Происхождение дробей и их практическое применение

XVI ГОРОДСКАЯ ОТКРЫТАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ

«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЫ XXI ВЕКА»

Номинация: «Первые шаги в науку»

Направление: МАТЕМАТИКА

ПРОИСХОЖДЕНИЕ ДРОБЕЙ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

МОУ «СОШ № 53» 7 класс

1.  Воронин Виктор

2.  Габитов Марат

3.  Мамалыга Кристина

Школьный учитель: , математика

г. Оренбург

2009 г.

Содержание

Введение. 3

1.Теоретическая часть. 4

1.1 О происхождении дробей. 4

1.2 Дроби в Древнем Риме. 4

1.3 Дроби в Древнем Египте. 5

1.4 Нумерация и дроби в Древней Греции. 5

1.5 Нумерация и дроби на Руси. 6

1.6 Десятичные дроби. 6

1.7 Проценты.. 7

2. Практическая часть. 8

Пример 1. 8

Пример 2. 9

Пример 3. 9

Пример 4. 10

Заключение. 10

Список использованной литературы.. 11

«Если бы ни число и его природа,

ничто существующее нельзя было

бы постичь им само по себе, ни в

его отношениях к другим вещам.

Мощь чисел проявляется во всех

деяниях и помыслах людей, во

всех ремеслах и в музыке»

(Пифагореец Филолай, V в. до н. э.)

Введение

В математике существует различное множество чисел: натуральные, рациональные, действительные, векторные, матричные и трансфинитные.

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин. Во всех разделах математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.

В своей «Общей арифметике» (1707 г.) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Числа бывают трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое – то, что измеряется единицей, дробное – кратной частью единицы, иррациональное – не соизмеряемое с единицей».

В толковом словаре читаем: «Дробь– число представленное как состоящее из частей единицы» – и здесь же – «Дробить – делить, разбивать на мелкие части».

1.Теоретическая часть

1.1 О происхождении дробей

С возникновением представлений о целых числах возникли представления о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа п возникло представление о дроби вида . Исторически дроби возникли в процессе измерения.

В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т. д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробиться на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой единицей.

Так возникли первые конкретные дроби как определенные части каких-то мер.

1.2 Дроби в Древнем Риме

Римляне пользовались только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», которые у римлян служили основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть , , …

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо римляне говорили «одна унция», – «пять унций» и т. д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

1.3 Дроби в Древнем Египте

Первая дробь, с которой познакомились люди, была – половина. За ней последовали , , …, затем , и т. д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индейцев и у других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Чтобы вычислить длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать дроби и действия с дробями.

1.4 Нумерация и дроби в Древней Греции

В Древней Греции впервые встречается понятие дроби вида . Область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употребляли и такую: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, означало три пятых и т. д.

1.5 Нумерация и дроби на Руси

Как свидетельствуют памятники русской истории, наши предки-славяне, находящиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумераций, сходной с ионисйской. Над буквами - числами ставился особый знак, который приставлялся слева от букв.

В Русских арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

1/2 – половина, полтина 1/3 – треть

1/4 – четь 1/6 – полтреть

1/8 – полчеть 1/12 – полполтреть

1/16 – пополчеть 1/24 – полполтреть (малая треть)

1/32 – полполполчеть 1/5 – пятина

(малая четь)

1/7 – седьмина 1/10 – десятина

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начали постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

1.6 Десятичные дроби

Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.

Она возникла во Франции. За основную меру длины приняли одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана и назвали ее метром (от греческого слова «метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиан, сделанных французским ученым Мешеном и был изготовлен эталон метра. Вот почему система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и десятичными дробями.

Однако, следует отметить, что европейцы не первые, ко пришел к необходимости использовать десятичные дроби в математике.

Во II в. до н. э. в Азии существовала десятичная система мер длины.

Примерно III в. н. э. десятичный счет распространился на мере массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши а XV в. Независимо от него, в 80-х годах XVI в. десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином.

С начала XVII в. начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1967 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнить. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX в. после введения тесно связной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

1.7 Проценты

Слово «процент» происходит от латинских слов centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платили должники заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Ныне проценты – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые промилле (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые % по аналогии со знаком процента - %. Однако на практике в большинстве случаев «тысячные» - слишком мелкие доли, десятые доли, иначе говоря, проценты.

В нашей стране ими пользуются при составлении и учете выполнения производственных планов в промышленности и сельском хозяйстве, при разных денежных расчетах.

2. Практическая часть

На примере простых жизненных ситуаций хочется показать применение обыкновенных, десятичных дробей и процентов.

Пример 1

Определить процент заболеваемости учащихся 7 «Б» класса МОУ «СОШ № 56» за три месяца 2008 – 2009 учебного года.

Для решения данной задачи мы изучили в медицинском кабинете журнал учета заболеваемости и выяснили, что из 20 учащихся нашего класса в сентябре простудными заболеваниями переболели три ученика, в октябре – два ученика, в декабре – восемь учеников.

Сделав вычисления, мы пришли к следующему:

3/20 = 0,15 = 15% - сентябрь,

2/20 = 0,1 = 10% - октябрь,

8/20 = 0,4 = 40% - декабрь.

Вывод: с приходом зимы уровень заболеваемости вырос.

Пример 2

Некоторые учащиеся переходят дорогу в неположенном месте. Работники ДПС останавливают, разъясняют правила дорожного движения и сообщают о нарушениях в школу, присылая рапорт. Но и среди взрослых встречаются такие же нарушители, которым выписывается штраф. Исходя из этого, нам предстояло решить следующую задачу:

«Пешеход перешел дорогу в неположенном месте и на него был наложен штраф в размере 50 рублей. Штраф необходимо уплатить до 6 декабря, после чего за каждый просроченный день будет начисляться пеня (от лат. слова poena – наказание) в размере 0,2 % . Какую сумму должен заплатить пешеход 16 декабря?

Решение:

0,2% = 0,002

50 * 0,002 = 0,1 (руб.)- пеня за один день.

0,1* 10 = 1 (руб.) – пеня всего.

50 + 1 = 51 (руб.) – общий штраф.

Ответ: за десять дней просрочки пешеход заплатил 51 рубль.

Пример 3

В кабинете №9 нашей школы нужно поменять линолиум. Требовалось вычислить сколько, какого и по какой цене линолиума лучше всего покупать.

Сначала мы определили габаритные размеры классной комнаты: длина – 8м., ширина – 6м. Затем в магазине строительных материалов присмотрели линолиум двух видов: 3м шириной по 560,20 руб. за погонный метр и 4м –

по 720,60 руб. за погонный метр.

Решение:

1.  8 * 2 = 16(м) – всего нужно линолиума шириной 3м.

2.  16 * 560,20 = 8963,20(руб.)

3.  6 * 2 = 12(м) – всего нужно линолиума шириной 4м.

4.  12 * 720,60 = 8649,60(руб.)

5.  8963,20 – 8649,60 =313,60(руб.)

Вывод: нужно покупать линолиум шириной 4м.

Пример 4

Вы, наверное, знаете, что за хранение денег в банке вкладчику начисляют проценты. Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, в какой банк выгоднее сделать вложения. Мы нашли такой банк.

Допустим, клиент банка хотел сделать вклад на сто тысяч рублей сроком на один год под 20% годовых. Какая сумма окажется на счету у вкладчика через 10 лет, если не будут сниматься проценты.

Так как 20% от 100000 рублей составляет 20000, то через год на счете окажется 120000 рублей.

К концу второго года на счет добавится 120000 * 0,2 = 24000(руб.)

Всего на счете к концу второго года окажется 120000 +24000 = 144000(руб.)

Через три года сумма составит 172800(руб.)

Действуя таким же образом, с помощью последовательных вычислений, сумма вклада на счете через 10 лет составит 00 рублей.

Заключение

Важность данной темы очевидна. Исходя из вышеизложенного понятно, что дроби возникли в процессе развития человечества. На примере нескольких жизненных задач мы показали, какое большое значение имеют дроби в жизни человека и как важно уметь выполнять вычисления по данной теме.