на множители многочлен:  a4+a2b2+b4

Представим  a2b2  в виде  2a2b2- a2b2

a4+a2b2+b4=a4+2a2b2-a2b2+b4=(a4+2a2b2+b4)-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+b2-ab)(a2+b2+ab)

Практическая часть.

1. Математический  диктант

1.  Какой числовой множитель можно вынести за скобки у многочлена

   15a3-25b?

2.  Какую степень множителя  a  можно вынести за скобки у многочлена

   a2x-a5y3?

3.  Вынести за скобки общий множитель всех членов многочлена

x2-xy+xp-x.

4.  Представьте в виде произведения многочлен

  3x+xy.

5.  Разложите на множители выражение

 3(a+2b)-a(a+2b).

6.  Разложите на множители выражение

  7x-7y+a(y-x).

7.  Разложите на множители многочлен

  3c2+12ac-2c-10a.

8.  Разложите на множители многочлен

  4x2-9.

9.  Разложите на множители многочлен

  4x2-9y6.

10. Найдите значение выражения

  .

11. Представьте многочлен  a2-10ab+25b2 в виде квадрата двучлена.

12. Представьте многочлен  9x2+30xy+25y2 в виде квадрата двучлена.

  2. Самостоятельная  работа.

1.  Заполните пропуски по образцу: 6ax2-12ax3=6ax2(1-2x).

 а) 24a3c-3a2c=3a2c(8a-…)

 б) 5m2n-20mn2=5mn(…-4n)

  в) 3a2c-3c2=…(a2-c)

  г) 18ab2+27a2b=…

2.  Упростите выражение по образцу: 9a+4c-7a-3c=(9a-7a)+(4c-3c)=2a+c.

  а) 8x-11y+6y-5x=(…)-(11y-6y)

 б) 14c+12a+6c-5a=…

  в)  3(x+1)-2(x+1)=…

 3.  Разложите на множители многочлен  по образцу:

  2x2-3x+4ax-6a=(2x2+4ax)-(3x+6a)=2x(x+2a)-3(x+2a)=(x+2a)(2x-3).

  а) 2a+b+2a2+ab=…

  б) 3a+3a2-b-ab=…

  в) x2y2+xy+axy+a=…

4.  Представьте в виде произведения по образцу:

x(2x-3)-3(3-2x)=x(2x-3)+3(2x-3)=(2x-3)(x+3).

  а) a(b+c)+p(b+c)=…

  б) 3(b-5)-a(5-b)=…

  в) m-n+(n-m)y=…

5)  Замените... одночленом так, чтобы данное выражение можно было представить в виде

  произведения

  а) 9a2-4b2=(3a-…)(3a+…)

  б) 81-4a2=(…-2a)(2a+…)

  в) 121y4-49x4=(…-7x2)(…)

  г) x4y4-1=…

 6)  Замените... одночленом так, чтобы данное выражение можно было  представить

  в виде квадрата двучлена

   а) …+10ab+4b2

  б) 36x2-…+9x2

  в) 25n4+30n2m4+9m8=(…+3m4)2

  г) 4a4-16a2b3+16b6=(2a2-…)2 

3. Чтобы проверить свои знания, выполните тест: 1.  Вынесите общий множитель за скобки  3xy+6ay   а)  3y(x+6a);  в)  3y(x+2a);      б)   3y(x+6ay);    г)   3y(xy+2a);   2.  Вынесите общий множитель за скобки  y3-y4       а)  y3(y+y2);  в)  y3(1+y3);       б)  y3(1-y4);   г)   y3(1-y);   3.  Разложите на множители многочлен  -x5-3x7-2x4     а)  -x4(-x-3x3-2);    в)  x4(-x5-3x7-2);       б)   -x4(x+3x3+2);    г)  -x4(x5+3x3+2);   4.  Вынесите общий множитель за скобки   6a3+9a2-18a   а)   3a(2a2+3a-6);    в)    3a(2a3+3a2-6a);    б)  3a2(2a2+3a-6);    г)  3a(6a2+9a-18);   5.  Разложите на множители многочлен  4xy2-6y3+8y2     а)   2y2(2x+3y+4);    в)   2y2(2xy-3x+4);      б)   2y2(2x-3y+4);      г)  2y2(2x-3y);   6.  Вынесите общий множитель за скобки    7a2b3-14b2+35b3       а)  7b2(a2-2+35b);      в)  7b2(7ab-2+5b);       б)  7b2(a2b-2+5b);    г)   7b2(a2b+2+5b);   7.  Представьте в виде произведения  a2-ab-7a+7b    а) (a-b)(a+7);  в)  (a-b)(7-a);    б) (a+b)(a-7);  г)    (a-b)(a-7);   8.  Представьте в виде произведения  x3-x2+x-1    а)  (x-1)(1-x2);  в) (x-1)(x2+1);      б) x2(x-1);  г)   (x2+x)(x-1);   9.  Разложите на множители многочлен  ab-ac-a2+bc     а) (a-c)(b-a);  в)  (c-a)(b-a);      б)  (a+c)(b-a);  г)  (a+c)(a-b);   10.  Представьте в виде произведения  13ax-5ab-26x+10b     а)  (a-2)(13x-5b);   в)  (3a-6)(4x-b);       б) (a+2)(3x-5b);  г)  (a-2)(5b-3x);   11.  Разложите на множители многочлен  81-4t2     а)  (9-4t2)(9+4t2);   в) (9-2t)(9+2t);       б) (9+4t)(9-4t);    г)  (9-2t)(9-2t);   12.  Представьте в виде квадрата двучлена   16m2-8mn+n2    а) (4m-n)2;   в)  (4m2-n2)2;      б) (4m+n)2;   г)  (16m-n)2;   13.  Представьте в виде квадрата двучлена    49x2+42xy2+9y4     а)  (7x+3y)2;   в)  (7x+3y2)2;       б) (49x+9y2)2;     г)   (7x2+3y4)2;   14.  Представьте в виде произведения  y3+1000    а) (y+10)(y2-20y+100);   в) (y-10)(y2+10y+100);     б) (y+10)(y2+10y+100);   г)   (y+10)(y2-10y+100);     15.  Представьте в виде произведения  125-x6   а)  (5-x2)(25-5x2+x4);  в) (5-x2)(25-10x2+x4);      б) (5-x2)(25+5x2+x4);     г)  (5+x2)(25-5x2+x4); Ответы № вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Вариант ответа в г б а б б г в б а в а в г б