Характеристический многочлен и характеристические числа матрицы. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Характеристический многочлен и характеристические числа матрицы. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Пусть дана квадратная матрица порядка n. Характеристической матрицей матрицы A называют матрицу

= с переменной λ, принимающей любые числовые значения.

Определитель ׀=׀ матрицы является многочленом n-й степени от λ. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А, уравнение =0 – её характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими корнями или характеристическими числами матрицы А.

Пусть дана квадратная матрица порядка n и n-мерный вектор-столбец Х= . Причём, элементы матрицы и вектора-столбца принадлежат одному и тому же полю Р, называемому основным. Произведение АХ также является n-мерным вектором-столбцом с элементами из поля Р. Среди всевозможных n-мерных векторов Х может оказаться такой, что АХ=λХ при некотором числовом множителе λ из поля Р.

Собственным вектором линейного преобразования называется всякий ненулевой вектор Х, удовлетворяющий условию , где – число.

Число называется собственным значением преобразования , соответствующим данному собственному вектору Х.

Равенство АХ=λХ можно переписать в виде (А–λЕ)Х=0, или что то же самое, в виде

(*)

Если известно собственное значение λ, то все собственные векторы матрицы А, принадлежащие этому собственному значению, находятся как ненулевые решения этой системы. С другой стороны, эта однородная система с квадратной матрицей А–λЕ имеет ненулевые решения Х тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю и λ принадлежит рассматриваемому полю Р. Но это означает, что λ является корнем характеристического многочлена и принадлежит полю Р. Таким образом, характеристические числа матрицы, принадлежащие основному полю, и только они, являются её собственными значениями. Для отыскания всех собственных значений матрицы А нужно найти все её характеристические числа и из них выбрать лишь те, которые принадлежат основному полю Р, а для отыскания всех собственных векторов матрицы А нужно найти все ненулевые решения системы (*) при каждом собственном значении λ матрицы А.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы действительной матрицы .

Решение. Характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

==(домножим (2)-й столбец на число (-2) и сложим с (1)-м столбцом) ==(прибавим (3)-ю строку к (1)-й строке) ==(домножим (1)-й столбец на число (-1) и сложим с (3)-м столбцом) ==(домножим (1)-ю строку на число (2) и сложим со (2)-й строкой) ==(домножим (2)-й столбец на число (-2) и сложим с (3)-м столбцом) =.

Таким образом, характеристический многочлен имеет корни λ1=6, λ2=λ3= – 3. Все они действительные и поэтому являются собственными значениями матрицы А.

При λ=6 система (А–λЕ)Х=0 имеет вид .

Её общим решением является Х=. При оно даёт общий вид собственных векторов матрицы А, принадлежащих собственному значению λ=6.

При λ= – 3 система (А–λЕ)Х=0 имеет вид .

Её общим решением является Х= с произвольными постоянными х1 и х3. При х1 и х3, одновременно не равными нулю, т. е. , оно даёт общий вид собственных векторов матрицы А, принадлежащих собственному значению λ= – 3.