МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. ёва»
Типовая расчетная работа по теме:
«Определенный интеграл и его приложения»
и методические рекомендации к ней
для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
ТР Определенный интеграл
Теоретические вопросы
1. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл
2. Основные свойства определенного интеграла
3. Формула Ньютона-Лейбница
4. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
5. Вычисление площадей плоских фигур, длины кривой, объема тела вращения
Расчетные задания
Задание 1. Вычислить определенный интеграл до двух знаков после запятой.
1.1 а) 
; б) 
;
1.2 а) 
; б) 
;
1.3 а) 
; б) 
;
1.4 а) 
; б) 
;
1.5 а) 
; б) 
;
1.6 а) 
; б) 
;
1.7 а) 
; б) ;
1.8 а) 
; б) 
;
1.9 а) 
; б) 
;
1.10 а) 
; б) ;
1.11 а) 
; б) 
;
1.12 а) 
; б)
;
1.13 а) 
; б) 
;
1.14 а) 
; б) 
;
1.15 а) 
; б) 
;
1.16 а) 
; б) 
;
1.17 а) 
; б) 
;
1.18 а) 
; б) 
;
1.19 а) 
; б) ;
1.20 а) 
; б) 
;
1.21 а) 
; б) 
;
1.22 а) 
; б) 
;
1.23 а) 
; б) 
;
1.24 а) 
; б) 
;
1.25 а) 
; б) 
.
Задание 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
2.1 
; б) 
;
2.2 
; б) 
;
2.3 
; б) 
;
2.4 
; б) 
;
2.5 а) 
; б) 
;
2.6 а) 
; б) 
;
2.7 а) 
; б) 
;
2.8 а) 
; б) 
;
2.9 а) 
; б) 
;
2.10 а) 
; б) 
;
2.11 а) 
; б) 
;
2.12 а) 
; б) 
;
2.13 а) 
; б) 
;
2.14 а) 
; б) 
;
2.15 а) 
; б) 
;
2.16 а) 
; б) 
;
2.17 а) 
; б) 
;
2.18 а) 
; б) 
;
2.19 а) 
; б) 
;
1.20 а) 
; б) 
;
1.21 а) 
; б) 
;
2.22 а) ; б) 
;
2.23 а) 
; б) 
;
2.24 а) 
; б) 
;
2.25 а) 
; б) 
.
Задание 3. Вычислить (с точностью до двух запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.
3.1 
; 3.2 
;
3.3 
; 3.4 
;
3.5 
; 3.6 
;
3.7 
; 3.8 
;
3.9 
4 3.10 
;
3.11 
;
3.12 
3.13 
; 3.14 
;
3.15 
; 3.16 
;
3.17 
; 3.18 
;
3.19 
; 3.20 
;
3.21 
; 3.22 
;
3.23 
; 3.24 
;
3.25 
.
Задание 4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии.
4.1 
4.2. 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
4.7. 
4.8 
4.9 
4.10
4.11 
4.12 
4.13 
4.14 
4.15 
4.16 
4.17 
4.18 
4.19 
4.20 
4.21 
4.22 
4.23 
4.24 
4.25 
4.26 
Задание 5. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела, полученного вращением фигуры 
вокруг указанной оси координат.
5.1 
5.2 
5.3 
5.4 
5.5 
5.6 
5.7 
5.8 
5.9 
5.10 
5.11 
5.12 
5.13 
5.14 
5.15 
5.16 
5.17 
5.18 
5.19 
5.20 
5.21 
5.22 
5.23 
5.24 
5.25 
Задание 6. Вычислить (с точность до двух знаков после запятой) площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг указанной оси.
6.1 
6.2 
6.3 
6.4 
6.5 
6.6 
6.7 
6.8 
6.9 
6.10 
6.11 
6.12 
6.13 
6.14 
6.15 
6.16 
6.17 
6.18 
6.19 
6.20 
6.21 
6.22 
6.23 
6.24 
6.25 
.
Методические рекомендации к данной работе
Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница
Пример 1. Вычислить 
.
.
Пример 2. Вычислить 
При вычислении данного интеграла применяем формулу интегрирования по частям 
.
Полагая 
, получим 
.
.
Пример 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой 
.
С помощью определенного интеграла можно вычислить: 1) площадь плоских фигур по соответствующим формулам:
2) длину дуги кривой:
, 
, 
3)объем тела вращения 
4) площадь поверхности тела вращения 
.
Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную одной аркой циклоиды: 
и осью 
.
Для первой арки циклоиды 
.
.
Пример 5. вычислить длину дуги 
от точки 
до точки 
.
Длину дуги вычисляем по формуле 
.
Пример 6. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси плоской фигуры, ограниченной параболами 
и 
.
Объем данного тела получается как разность объемов 
, где
