Запутанность и причинность в модели Джейнса-Каммингса

УДК 530.16

ЗАПУТАННОСТЬ И ПРИЧИННОСТЬ В МОДЕЛИ ДЖЕЙНСА-КАММИНГСА

МГТУ им.

Запутанность представляет собой важнейший ресурс для реализации практических приложений физики квантовой информации, таких как квантовая телепортация, квантовая криптография, сверхплотная кодировка и квантовые вычисления. Основной проблемой, стоящей на пути полноценного развития и применения данных технологий, является крайне высокая хрупкость квантовых корреляций к воздействию окружающей среды. Традиционно считается, что температура выступает деструктивным фактором по отношению к запутанности, однако, например, в работе [1] показано, что при взаимодействии возбужденного двухуровнего атома с квантованной модой электромагнитного поля согласно модели Джейнса-Каммингса [2] запутанность между атомом и полем должна сохраняться при сколь угодно высокой температуре. Авторы работы [1] используют метод проекций исходный системы размерности 2×∞ на двукубитные состояния размерности и получают лишь нижнюю оценку существующей запутанности.

В настоящей работе рассматривается аналитическое решение уравнения фон Неймана (с использованием гамильтониана модели Джейнса-Каммингса) для матрицы плотности атома и поля, позволяющее изучить динамику развития системы для произвольного начального состояния без использования метода проекций. Кроме того, к полученной матрице плотности применяется квантовый причинный анализ – новый метод, разработанный специально для исследования внутреннего поведения асимметричных квантовых систем (например [3,4]).

Итак, рассмотрим атом, который может находиться в двух состояниях: основном и возбужденном . Также рассмотрим резонансную моду электромагнитного поля (фактически квантовый осциллятор), которая может находиться в состояниях , , , и т. д. (каждое состояние соответствует своему уровню энергии осциллятора).

Согласно модели Джейнса-Каммингса, описывающей простейшее взаимодействие между полем и веществом, гамильтониан имеет вид [5]

(1)

где где и — операторы рождения и уничтожения фотона, — резонансная частота (соответствует переходу атома из основного в возбужденное состояние),— дипольный матричный элемент, определяющий частоту осцилляций Раби.

Для удобства, можно представить Гамильтониан (1) в виде суммы диагональный матрицы и матрицы, содержащий лишь недиагональные элементы . Именно второе слагаемое определяет взаимодействие между атомом и полем.

Рассмотрим уравнение фон Неймана, описывающее эволюцию системы:

(2)

где — матрица общая матрица плотности атома и поля, а квадратные скобки соответствуют коммутатору.

В связи с тем, что Гамильтониан не зависит от времени, уравнение (2) имеет простое аналитическое решение

(3)

где — начальное состояние системы.

Далее, для упрощения положим константы и равными единице. Кроме того, при диагональных матрицах (только такие мы и будем в дальнейшем рассматривать) решение (3) будет зависеть только от недиагональных элементов Гамильтониана. С учетом данных замечаний решение приобретает вид

(4)

В качестве начальных состояний атома и поля будем рассматривать сепарабельные состояния где и — начальные состояния атома и поля соответственно.

В качестве начального состояния поля рассмотрим термальное смешанное состояние где вероятности — определяются распределением Бозе-Эйнштейна

, (5)

где среднее число фотонов

Рассмотрим проблему, связанную с бесконечной размерностью матрицы поля. В связи с тем, что (5) представляет собой экспоненциально убывающий ряд, мы можем ограничиться рассмотрением первых членов. Величину итоговой ошибки можно оценить как . В последующих вычислениях мы положили , что обеспечивает точность при максимальном рассматриваемом . При более низких точность гораздо выше.

В качестве начального состояния атома мы рассмотрим три варианта: атом в чистом возбужденном состоянии; атом в чистом основном состоянии и атом в смешанном термальном состоянии. Таким образом, получим три варианта начального состояния системы:

(6)

(7)

(8)

где . Подставляя выражения (6), (7) и (8) в (4) мы получаем различные варианты эволюции системы.

К основным исследуемым характеристикам состояния (4) в настоящей работе относятся запутанность между атомом и полем, а также асимметрия взаимодействия между подсистемами. В качестве меры запутанности использовалась негативность (см. например [6]), вычисляемая согласно формуле где – отрицательные собственные значения частично транспонированной матрицы . В качестве меры асимметрии использовалась безразмерная скорость необратимого потока информации – специальная величина, предложенная в квантовом причинном анализе [3,4], вычисляемая согласно формуле

где и – функции независимости, фактически являющиеся нормированными условными энтропиями фон Неймана для атома и поля (, и – энтропии для атома, поля и всей системы соответственно). При положительных значениях поле является источником информации (причиной), а атом – стоком информации (следствием). Чем меньше абсолютное значение , тем сильнее причинная связь.

Рассмотрим последовательно динамику характеристик всех трех начальных состояний (6)-(8) при различных значениях температуры поля, характеризующейся средним числом фотонов .

Для начального состояния (6) при нулевой температуре матрице плотности (4) будет соответствовать вектор , запутанность которого будет осциллировать во времени. Так как состояние чистое, то причинность в данном случае будет отсутствовать (). Результаты для и представлены на рис.1.

Рис.1. Зависимость параметров системы от времени для начального состояния (6) для (тонкие кривые) и (жирные кривые), пунктир соответствует : a – негативность; b – скорость необратимого потока информации.

Как мы видим, максимальный уровень запутанности спадает с ростом температуры, но в то же время негативность больше не возвращается к нулевому значению и начинает флуктуировать около некоторого среднего значения.

Скорость необратимого потока информации положительна (поле – причина, атом – следствие) и при принимает значения в характерном диапазоне . С ростом температуры величина флуктуаций около некоторого среднего уровня уменьшается, а сама причинная связь усиливается.

Начальному условию (7) при соответствует статичный сепарабельный вектор . Однако при повышении температуры поля начинает происходить энергообмен между атомом в основном состоянии и полем в состояниях отличных от , что приводит к возникновению запутанности.

Из рис.2а видно, что с ростом негативность увеличивается, таким образом, мы получаем, что температура может играть конструктивную роль в создании запутанности.

Рис.2. Зависимость параметров системы от времени для начального состояния (7) для (тонкие кривые) и (жирные кривые): a – негативность; b – скорость необратимого потока информации.

Поведение причинности, представленное на рис.2b, как и в предыдущем случае свидетельствует об усилении причинной связи с ростом температуры и уменьшения разброса значений .

Интересной особенностью поведения состояния (4) при начальном условии (7) является то, что обе функции независимости и всегда положительны при любых . Таким образом, данное состояние выглядит «классическим» в энтропийном смысле, но в тоже время остается запутанным.

Наконец, рассмотрим вариант взаимодействия, в котором обе подсистемы: и атом, и поле термальны. Легко видеть, что при начальное условие (7) полностью аналогично начальному условию (6), таким образом при нулевой температуре запутанность в данном состоянии отсутствует.

При повышении температуры запутанность начинает вести себя следующим интересным образом: до негативность , а при больших температурах запутанность появляется и начинает расти.

Поведение негативности и причинности для состояния (4) при начальном условии (7) при достаточно высоких по сравнению с предыдущими случаями температурах представлено на рис.3. Как мы видим, запутанность ведет себя подобно предыдущему случаю, но с некоторым запозданием по значениям . И вновь, температура выступает конструктивным фактором для создания запутанности.

Причинность же держится приблизительно на одном уровне, но по прежнему интенсивность флуктуаций около некоторого среднего уровня уменьшается с ростом температуры.

Последний вопрос, рассматривающийся в настоящей работе, – это зависимость уровня средних по времени величин от температуры. Для подобных оценок рассчитывалось изменение средних на временном промежутке с шагом . Результаты представлены на рис.4.

Рис.3. Зависимость параметров системы от времени для начального состояния (8) для (тонкие кривые) и (жирные кривые): a – негативность; b – скорость необратимого потока информации.

Рис. 4. Зависимость усредненных параметров состояния (4) от для различных начальных состояний системы □ – (6), ○ – (7), ∆ – (8): a – негативность; b – скорость необратимого потока информации. Вертикальные риски соответствуют максимальным и минимальным значениям параметров на исследуемом временном промежутке.

Хорошо видно, что с ростом температуры все три кривые, описывающие поведение негативности при различных начальных условиях, стремятся к некоторой горизонтальной асимптоте, которой соответствует . Аналогичным образом ведет себя величина : все три кривые стремятся к уровню . Таким образом, с ростом температуры поля, влияние начального состояния атома на средние характеристики уменьшается. Итоговое состояние является запутанным и асимметричным (поле – причина, атом – следствие).

Сформулируем ключевые выводы проделанной работы. Вне зависимости от начального состояния атома, при повышении начальной температуры поля, средние характеристики системы стремятся к некоторым одинаковым асимптотическим значениям. Интенсивность флуктуаций от этих средних значений спадает с возрастанием температуры. Итоговое «среднее» состояние имеет следующие свойства:

А) система запутанна: при (14% от максимальной величины);

Б) система асимметрична (): полю соответствует источник информации (причина), атому – сток информации (следствие).

Наиболее важно, что при рассмотрении взаимодействия между атомом в основном или термальном состоянии и термальным полем, средний уровень запутанности растет вместе с ростом температуры поля.

Литература

1. Bose S., Fuentes-Guridi I., Knight P. L. and Vedral V. Subsystem purity as an enforcer of entanglement // Phys. Rev. Let. 2001. V. 87. P. 050401.

2. Jaynes E. T. and Cummings F. parison of quantum and semiclassical radiation theory with application to the beam maser // Proc. IEEE. 1963. V. 51. P. 89.

3. , Киктенко анализ квантовых запутанных состояний // Вестник МГТУ Естественные науки. 2010. Ч. I № 3. С. 35-55. Ч. II № 4. С. 29-47.

4. Kiktenko Е. O., Korotaev S. M. Causal analysis of asymmetric entangled states under decoherence // Phys. Let. A. 2012. V. 376. P. 820-823.

5. Одноатомный мазер и другие эксперименты квантовой электродинамики резонатора. УФН. 1996. № 000. С. 777-794.

6. Wang X. and Wang Z. D. Thermal entanglement in ferrimagnetic chains. Phys. Rev. A. 2006. V. 73. P. 064302.