Содержание лекции

Содержание лабораторной работы

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Решение краевой задачи для линейного 2-ого порядка сведением к разностной краевой задаче. Метод прогонки. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ.

Постановка задачи. Решение дифференциального уравнения методом Коши, методом Эйлера, Методом Эйлера-Коши, Рунге-Кутта 4-го порядка и Адамса.

Задание

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения y=f(x, y) на отрезке [a,b] при заданном начальном условии и шаге интегрирования h.

Номер варианта соответствует порядковому номеру в списке.

Исполнение: С помощью инструментальных пакетов MS Office, MathCad методами Эйлера, Рунге-Кутта 4-го порядка и Адамса, предусмотрев вывод полученных решений в виде таблиц и графиков.

Лабораторная установка: Персональный компьютер с ОС Windows, MS Office, MathCad.

Оценка: Сопоставление полученных результатов, решаемых различными методами

Время выполнения работы: 5 часов.

Методические указания

Дана система дифференциальных уравнений:

, где n – размерность системы.

Рассмотрим задачу Коши для данной системы. Пусть известны начальные условия при x0 = a: y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, …, yn(x0) = yn0. Требуется найти y1(x), y2(x),…, yn(x), проходящие через заданные точки: (x0,y10), (x0,y20), …, (x0,yn0).

Методы решения одного дифференциального уравнения можно обобщить и на их системы.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка:

где ;

;

;

m – количество узлов;

– номер функции;

– номер узла;

;

;

;

.

Контрольные вопросы и задания

1. Задать исходные данные: функцию f правой части, начальное значение .

2. Используя функцию eyler (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 7.B), найти приближенное решение задачи Коши с шагом h=0.1 по явному методу Эйлера.

3. Используя встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD, найти приближенное решение задачи Коши с шагом h=0.1 по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 7.B).

4. Найти решение задачи Коши аналитически.

5. Построить таблицы значений приближенных и точного решений. На одном чертеже построить графики приближенных и точного решений.

6. Оценить погрешность приближенных решений двумя способами:

a) по формуле ; здесьи - значения точного и приближенного решений в узлах сетки , i=1,..N;

b) по правилу Рунге (по правилу двойного пересчета) (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 7.C).

7. Выяснить, при каком значении шага h=h* решение, полученное по методу Эйлера, будет иметь такую же погрешность (см. п. 6а), как решение, полученное с помощью метода Рунге-Кутты с шагом h=0.1.

УКАЗАНИЕ. В п. 7 рекомендуется провести серию вычислений решения по методу Эйлера, дробя шаг h пополам.

N

f(t, y)

t0

T

y0

N

f(t, y)

t0

T

y0

1

1

2

0

14

1

2

1

2

+1

0

15

1

2

3

3

0

1

0

16

1

2

1

4

+1

0.5

17

1

2

1

5

-1

0

1.5

18

1

2

6

0

1

1

19

1

1

1

7

+1

1

20

0

1

3

8

p

p+1

21

0

1

1

9

1

2

1

22

0

1

1

10

0

1

23

0

1

0.5

11

2

3

4

24

0

1

3

12

1

2

25

0

1

-0.5

13

1

2

1

26

1

2

1

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основная литература

1.  , , Шандра в экономике, Ч. 2. – М.: Финансы и статистика, 1999.

2.  ., , Чижонков методы в задачах и упражнениях - М.: Высшая школа, 2000.

3.  Вержбицкий методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения – М.: Высшая школа, 2001.

4.  , , Шандра уравнения – М.: Изд-во ФА, 2002.

5.  Вержбицкий методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособия для вузов. - М.: Высш. шк., 20с: ил.

6.  , , Кобельков методы: учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1987.

7.  Дж., Количественные методы в финансах. – М.: ЮНИТИ, 1999 (рекомендовано Министерством образования РФ).

8.  Красс для экономических специальностей. Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1999 (рекомендовано Министерством образования РФ).

9.  , Пантелеев методы в примерах и задачах – М.: Изд-во МАИ, 2000.

10.  , Первушин руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 19с.

Дополнительная литература

1.  , Жидков вычислений. В 2-х ч. – М.: Физматгиз, 1962.

2.  , Василькова технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999.

3.  Волков методы. - М.: Наука, 1982.

4.  , Данилова по вычислительной математике.- М.: Высш. шк., 1990

5.  , , Шувалова методы анализа.- М.: Наука, 1967

6.  , Марон вычислительной математики.- М.: Наука, 1970.

7.  , , Лапчик методы.- М.: Просвещение, 1991

8.  , , Мирошниченко сплайн функций.- М.: Наука, 1980.

9.  Калиткин методы.- М.: Наука, 1978.

10.  , Марон математика в примерах и задачах.- М.: Наука, 1972.

11.  , , Стукалов методы: Учеб. пособие для пед. вузов.-М.: Академия, 2001.

12.  Марчук вычислительной математики.- М.: Наука, 1989.

13.  , Первушкин руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк., 1998.

14.  , Гулин методы.- М.: Наука, 1989.

15.  Сборник задач по методам вычислений: Учеб. пособие: Для вузов/Под ред. .- М.: Физматлит, 1994.

16.  Хемминг методы для научных работников и инженеров.

17.  , Копченова методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994.

18.  Волков методы. – М.: Наука, 1987.

19.  Дьяконов система Maple V R3/R4/R5. – М.: Изд-во "СОЛОН", 1998.

20.  Калиткин методы. – М.: Наука, 1978.

21.  , Марон математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.

22.  Пирумов методы.: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 1998.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4