Магнитное поле индукторов без ферромагнитопровода

,

Магнитное поле индукторов без ферромагнитопровода

1. Введение

Настоящая работа посвящена построению способа расчета магнитного поля индукторов постоянного тока и индукторов бегущего поля для моделей вращающихся электрических машин, в которых отсутствуют ферромагнитные части (например, сверхпроводящих), а для переменного магнитного поля – также и проводящие экраны.

Модель индуктора (набор из секций) представляет собой полый цилиндр, внутренний радиус которого , а внешний – . Он состоит из трех частей: средней, активной части длиной , в которой протекают токи, направленные вдоль образующих цилиндра, и двух крайних, лобовых частей длиной каждая, в которых токи текут по дугам окружностей, замыкая токи активных частей. Как частный случай рассматриваются модели с бесконечно-короткими лобовыми частями и бесконечно-тонкий индуктор радиусом .

Определение магнитного поля может быть произведено на основе закона Био–Савара, который в дифференциальной форме имеет вид:

, (1.1)

где – ток в элементе проводника , – радиус-вектор элемента проводника, – радиус-вектор точки наблюдения.

Интегрированием соотношения (1) может быть произведен расчет поля реальных индукторов с конечными размерами.

2. Поле рамки из квазилинейных проводников

2.1. Поле отрезка

Пусть (в цилиндрической системе координат) координаты точки наблюдения:, а положение отрезка проводника с током, параллельного оси , характеризуется координатами ; – длина отрезка.

Тогда могут быть написаны векторные равенства:

; , (2-1)

где единичный вектор выбран лежащим в общей плоскости оси и точки наблюдения. Из (1) следует , и

;

а также: . (2-2)

Подставляя полученные выше выражения в формулу (1-1), и интегрируя по в пределах от до , можно получить соотношения для составляющих индукции магнитного поля рассмотренного отрезка с током в виде:

;

; (2-3)

– далее не пишется.

Запись имеет смысл обычных подстановок, а выражение .

2.2. Поле дуги

Параметрическое уравнение дуги окружности радиусом , лежащей в плоскости , перпендикулярной оси , и с центром на оси имеет вид:

; .

Тогда: ;

.

Подставляя последние соотношения в выражение (1-1), и интегрируя по в пределах от до , можно найти формулы для определения составляющих индукции магнитного поля описанной дуги:

;

; (2-4)

.

2.3. Поле рамки

Магнитное поле замкнутой рамки, составленной из квазилинейных проводников, может быть получено как алгебраическая сумма полей составляющих ее двух прямолинейных отрезков и двух дуг (3) и (4). С учетом направлений токов, это означает, что в формулах (4) для полей дуг следует сделать подстановку вида: , а в формулах (3) для полей отрезков – подстановку: .

3. Общее выражение для поля бесконечно-тонкого индуктора

3.1. Переход к рамке, распределенной по углу

Выражения для составляющих индукции магнитного поля рамки, распределенной по углу можно получить из формул (2-3) и (2-4) с соответствующими подстановками, если заменить в них на , на и проинтегрировать эти соотношения по с весом в пределах от до .

При этом удобно использовать формулы, справедливые для любых достаточно гладких функций и :

, (3-1)

где

, ;

, ;

, (3-2)

, ;

, ;

и

, (3-3)

где .

Выполнив указанную выше подстановку и интегрирование с использованием формул (1) – (3), получим для поля рамки, распределенной по углу, а именно для поля дуг (лобовых частей) и для поля активных частей:

(0);

(0); (3-4)

(0);

(0);

(0), (3-5)

где подстановка (0) имеет вид: (0) = .

3.2. Переход к рамке, распределенной по высоте

Выражения для составляющих индукции магнитного поля рамки, распределенной также и по высоте на расстояние могут быть получены из формул (4) и (5), если заменить в них на , на и проинтегрировать по с весом в пределах от до .

При этом удобно воспользоваться следующим соотношением, справедливым для любой достаточно гладкой функции :

=, (3-6)

где . Произведя указанные действия с использованием соотношения (6), для составляющих индукции магнитного поля двумерной рамки можно получить следующие выражения, а именно для поля лобовых частей и для поля активных частей:

;

; (3-7)

;

;

, (3-8)

где величина ; символом обозначена подстановка:

= . (3-9)

3.3. Индуктор, как совокупность рамок

Реальный индуктор с симметричными лобовыми частями, рассматриваемый как бесконечно-тонкий в радиальном направлении, представляет собой совокупность рамок. Соответственно этому, в силу суперпозиции полей, магнитное поле индуктора может быть найдено как алгебраическая сумма полей составляющих его рамок.

Выражения для составляющих индукции магнитного поля рамки линейны относительно функций и , которые характеризуют положение рамок на цилиндре индуктора. Следовательно, для определения поля индуктора можно пользоваться выражениями (7) и (8), если в последних заменить и на алгебраическую сумму этих функций, в которой каждое слагаемое будет характеризовать отдельную рамку индуктора.

Решение последней задачи значительно упростится, если заметить, что величина представляет собой для рамки линейную плотность тока осевого направления в активных частях.

Таким образом, для получения магнитного поля индуктора следует записать выражение линейной плотности токов осевого направления в активных частях составляющих его рамок по углу , затем найти , как: , и , после чего выражения для и подставить в соотношения (7) и (8).

4. Магнитное поле некоторых типов индукторов

4.1. Индуктор постоянного тока

Для индуктора постоянного тока, имеющего пар полюсов (период ), выражение линейной плотности токов осевого направления в активных частях его имеет вид:

, при ,

, при , (4-1)

0, при остальных ;

где – число витков в катушке, ; функция .

Для удобства расчета составляющих индукции по соотношениям (3-7) и

(3-8), последние следует преобразовать с тем, чтобы выделить из них явную зависимость от угла наблюдения .

С этой целью функции и необходимо представить в виде разложений их в ряд Фурье. Эти разложения имеют вид:

; (4-2)

. (4-3) После подстановки разложений (2) и (3) в выражения (3-7) и (3-8), и ряда преобразований, можно получить следующие соотношения для определения составляющих индукции суммарного магнитного поля активных и лобовых частей индуктора постоянного тока:

;

(4-4)

;

;

где введены величины: ;

; , (4-5)

а функции:

; ;

;

описаны в работе .

4.2. Индуктор бегущего магнитного поля

В случае трехфазного индуктора бегущего магнитного поля с парами полюсов токи в фазах изменяются во времени по закону:

, , . (4-6)

Если число пазов на полюс и фазу обозначить , а пазовый угол – , то линейная плотность тока осевого направления фазыв активных частях на промежутке может быть записана, как:

, при ;

, при остальных ; . (4-7)

Аналогично записываются линейные плотности тока фаз и . Разлагая эти выражения в ряды Фурье и суммируя, можно получить следующую формулу для линейной плотности тока индуктора бегущего магнитного поля:

; (4-8)

где принимает все значения выражений (верхний знак) и (нижний знак), (4-9)

– обмоточные коэффициенты гармоник; (4-10)

– коэффициент заполнения окружности индуктора пазами; – радиус индуктора; – число витков в секции. Тогда:

; (4-11)

. (4-12)

После подстановки формул (11) и (12) в выражения (3-7) и (3-8) и преобразований, можно получить следующие выражения для составляющих индукции магнитного поля:

;

; (4-13)

.

4.3.  Приведение формул к расчетному виду

Введем новые обозначения: – линейная плотность тока;

; ; ; ; ; . (4-14)

Во введенных обозначениях:

; . (4-15)

При использовании соотношений :

;

;

(где знак "+" соответствует случаю , знак "–" – случаю ), формулы (4) поля индуктора постоянного тока приводятся к виду, удобному для расчетов при значениях не близких к единице:

;

;

(4-16)

;

где ; ; в формулах следует сделать подстановки по :

. (4-17)

В соотношениях (16): , верхние знаки и пределы суммирования соответствуют случаю , нижние – .

При значениях , близких к единице, более удобным становится расчет полей индукторов по соотношениям (4) и (13) с использованием разложений функций в ряды, приведенные в работе .

Формулы, справедливые для индукторов переменного тока (бегущего магнитного поля – 4.2), можно получить из (16), если в них произвести следующие изменения:

1) домножить формулы (16) на 3/4;

2) под подразумевать и ;

3) заменить на ;

4) и заменить соответственно на и (здесь знак "+" для и знак "–" для ).

5. Индукторы с бесконечно-короткими лобовыми частями

Вычисление по формулам (4-16), содержащим подстановки (4-17), становится неудобным при , поскольку оказывается связанным с погрешностью из-за наличия разности близких величин. В этом случае гораздо удобнее вести расчеты индукции магнитного поля для моделей индукторов с бесконечно-короткими в аксиальном направлении лобовыми частями.

Соответствующие формулы можно получить двумя путями:

а) перейти в соотношениях (4-4) и (4-13) к пределу при ;

б) произвести вывод формул, аналогичный приведенному в главах 3 и 4, не выполняя переход к рамке распределенной по высоте.

Произведя преобразования любым из этих путей, можно получить следующие соотношения:

;

(5-1)

;

.

Здесь ; подстановки имеют вид: , а

.

Если перейти к безразмерным величинам, то формулы (1) можно переписать в виде, удобном для расчета при не близких к единице:

;

; (5-2)

.

Здесь ; подстановка имеет вид: ; верхние знаки и пределы суммирования соответствуют случаю, нижние – случаю .

При значениях , близких к единице, удобнее пользоваться формулами (1) и соответствующими разложениями функций и в ряды, описанные в работе .

6. Поле индуктора конечной толщины с лобовыми частями

конечной длины

6.1. Общие выражения

В некоторых случаях расчета индукции магнитного поля, особенно вблизи поверхности индуктора, а тем более в его теле, возникает необходимость учета конечности толщины индуктора.

Выражения для составляющих индукции магнитного поля цилиндрических индукторов конечной толщины можно получить, если воспользоваться выражениями для поля бесконечно-тонкого индуктора (формулы (3-7) – (3-9)) и провести в последних интегрирование по в пределах от до с весом .

Для индуктора постоянного тока после проведения ряда преобразований, аналогичных использованным в главе 4, можно получить следующие выражения для составляющих индукции магнитного поля:

для лобовых частей:

;

;

(6-1)

;

для активных частей:

(6-2)

.

Здесь: ; – средний радиус индуктора;

(6-3)

– плотность тока осевого направления; в формулах (1) и (2) следует сделать подстановки вида:

, (6-4)

а введенные выражения равны: ; ; .

6.2. Переход к безразмерному виду

Преобразуем произведения тригонометрических функций в суммы, переходя к безразмерным параметрам с помощью соотношений (4-14), в которых: ; ; ; ; (6-5)

Далее появляются выражения:

;

, (6-6)

где .

Эти выражения сводятся к функциям, описанным в работе :

, (6-7)

соотношениями:

; , (6-8)

где: ; ; (6-9)

; . (6-10)

Кроме того, появляется выражение:

. (6-11)

Это выражение сводится к функциям, описанным в работе :

; (6-12)

.

соотношениями:

; (6-13)

; (6-14)

где ; .

Формулы (1) и (2) можно преобразовать и получить выражения для составляющих индукции суммарного магнитного поля активных и лобовых частей индуктора постоянного тока в виде:

;

(6-15)

;

;

где подстановки имеют вид:

, (6-16)

, а .

Для конкретных расчетов удобно пользоваться разложениями функций в ряды, приведенными в работе .

7. Некоторые результаты расчетов

С целью проверки методики был проведен ряд расчетов. Основная проверка производилась сравнением расчетных результатов с результатами экспериментального исследования модели индуктора, приведенными в работе (с.103). Ее параметры: , , , , при условии, что высшие гармоники распределения линейной плотности активных токов отсутствуют, амплитуда линейной плотности . Для такой модели в обозначениях настоящей работы: ; ; ; в суммах по следует ограничиваться первым членом (). Радиальная и азимутальная составляющие индукции магнитного поля такого индуктора внутри него по результатам измерений практически не зависят от и , причем значения их равны приближенно , а расчет по методу авторов (для бесконечно-тонких индукторов) дает .

Расчеты, приведенные по соотношениям (4-4) и (4-16), подтвердили слабую зависимость составляющих индукции и от и внутри индуктора, а также позволили получить расчетные их значения, более близкие к экспериментальным, а именно:

; ;

при ; ;

; ;

;

при ; ;

при ; ;

; .

Все приведенные выше результаты хорошо согласуются с графиками экспериментальных результатов, приведенными в , что подтверждает правильность разработанной выше методики.

Если заменить описанный реальный индуктор более простой моделью с бесконечно-короткими лобовыми частями, расположенными в середине реальных, то величины составляющих индукции могут быть найдены из более простых соотношений (5-1) и (5-2) при . При этом внутри индуктора значения составляющих индукции близки к указанным выше, в частности, при ; ; . Это подтверждает справедливость методики главы 5.

Для перехода к расчету по формулам индукторов конечной толщины следует ввести некоторую толщину и, сохраняя средний радиус, заменить линейную плотность тока на плотность тока по формуле . В этом случае расчет по соотношениям (6-15) дает для поля в центре:

при ; при ; что очень хорошо соответствует как результатам расчета по бесконечно-тонкой модели, так и результатам измерений.

Литература

1.  , Зеленин некоторых специальных функций. – в печати.

2.  , Счастливый и физическое моделирование электромагнитных полей. Киев, «Наукова думка», 1976.