Об одном методе доказательства существования решения краевых задач нелинейной теории непологих оболочек

Об одном методе доказательства существования решения краевых задач нелинейной теории непологих оболочек

КамПИ, Набережные Челны

Изучается краевая задача определения напряженно-деформированного состояния физически и геометрически нелинейной теории непологих оболочек. Особенностью предложенного метода исследования является то, что существование решения задачи доказывается в некотором функциональном пространстве, отличном от пространств перемещений и усилий. В основе метода лежат соотношения для компонент вектора перемещения и деформаций через элементы данного пространства, которые выводятся при помощи аппарата обобщенных аналитических функций [I].

Рассмотрим следующую модель нелинейной теории непологих оболочек:

I) связь между деформацией и перемещением имеет вид:

(1)

где - компоненты тангенциальной и изгибной деформации срединной поверхности оболочки; и - тангенциальные и нормальное перемещения точек ; , - составляющие тензора кривизны ; - символы Кристоффеля; -декартовы координаты на плоскости, изменяющиеся в некоторой плоской ограниченной области , гомеоморфной поверхности . В дальнейшем всюду считается, что граница области суть ограниченные функции и в ; здесь -коэффициенты первой квадратичной формы поверхности ;

II) определяющие соотношения: , которые в рамках гипотез Кирхгофа-Лява при помощи формулы Тейлора первого порядка можно представить в виде

, (2)

где приняты обозначения : , ; -плотность среды, U - потенциал напряжений, -нелинейная часть . В дальнейшем предполагается, что квадратичная форма положительно определена во всем объеме оболочки;

III) для задания граничных условий следуя [2] возьмем два разбиения граничного контура области : , . На имеем:

(3)

(4)

(5)

Второе разбиение контура описывает тангенциальные условия закрепления оболочки:

(6)

(7)

(8)

Здесь - коэффициенты упругости опор, которые считаем ограниченными функциями; сами опоры характеризуются энергией , накапливающейся при деформации; и - составляющие орта нормали и орта касательной к ;

IV) на оболочку действуют массовые и поверхностные силы, которые где - толщина оболочки.

Для дальнейших рассмотрений нам понадобится ряд функциональных пространств. Введем их:

I)  -пространство перемещений класса

, удовлетворяющих однородным граничным условиям (3)-(8);

II. - пространство вектор-функций , компоненты которых определяются по формулам

(9)

где ; очевидно, что

II)  - пространство вектор-функций вида

(10)

где - известные функции, называемые главными ядрами ([I], с. 139),

Отметим, что .

Итак, каждому элементу по формулам (9), (10) соответствует пара . Множество таких пар обозначим через . Очевидно, -линейное пространство. Теперь компоненты вектора перемещения и деформации выразим через элементы пространства. Для этого при помощи комплексных функций соотношения (9) представим в комплексной форме, затем используем обобщенную формулу Коши ([I], с. 145). Получаем

(11)

где - линейные интегральные вполне непрерывные опереаторы из в и , если и из в , если ; .

Через компоненты перемещения выражаются формулами

(12)

где - произвольно фиксированная точка . Следует отметить, что в случае односвязной области криволинейный интеграл в (12) представляет собой однозначную функцию в . Если - связная область с границей (-внешняя кривая), то для однозначности интеграла в (12) необходимо и достаточно, чтобы

(13)

Поэтому в случае многосвязной области с самого начала будем считать, что элементы пространства удовлетворяют условиям (13).

Подставив (II) в (I), получим формулы для компонент деформации через элементы :

(14)

где через и обозначены соответственно интегральные и дифференциальные вещественные выражения, линейные относительно своих переменных, причем, если , то в ; - нелинейные выражения относительно .

При помощи формул (II), (14) вариацию энергии деформации U, накопленной во всем объеме оболочки, также выразим через элементы пространства :

где -известное выражение, зависящее от вектора и его вариации ; через обозначены векторы с компонентами, , , соответственно; для вариации приняты обозначения: .

В пространствах зададим скалярные произведения:

(15)

(16)

где . Линейное пространство со скалярным произведением (15) обозначим через , а с (16) -через . Справедливы следующие утверждения.

Лемма 1. Если суть ограниченные функции и область является соболевской класса (2,1,2), то

1)

2)

где - пространство Соболева; - известные положительные постоянные, не зависящие от .

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1 и . Тогда

1) и

2) и ;

3) оператор вложения в и является усиленно непрерывным.

Через обозначим линейное пространство со скалярным произведением для любых .

Очевидно, - гильбертово пространство.

Лемма 3. Пусть . Тогда правые части формул (II) имеют смысл и определяют функции , почти всюду удовлетворяющие граничным условиям (3)-(8) и соотношениям (9).

Исходя из вариационного принципа Лагранжа, введем понятие обобщенного решения рассматриваемой задачи в пространстве .

Определение. Обобщенным решением краевой задачи (1)-(2)-(3)-(8) в пространстве назовем вектор-функцию , удовлетворяющую интегральному соотношению

(17)

для любой вектор-функции .

Здесь (при фиксированном ) и -линейные ограниченные функционалы в , определенные при помощи и внешних сил соответственно.

Интегральное соотношение (17) эквивалентно нелинейному операторному уравнению

(18)

где операторы определены формулами

t -произвольно фиксированный параметр из промежутка [0,1).

Оператор можно представить в виде , где - линейный ограниченный, а - нелинейный вполне непрерывный операторы из в .

Имеет место следующая

Теорема. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда

1) число I не является собственным числом оператора ;

2) вращение вполне непрерывного векторного поля (I -тождественный оператор) на сферах достаточно большого радиуса пространства равно +I.

Пусть существует параметр такой, что на сферах достаточно большого радиуса пространства имеет место

Тогда, применяя известные результаты ([3], с. 163) к (18), получаем, что уравнение (18) внутри сферы достаточно большого радиуса имеет по крайней мере одно решение .

Автор выражает признательность профессору за внимание к работе.

литература

1. Векуа аналитические функции. М.: Наука. 1988.512с.

2. Ворович проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.:Наука.1989.376с.

3. Красносельский методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.:Гостехиздат.1956.393с.