539.12, 537.8

А. к. Едемская, И. а. Перевалова, О. н. Солдатенко

Переход из состояния с определенным импульсом в состояние с определенным параметром вылета бесспиновой частицы во внешнем поле

В работе исследуется связь функции распределения по пара­метру вылета частицы с амплитудой процесса во внеш­нем стационарном поле. Эта функция распределения непосред­ственно связана с форм-фактором источника внешнего поля. В качестве иллюстрации рассматривается водородоподобный атом. Показывается, что распределение в переднюю полусферу содер­жит информацию о пространственной структуре электронного об­лака, а распределение в заднюю полусферу воспроизводит про­странственную структуру окрестности ядра.

Рассмотрим процесс во внешнем стационарном поле (рис.1) [1]:

Рис.1. Процесс рождения частицы во внешнем поле в состоянии с определенным параметром вылета

Здесь - импульс рассеиваемой частицы , - параметр вылета частицы , - энергия частицы , - внешнее стационарное поле.

Как известно [1], полное число событий рождения частиц за бесконечное время равно [2]

(1)

Здесь начальное состояние , - импульс частицы . Оператор связан с - матрицей соотношением .

Состояние с определенным импульсом связано с состоянием с определенным параметром вылета соотношениями [2]

(2)

Это является следствием полноты и ортогональности функций Шапиро [3].

Полное число событий связано с полным сечением рождения частицы соотношением

где скорость частицы

-инвариантность оператора позволяет явным образом выделить закон сохранения энергии [4].

Учитывая, что получим из (1) для сечений следующие выражения

(3)

Здесь введено обозначение,

, (4)

где оператор определяется соотношением .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Рассмотрим случай, когда . Тогда . Нас интересует функция распределения по параметру вылета частицы и связь этой функции с амплитудой . Для этого представим выражение для сечения (3) в виде

(5)

где (6)

а безразмерный параметр связан с минимальным расстоянием между траекториями частицы и началом координат соотношением:

(7)

(Параметр можно интерпретировать как радиус области рождения частицы ).

Из второго равенства в соотношении (5) получаем

(8)

Используя соотношение ортогональности функций Шапиро, получим нормировочное условие:

(9)

Соотношения (8) и (9) позволяют интерпретировать величину как функцию распределения по параметру вылета частицы .

В качестве простейшей модели реализации изложенной схемы рассмотрим водородоподобный атом с протонами. Плотность распределения заряда в такой системе равна , где - плотность электронного облака:

(10)

(Далее будем работать в системе .)

Здесь - волновая функция электрона в основном состоянии (процессами возбуждения атома и тормозным излучением будем пренебрегать).

Амплитуда рассеяния в переднюю и заднюю полусферы в борновском приближении на такой мишени равна

(11)

где - введенный в (10) боровский радиус.

Теперь вычислим амплитуду , используя ее связь с амплитудой [2]:

(12)

Эти вычисления позволяют получить ответ в явном аналитическом виде. Мы их не приводим в силу громоздкости выражений. Численные результаты, представленные на рис. 2 и рис. 3, получены для отнормированных сечений :

(13)

Рис.2. Распределение в переднюю полусферу. Параметр равен: . Положение пика в распределении соответствует точке , что соответствует

Рис.3. Распределение в заднюю полусферу. Параметр равен: . Положение пика в распределении соответствует точке , что соответствует

Заключение

В этой статье перед нами стояла задача выяснить, отображает ли функция распределения по параметру известную пространственную структуру распределения зарядов, заданную априори. В результате работы мы получили, что функция распределения для передней полусферы обусловлена дифракцией частицы на электронном облаке. Это распределение имеет максимум при , что соответствует . Функция распределения для задней полусферы описывает рассеяние частицы на центре водородоподобного атома. Максимальное значение этого распределения достигается при значении , что соответствует . Более детальный анализ показывает, что при стремлении импульса налетающего электрона к бесконечности, положение пика в распределении стремиться к точке или . Пик в распределении уменьшается, расширяется и становится пологим. Таким образом, распределение по параметру вылета действительно отображает пространственную структуру мишени. Более детальный анализ предполагает вычисление моментов распределения , дисперсию распределения и т. д. Проведенный анализ показывает, что формализм группы может быть эффективно использован при изучении пространственной структуры области рождения частиц.

Работа выполнена при поддержке Аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы ( гг.)" (проект РНП.2.2.1.1/1483, 2.1.1/1539).

список ЛИТЕРАТУРы

1. , // "Введение в теорию квантовых полей" - Москва-Наука-1984, 4-е изд.

2.  , , // "Пространственное описание области рождения детектируемой частицы в упругих и квазиупругих процессах на группе "

3.  // "Высшие трансцендентные функции" – Москва-Наука-1973, т1.

4.  // ДАН-1943, 106, 39 N7-C.279-283.