Методические указания к выполнению лабораторного практикума по разделу “Механические колебания и волны” для студентов всех специальностей дневной формы обучения (стр. 2 )

, (1.3)

где – длина стержня; – расстояние от точки опоры до центра масс.

С учетом этого уравнение (1.1) преобразуется к виду

. (1.4)

Перемещая опорную призму стержня начиная от конца к середине, установить зависимость периода колебаний физического маятника Т от расстояния между точкой опоры и центром масс . При каждом значении определить время 10 колебаний не менее 3 раз и занести данные в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Номер опыта
1
-----
6

Призму перемещать на 3 риски стержня не менее 6 раз. Заполнить табл. 1.2 и построить график в координатах от . Убедиться, что график имеет прямолинейный характер. Из полученных экспериментальных данных определить .

Lc2, м2

Из рис. 1.3 видно, что коэффициент наклона

. (1.5)

С учетом уравнения (1.4)

. (1.6)

Таким образом,

Контрольные вопросы

1. Что называется физическим маятником? Выведите дифференциальное уравнение физического маятника.

2. В чем состоит метод определения ускорения свободного падения с помощью физического маятника?

3. Назовите факторы влияющие на ускорение свободного падения.

2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

И ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Лабораторная работа № 1.12

Цель работы: определение приведённой длины физического маятника и величины ускорения свободного падения.

Принадлежности: математический маятник и оборотный физический маятник, фотоэлектрический датчик, электронный секундомер, метрическая линейка.

Описание установки и методика измерения

Под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают математический и физический маятники.

Математическим маятником называют идеализи - рованную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

При малых колебаниях математический маятник колеблется по гармоническому закону. Период колебаний математического маятника в этом случае равен

. (2.1)

Видно, что период зависит только от длины маятника , ускорения силы тяжестии не зависит от его массы.

Физический маятник – любое тело, подвешенное в точке, лежащей вне его центра тяжести (рис 2.1). Период его колебания определяется выражением

, (2.2)

где – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; – момент инерции маятника относительно оси вращения (качания).

Из сопоставления уравнений (2.1) и (2.2) следует, что математический маятник с длиной будет иметь такой же период, как и данный физический маятник, где lпр называется приведенной длиной физического маятника. Точка, лежащая на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания . Точка подвеса и центр качания являются взаимозаменяемыми, т. е. если маятник подвесить за центр качания , то его период не изменится и прежняя точка сделается новым центром качания. На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника.

Совпадение периодов

, (2.3)

возможно только в случае равенства приведённых длин прямого и обратного положений маятника, т. е.

. (2.4)

Здесь l1= ОC = lc , l2=O1C.

По теореме Штейнера

и . (2.5)

Подставив (2.5) в уравнения (2.3) при Т1 =Т2 = Т, найдём

,

или . (2.6)

Как следует из рис.2.1 расстояние между опорными призмами численно равно приведённой длине оборотного маятника lпр.

Таким образом, измерив расстояние между призмами оборотного маятника, можно вычислить ускорение свободного падения по формуле

. (2.7)

Общий вид универсального маятника представлен на рис.2.2. На основании 1 прибора закреплены: колонка 2 и электронный миллисекундомер 3. На колонке зафиксированы: верхний кронштейн 4 и нижний кронштейн 5 с фотоэлектрическим датчиком 6. При помощи воротка 7 верхний кронштейн можно фиксировать любой поворот вокруг стойки 2. С одной стороны кронштейна 4 находится математический маятник 8, с другой – на вмонтированных вкладышах оборотный маятник 9.

Рис.2.2

Длину математического маятника можно регулировать при помощи воротка 10, а её величину определять по шкале на колонке.

Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором фиксированы две опорные призмы 11, повернутые своими лезвиями друг к другу, и два ролика 12. На стержне через 10 миллиметров сделаны кольцевые нарезки, служащие для точного определения длины оборотного маятника (расстояние между лезвиями опорных призм) и надежной блокировки роликов 12 и опорных призм при помощи фиксирующих воротков.

Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно избранном положении

Подготовка прибора к измерениям

На стержне 9 (рис.2.3) закрепите несимметрично два ролика 12 и опорные призмы 11. Один из роликов расположите вблизи конца стержня, а второй – вблизи его середины. Призмы 11 закрепите по обеим сторонам центра тяжести маятника лезвиями друг к другу. Одну из призм установите вблизи свободного конца стержня, а вторую – на половине расстояния между роликами.

Опустите нижний кронштейн 5 в нижнее положение и установите маятник на опорные вкладыши верхнего кронштейна 4. Затем проверьте выравнивание прибора с тем, чтобы колонка 2 занимала вертикальное положение. В противном случае осуществите выравнивание при помощи регулируемых ножек 15.

Включите прибор нажатием клавиши «сеть». При этом на индикаторах измерителя должны высвечиваться нули и должна гореть лампочка фотоэлектрического датчика.

Наконец, нижний кронштейн с фотоэлектрическим датчиком переместите вверх и зафиксируйте таким образом, чтобы маятник пересекал оптическую ось датчика.

После указанных действий прибор готов к работе.

Порядок выполнения работы

А. Оборотный маятник

Предварительно следует проверить, отвечают ли лезвия опорных призм кольцевым проточкам стержня. Далее следует:

1. Включить измеритель прибора в сеть.

2. Отклонить маятник на 4-5 градусов от положения равновесия и отпустить, одновременно нажать клавишу «сброс».

3. После N=10 полных колебаний маятника нажать клавишу «стоп». При этом измеритель покажет соответствующий этому числу колебаний промежуток времени t. Период колебаний маятника Т = t/N. Сделать 3-4 измерения, а полученные результаты записать в таблицу 1.

4. Снять маятник и подвесить его на вторую призму. При этом нижний кронштейн с фотоэлектрическим датчиком потребует перемещения.

5. Отклонить маятник на 4-5 градусов от положения равновесия и измерить период колебаний (Тr)

Таблица 1

№	N	t, с	T, с	Примечания
1	10
2	10
3	10
Средн. знач.

6. Если окажется, что если ‹Т› больше Тr, то вторую призму (теперь уже верхнюю) переместить в направлении ролика и наоборот. Положение роликов и первой призмы не менять.

7. Повторно измерить период Тr и сравнить с величиной ‹Т›. Изменять положения второй призмы до момента получения условия Тr = ‹Т› с погрешностью не более 0,5%.

8. Определить приведенную длину L оборотного маятника, равную расстоянию между лезвиями опорных призм при условии Тr = ‹Т›.

9. По формуле определить ускорение свободного падения.

Б. Математический маятник

1. Поворотом верхнего кронштейна расположить над датчиком математический маятник.

2. .Вращая вороток 10 на верхнем кронштейне установить длину математического маятника 8, равную приведенной длине lпр физического маятника. При этом необходимо обратить внимание на то, чтобы черта на шарике была продолжением черты на корпусе фотоэлектрического датчика.

3. По совокупности нескольких измерений определить период Тм колебаний математического маятника. Амплитуда колебаний не должна превышать 4-5 градусов.

4. По формуле определить ускорение свободного падения.

5. Учитывая стандартное значение ускорения свободного падения gо=9,82 м/с2 оценить примерную погрешность полученного результата измерений земного ускорения по фомуле .

Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 2.

Таблица2

	T, с	l, м	g, м/с2	ε, %
Оборотн. маятник
Матем. маятник

. Контрольные вопросы

1. Математический и физический маятники. Уравнения и периоды их колебаний.

2. Что называется приведенной длинной физического маятника?

3. В чем состоит метод определения приведенной длины оборотного физического маятника?

4. Какие факторы оказывают влияние на величину ускорения свободного падения?

2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИВЕДЁННОЙ ДЛИНЫ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА И УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

Лабораторная работа № 1.13

Принадлежности: маятник с опорной призмой, секундо - мер, масштабная линейка.

Цель работы: исследование зависимости периода колебаний физического маятника от положения точки подвеса и определение по этой зависимости ускорения свободного падения.

Описание прибора и методика измерения

Любое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра тяжести, может колебаться и представляет собой физичеcкий маятник. Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол j от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания. Обозначим через I момент инерции маятника относительно оси О, перпендикулярной плоскости чертежа (рис.3.1). Пусть точка С является центром тяжести. Силу тяжести можно разложить на две составляющие, одна из которых уравновешивается реакцией опоры, а под действием другой составляющей

маятник приходит в движение.

Из основного закона динамики вращательного движения имеем

I e = - m g a sinj, (3.1)

где , (3.2)

угловое ускорение, а = ОC – расстояние от точки подвеса до центра тяжести

Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению отклонения маятника, т. е. стремится вернуть его в положение равновесия. При малых отклонениях маятника можно принять, что sin j » j, что позволит (3.1) представить в виде

. (3.3)

Полученное дифференциальное уравнение является уравнением гармонического колебательного движения, решение которого j = А cos(wt+a). Частота и период колебаний определяются из формул

(3.4)

Величина называется приведенной длиной

физического маятника, она численно равна длине математического маятника той массы m и периодом колебаний, равным периоду колебаний данного физического маятника.

Из формулы (3.4) для периода колебаний можно рассчитать момент инерции физического маятника относительно точки подвеса:

. (3.5)

Приведенная длина lпр физического маятника в данной работе определяется графическим методом.

Определение приведенной длины физического маятника по кривой зависимости периода колебаний от положения точки подвеса

Применяемый в данной работе маятник представляет собой однородный металлический стержень длиной более 1м., диаметром около 2см. На стержне имеется шкала и передвижная, закрепляющаяся в любом месте стержня, опорная призма (рис.3.2).

Заменой I=I0+ma2 формулу (3.4) перепишем в виде

. (3.6)

Величина I0, имеющая смысл момента инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, равна

, (3.7)

где m – масса тела; – так называемый радиус инерции маятника.

Из уравнений (3.6) и (3.7) получаем

. (3.8)

График зависимости Т(а) состоит из двух ветвей: левой и правой (рис.3.3). Наименьшее значение величины периода колебаний получается при а=а0 (точки А и В). В этом можно убедиться, если определить минимальное значение функции

Равные периоды колебаний получаются при двух значениях а: при а1 < a0 на падающем участке правой ветви – точка М и при а2 > а0 на возрастающем участке ветви – точка N. Для этих точек

,

что приводит к равенству 12 = . Пользуясь этим, для величины приведенной длины маятника получим

. (3.9)

Для определения приведен - ной длины нет необходимости перевертывать маятник, измерять периоды вновь и строить второй график. Из соображения симметрии ясно, что

L = a1+a2 = FC+FM = FM + FN. (3.10)

В маятнике может быть найдено большое число пар точек, периоды колебаний которых равны между собой, но для каждой пары точек, соответствующих определенной приведенной длине, значения периода колебаний будут различны.

По графику (достаточно по одной кривой) можно, следовательно, определить приведенную длину маятника L.

Порядок выполнения работы

1.Осторожно, сняв маятник с подставки, на которую опирается ребро опорной призмы, масштабной линейкой измерить длину маятника ℓ и расстояние от опорного ребра призмы до противоположной ему грани b (рис. 2.6)

2.Опорную призму укрепить на самом конце маятника так, чтобы плоскости ее верхней грани и верхнего основания маятника совпадали. При этом расстояние от центра тяжести стержня до оси вращения равно (ℓ/2 - b).

3. По указанию преподавателя измерять время t полных колебаний (от 5 до 20) маятника и найти период колебаний T. Угол отклонения маятника от вертикали не должен превышать 50.

4. Перемещая каждый раз опорную призму на 3см, повторить п.3. При каждом перемещении измерять расстояние

от ближайшего конца стержня до верхней грани призмы c. Тогда расстояние от центра тяжести маятника до оси вращения (рис.3.3)

.

Таких опытов проделать не менее 15. Результаты измерений занести в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Номер п/п	с, м	d = b+c,м	, м	t,с	N	T = t/n, с
1 2 … 15

5. На основании данных табл.3.1 построить график зависимости T(a), откладывая по оси абсцисс расстояние а, по оси ординат соответствующее ему значение периода Т (кривая на рис. 3,3, правая ветвь).