Равенства

§ 2. Равенства.

Пример 2.1. Доказать равенство

. (2.1)

Решение. Обозначим через .

Теорема 1. При n = 1 имеем S1 = 1. Подставим n = 1 в правую часть равенства (2.1): . Получили, что при n = 1, левая и правая части равенства (2.1) равны 1. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.1) выполняется при n = k: . Нужно доказать, что верно равенство (2.1) при n = k: .

Действительно:

.

Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.1) выполняется для любого натурального n.

Пример 2.2. Доказать, что сумма квадратов n первых чисел натурального ряда равна для любого натурального n.

Доказательство. Нужно доказать равенство

. (2.2)

Теорема 1. Проверим выполнение равенства (2.2) при n = 1:

Для левой части (2.2) имеем: ;

Для правой части (2.2) имеем: .

Так как левая и правая части равенства (2.2) равны, то теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.2) выполняется при n = k:

.

Нужно доказать, что оно выполняется при n = k +1:

.

Действительно:

; ;

.

. Теорема 2 доказана.

Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.2) выполняется для любого натурального n.

Пример 2.3. Доказать, что сумма квадратов (2 n – 1) первых нечётных чисел натурального ряда равна для любого натурального n.

Доказательство. Нужно доказать равенство

. (2.3)

Теорема 1 Проверим выполнение равенства (2.3) при n = 1:

Для левой части (2.3) имеем: ;

Для правой части (2.3) имеем: .

Так как левая и правая части равенства (2.3) равны, то теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.3) выполняется при n = k:

.

Нужно доказать, что оно выполняется при n = k +1:

.

Действительно:

. Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.3) выполняется для любого натурального n.

Пример 2.4. Доказать, что сумма пятых степеней n первых чисел натурального ряда равна .

Доказательство. Нужно доказать равенство

. (2.4)

Теорема 1. Проверим выполнение равенства (2.4) при n = 1:

Для левой части (2.4) имеем: ;

Для правой части (2.4) имеем: .

Так как левая и правая части равенства (2.4) равны, то теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.4) выполняется при n = k:

.

Нужно доказать, что оно выполняется при n = k +1:

.

Действительно:

Разделим многочлен четвёртой степени

на многочлен второй степени

0

. Теорема 2 доказана.

Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.4) выполняется для любого натурального n.

Пример 2.5. Доказать равенство для любого натурального n

. (2.5)

Решение. Обозначим через .

Теорема 1. При n = 1 имеем . Подставим n = 1 в правую часть равенства (2.5): . Получили, что при n = 1 левая и правая части равенства (2.5) равны. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.5) выполняется при n = k: . Нужно доказать, что верно равенство

.

Действительно:

.

Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.5) выполняется для любого натурального n.

Пример 2.6. Доказать равенство

. (2.6)

Решение. Обозначим через .

Теорема 1. При n = 1 имеем . Подставим n = 1 в правую часть равенства (2.6): . Получили, что при n = 1 левая и правая части равенства (2.6) равны. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.6) выполняется при n = k, т. е. верно:

. Нужно доказать, что верно равенство .

Действительно:

. Теорема 2 доказана.

Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.6) выполняется для любого натурального n.

Пример 2.7. Доказать равенство

. (2.7)

Решение. Обозначим через .

Теорема 1. При n = 1 имеем: . Подставим n = 1 в правую часть равенства (2.7): . Получили, что при n = 1 левая и правая части равенства (2.7) равны 1. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.7) выполняется при n = k, т. е. верно:

. Нужно доказать, что верно равенство: .

Действительно: .

Теорема 2 доказана. Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.7) выполняется для любого натурального n.

Пример 2.8. Доказать равенство

. (2.8)

Решение. Обозначим через .

Теорема 1. При n = 2 имеем: . Подставим n = 2 в правую часть равенства (2.8): . Получили, что при n = 2, левая и правая части равенства (2.8) равны. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.8) выполняется при n = k, т. е. верно: .

Нужно доказать, что верно равенство

.

Действительно:

. Теорема 2 доказана.

Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.8) выполняется для любого натурального .

Пример 2.9. Доказать равенство

, . (2.9)

Решение. Обозначим через .

Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.9) выполняется при n = k, т. е. верно:

.

Нужно доказать, что верно равенство (2.9) при n = k+1:

.

Действительно:

. Теорема 2 доказана.

Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.9) выполняется для любого натурального n.

Пример 2.10. Доказать равенство

. (2.10)

Решение. Обозначим через .

Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.10) выполняется при n = k т. е. верно:

. Нужно доказать, что верно равенство

при n = k+1: .

Действительно:

.

Последнее равенство верно потому, что . Теорема 2 доказана.

Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.10) выполняется для любого натурального n.

Пример 2.11. Доказать равенство

. (2.11)

Решение. Обозначим через .

Теорема 1. При n = 2 левая часть (2.11): . Подставим n = 2 в правую часть равенства (2.11): . Получили, что при n = 2 левая и правая части равенства (2.11) равны.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.11) выполняется при n = k, т. е. верно:

.

Нужно доказать, что верно равенство

.

Действительно:

. Теорема 2 доказана.

Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.11) выполняется для любого натурального .

Пример 2.12. Доказать равенство

. (2.12)

Решение. Обозначим через .

Теорема 1. При n = 1 имеем: .

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.12) выполняется при n = k, т. е. верно:

. Нужно доказать, что верно равенство .

Действительно:

.

Теорема 2 доказана.

Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.12) выполняется для любого натурального n.

Пример 2.13. Доказать формулу Муавра

. (2.13)

Теорема 1. При n = 1 имеем: .

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть дано, что равенство (2.13) выполняется при n = k, т. е. верно:

. Нужно доказать, что верно равенство .

Действительно:

. Теорема 2 доказана.

Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что равенство (2.13) выполняется для любого натурального n.

Литература. Содержание