Задачи по теории вероятностей (стр. 3 )

3.19.  Из восемнадцати стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8; семь – с вероятностью 0,7; четыре - с вероятностью 0,6 и два – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

3.20.  Стрелки A и B поочерёдно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, и затем при последующих выстрелах эти вероятности попадания у каждого стрелка увеличиваются на 0,05. Какова вероятность того, что первым произвёл выстрел стрелок A, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень?

3.21.  Вероятности попадания при одном выстреле для трёх стрелков равны соответственно . При одновременном выстреле всех трёх стрелков имелось два попадания в мишень. Определить вероятности того, что промахнулся: а) первый, б) второй, в) третий стрелок.

3.22.  Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который в результате был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. Эти вероятности должны помочь установить долю каждого стрелка при делении трофея.

3.23.  Из двух близнецов первый – мальчик. Какова вероятность того, что другой тоже мальчик, если среди близнецов вероятности рождения двух мальчиков и двух девочек соответственно равны a и b, а вероятности рождения разнополых близнецов в любой последовательности – одинаковы?

3.24.  В колледже n студентов, из которых студентов учится k-тый год, то есть: . Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше другого. Найти вероятность того, что этот студент учится третий год?

3.25.  Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что при приёме искажаются в среднем сигналов «точка» и сигналов «тире». То есть, в результате искажения сигнал «точка» принимается как сигнал «тире» и - наоборот. Известно, что в передаваемых сообщениях сигналы «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят без искажения передаваемый сигнал, если: а) принят сигнал «точка»; б) принят сигнал «тире».

3.26.  Урна содержала m белых и n чёрных шаров. Но один шар, цвет которого неизвестен, утерян. 1) При испытании состава урны наугад извлекли один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что был утерян белый шар? 2) При испытании состава урны одновременно извлекли а белых и b черных шаров . Какова вероятность того, что был утерян белый шар?

3.27.  Урна содержит два шара, про цвет каждого из них известно, что он с равными вероятностями может быть и белым, и чёрным. В урну добавляют два белых шара, затем наудачу извлекают два шара, которые оказались белого цвета. Какова вероятность того, что в урне остались шары чёрного цвета?

3.28.  В первой урне белых и чёрных шаров, во второй - белых и чёрных шаров и в третьей - белых и чёрных шаров. Из первой урны наудачу берут один шар и перекладывают его во вторую. Затем перекладывают один шар из второй урны в третью и, наконец, из третьей урны перекладывают один шар в первую. Какова вероятность того, что: а) составы всех урн не изменится; б) состав первой урны не изменится?

3.29.  Брошены три игральных кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпало по шесть очков, если известно, что, по крайней мере, на одной кости выпало шесть очков.

3.30.  В первой урне находятся 1 белый и 9 чёрных шаров, а во второй – 1 чёрный и 4 белых. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что вынутый из третьей урны шар окажется белым.

3.31.  При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулёзом у больного этой болезнью равна . Вероятность признать здорового человека больным равна . Пусть доля больных туберкулёзом по отношению ко всему населению равна . По результатам обследования человек был признан больным. Какова вероятность того, что диагноз ошибочен, то есть того, что в действительности этот человек здоров?

3.32.  На сборку поступают детали с двух станков-автоматов. Первый станок даёт в среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. Найти вероятность того, что взятая слесарем-сборщиком деталь будет «хорошей», если с первого станка-автомата поступило 2000 штук деталей, а со второго – 3000 штук.

3.33.  Имеются три урны, причём в k-той урне белых и чёрных шаров . Из двух наудачу выбранных урн взяли по одному шару. Определить вероятность того, что это будут шары разных цветов.

3.34.  В кошельке имеются шесть монет достоинствами в 10 и 50 копеек. Наудачу извлекли две монеты, оказавшиеся пятидесятикопеечными. Определить вероятность того, что в кошельке было поровну десяти - и пятидесятикопеечных монет, если все предположения о первоначальном распределении количеств монет этих достоинств – равновозможные. Как изменится эта вероятность, если считать, что первоначально любая из шести монет с равной вероятностью могла быть или достоинством в 10 копеек, или достоинством в 50 копеек?

3.35.  Имеются десять карточек, на которых написаны числа 3,3,3,4,4,5,5,6,6,6. Наудачу одна за другой извлекаются две карточки. Число, написанное на первой карточке, берётся в качестве числителя, а число, написанное на второй карточке, - в качестве знаменателя дроби. Найти вероятность того, что полученная дробь будет правильной, то есть – её числитель будет меньше знаменателя.

3.36.  В двух ящиках находятся по десять деталей первого и второго сортов. В первом ящике две второсортных детали, а во втором – три. Из выбранного наудачу ящика взяли две детали, оказавшиеся разных сортов. Из какого ящика вероятнее всего проводилось извлечение?

3.37.  Первое орудие артиллерийской батареи попадает в цель с вероятностью 0,3, два других орудия в эту же цель попадают с одинаковыми вероятностями – 0,2. Для поражения цели достаточно двух попаданий. Орудия одновременно произвели по одному выстрелу, в результате чего цель была поражена. Определить вероятность того, что первое орудие попало в цель.

3.38.  В каждой из трёх партий находится 30 деталей. Третья часть деталей одной из этих партий является второсортной, остальные делали в партиях – первого сорта. 1) Деталь, взятая наудачу из одной из партий, оказалась первосортной. Определить вероятность того, что эта деталь была взята из партии имеющей второсортные детали. 2) Первая деталь, после проверки её качества, была возвращена обратно. Вторая деталь, взятая наудачу из этой же партии, так же оказалась первосортной. Какова вероятность того, что извлечения проводились из партии имеющей второсортные детали? 3) Вторую деталь, после проверки её качества, возвратили обратно. Из этой же партии взяли снова наудачу деталь. Эта третья деталь так же оказалась первосортной. Какова теперь вероятность того, что все три извлечения проводились из партии, имеющей второсортные детали? Сравнить полученные вероятности с аналогичными вероятностями, вычисленными при условиях, что две, три детали берутся одновременно. Проверяется их качество и все они оказываются первосортными. Как объяснить полученные результаты?

3.39.  В первой урне общего числа шаров составляют шары белого цвета. Остальные шары – чёрного цвета. Во второй урне, наоборот, число шаров белого цвета составляет общего числа шаров. Остальные шары в этой урне – чёрные. Игрок наудачу выбирает урну и производит извлечения из неё по одному шару, возвращая каждый раз шар обратно после фиксирования его цвета. Известно, что в каждом из сделанных k извлечений появлялся только шар белого цвета. Как изменяются в связи с появлениями каждый раз шара белого цвета предположения игрока о том, что он проводит извлечения: а) из первой урны; б) из второй урны?

3.40.  Получена партия из восьми изделий одного образца. Все предположения о количестве бракованных изделий в этой партии равновозможные. По данным проверки качества половины партии три изделия оказались технически исправными, а одно – бракованным. Какова вероятность того, что при проверке качества трёх последующих изделий одно окажется исправным, а два окажутся бракованными?

Ответы

3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. .

3.5. . 3.6. а); б).

3.7. а) ; б) .

3.8. .

3.9. . 3.10. .

3.11. .

3.12. . а) ; б). 3.13. .

3.14. .

3.15. Если k – количество переложенных монет достоинством в 50 копеек, то ; .

3.16. . 3.17. Вероятность взять «хороший» билет не зависит от номера экзаменующегося в списке студентов и во всех случаях равна для него: .

3.18. Пусть: случайное событие A – «после остановки в салоне такси - n пассажиров»; случайное событие B – «после остановки в салоне такси - n-1 пассажир». Сделаем четыре гипотезы: «на остановке из такси вышло k человек», . Тогда:

вышло 0 человек , ;

вышел 1 человек , ;

вышли 2 человека , ;

вышли 3 человека , ;

По формуле полной вероятности получаем: ; . 3.19.

3.20. . 3.21. а) ; б) ; в). 3.22. , . 3.23. .

3.24. . 3.25. Обозначим:

; . Тогда: .

3.26. 1) ; 2) .

3.27.. 3.28. а) ; б).

3.29. . 3.30. .

3.31. . 3.32. 0,9986.

3.33. .

3.34. 3.35..

3.36. Так как , то вероятнее всего, что извлечение проводилось из второго ящика.

3.37. .

3.38. ;

б) . Извлечь одновременно две, три первосортных детали из партии, имеющей второсортные детали, менее вероятно, чем извлечь две, три первосортные детали, предварительно возвращая предыдущую обратно, так как в этом случае одна и та же деталь может быть извлечена дважды, трижды.

3.39. а) б) где событие - «при k-том извлечении появился шар белого цвета». 3.40. Случайное событие A – «среди первых четырёх проверенных изделий три – исправны и одно – бракованное». . Случайное событие B – «среди следующих трёх проверенных изделий одно – исправное и два – бракованные». .

§4. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

4.1. Определить вероятность того, что в номере первой встретившейся автомашины: а) имеется одна цифра пять; б) имеются две цифры пять; в) нет цифры пять; г) есть хотя бы одна цифра пять. Известно, что все номера трёхзначные, неповторяющиеся и равновозможные.

4.2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трёх, но и не более восьми.

4.3. Имеется таблица двузначных чисел от 00 до 99. Из этой таблицы наудачу выписываются 200 чисел. Какова вероятность того, что среди выписанных чисел число 33 встретится а) три раза; б) четыре раза; в) не более четырёх раз?

4.4. Производятся три выстрела по некоторой цели. Вероятности попадания в цель изменяются в соответствии с номерами выстрелов: . Найти распределение вероятностей возможного числа попаданий.

4.5. Монета бросается m раз. Найти вероятность того, что «герб» появится не менее чем k, но и не более чем l раз, .

4.6. Монета бросается девять раз. Определить вероятность того, что число выпадений «герба» будет нечётным. Обобщить задачу для случая, когда количество бросаний нечётное число.

4.7. Монета бросается десять раз. Определить вероятность того, что число выпадений «герба» будет нечётным. Обобщить задачу для случая, когда количество бросаний чётное число.

4.8. Что вероятнее: а) выиграть у равносильного противника три партии из четырёх, или выиграть пять партий из восьми; б) выиграть не менее трёх партий из четырёх, или выиграть не менее пяти партий из восьми?

4.9. Имеется n лунок, в которые случайным образом разбрасываются m шариков. Найти вероятность того, что в заранее отмеченную лунку попадёт ровно k шариков.

4.10. Вероятность попадания в цель бомбы, сброшенной с самолёта, равна . Производится серии из десяти одиночных бомбометаний. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель и вероятность этого числа попаданий.

4.11. Орудия артиллерийской батареи сделали четырнадцать выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при одном выстреле равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; б) вероятность полного разрушения объекта, если для этого требуется не менее четырёх попаданий.

4.12. Вероятность наступления некоторого события A в каждом из n=6 независимых испытаний равна p. а) Какова вероятность того, что событие наступит только последовательно (подряд) три раза? б) Какова вероятность того, что событие A будет наступать только последовательными сериями по два раза?

4.13. Три игральных кости подбрасываются пять раз. Найти вероятность того, что а) два раза выпадут три единицы; б) три раза выпадут две единицы.

4.14. Найти вероятность того, что при проведении 2n испытаний появятся n+m успехов, при этом все испытания с чётными номерами закончатся успехом. Вероятность успеха в одном испытании равна p, а вероятность неудачи – q.

4.15. Монета брошена n раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет хотя бы один раз.

4.16. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем P=0,9 быть уверенным, что герб выпадет хотя бы один раз.

4.17. Получена партия приборов для проведения испытаний на надёжность. Вероятность отказа прибора при испытании равна . Сколько приборов нужно подвергнуть испытаниям, чтобы с вероятностью не менее, чем: а) ; б) ; в) получить хотя бы один отказ?

4.18. Вероятность попасть при одном выстреле в «десятку» для данного стрелка равна p. Сколько нужно произвести выстрелов этому стрелку, чтобы с уверенностью не менее чем P утверждать, что у него будет хотя бы одно попадание в «десятку»?

4.19. За один цикл работы станок-автомат изготовляет 15 деталей. За какое количество циклов работы вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее чем 0.9, если вероятность изготовления бракованной детали равна 0.01?

4.20. В одном из матчей на первенство мира по шахматам был установлен следующий регламент. За выигрыш партии участник получал одно очко, за проигрыш – ноль очков, ничьи не учитывались. Победителем матча назывался тот участник, который первым набрал шесть очков. Считая результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что проигравший участник матча наберёт k очков .

4.21. В урне находятся три шара: чёрного, белого и красного цветов. Производится пять извлечений по одному шару, причём каждый раз после фиксирования цвета шар возвращается обратно. Какова вероятность того, что шары чёрного и белого цветов были извлечены: а) по два раза каждый; б) не менее, чем по два раза каждый?

4.22. Мишень состоит из центрального круга и двух колец, образованных концентрическими окружностями. Вероятность попадания при одном выстреле в круг равна , вероятности попадания в первое, внутреннее и во второе, внешнее кольца равны соответственно и , . Стрелок произвёл шесть выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что стрелок три раза попал в круг, два раза – во внутреннее кольцо и один раз – во внешнее кольцо.

4.23. Монета бросается до тех пор, пока «герб» не выпадет пять раз. Что более вероятно: монета будет бросаться восемь раз или десять раз?

4.24. Игральная кость бросается до тех пор, пока число очков кратное трём не появится k раз. Определить вероятность того, что будет сделано n бросаний.

4.25. Для победы в волейбольном состязании команде необходимо выиграть три партии. Команды – неравносильные. Определить вероятность выигрыша одной партии для сильной команды, если для уравнивания шансов на победу она должна дать «фору» слабой команде: а) два очка; б) одно очко.

4.26. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске у них соответственно равны: и . Найти вероятность того, что: а) у них будет равное количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго; в) у второго баскетболиста будет больше попаданий, чем у первого.

4.27. Вероятность забросить мяч в корзину при одном броске для данного баскетболиста равна 0,4. Произведено десять бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

4.28. Игральная кость брошена шесть раз. Найти вероятность того, что на верхней грани появятся одна, две, три, четыре, пять и шесть точек по одному разу.

4.29. Матч между двумя шахматистами проводится на следующих условиях: 1) учитываются только результативные партии; 2) победителем считается тот, кто первым наберёт четыре очка при условии, что у его противника при этом будет не более двух очков; 3) если у обоих игроков будет по три очка, то победителем считается тот, кто первым наберёт пять очков. Определить вероятность победы в матче для каждого из игроков, если вероятности выигрыша любой партии у них относятся как три к двум.

4.30. Для прикуривания гражданин пользовался двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку. Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Какова вероятность того, что во второй коробке при этом осталось k спичек, если вначале в каждой коробке было по n спичек? (Задача Банаха).

Ответы

4.1. а); б); в); г). 4.2. а) ; б).

4.3. а) ; б) ; в) .

4.4. Обозначим - случайное событие: «в результате трёх выстрелов по цели имелось k попаданий. .

4.5. . 4.6. . 4.7. . 4.8. а); б). 4.9. .

4.10. , , .

4.11. , . Обозначим случайное событие B – «объект полностью разрушен», тогда .

4.12. а); б) . 4.13. а) ;

б.

4.15. . 4.16.

4.17. а) ; б) ;

в) ; 4.18. . 4.19. Если n общее количество изготовленных деталей, то необходимое количество циклов определяем из неравенства: , то есть необходимо 16 циклов. 4.20. Пусть p и q – вероятности выигрыша одной партии для первого и второго игрока, соответственно. Обозначим случайное событие - «матч выиграл первый игрок, а второй игрок набрал k очков». Ясно, что: . Аналогично, если случайное событие - «матч выиграл второй игрок, а первый игрок набрал k очков», то: . Обозначим случайное событие C - «к моменту окончания матча проигравший игрок набрал k очков». Ясно, что . Тогда: . 4.21. а) ; б). 4.22. . 4.23. . 4.24. , где: . 4.25. Если p вероятность выигрыша одной партии для сильной команды, то а) ; б)p - решение уравнения: .

4.26. Обозначим случайное событие C – «у баскетболистов равные количества попаданий» и случайные события D – «у первого баскетболиста больше попаданий, чем у второго» и E – «у второго баскетболиста больше попаданий, чем у первого». Тогда: ; и , где и - случайные события – «баскетболист попал k раз», соответственно первый и второй. Ясно, что . 4.27. Из двойного неравенства следует: . Соответствующая вероятность: . 4.28. .

4.29. Пусть случайное событие A- «в матче победил первый игрок». Выдвигаем две гипотезы: - «первый игрок на первом этапе матча набрал четыре очка» и - «игроки на первом этапе матча набрали по три очка ». В первом случае игрок может победить в матче со счётом 4:0, или 4:1, или 4:2. Следовательно: и .

Пусть на первом этапе матча счет будет равным - 3:3, вероятность этой гипотезы: . Тогда событие A осуществится, если после второго этапа счёт в матче будет 5:3 или 5:4, то есть: . Здесь и .

По формуле полной вероятности получаем:

.

Аналогично, считая и , для случайного события B- «в матче победил второй игрок» по формуле полной вероятности получаем: .

Ясно, что обязательно будет: . 4.30. Если в одной из коробок осталось k спичек, то гражданин пользовался коробками спичек для прикуривания 2n-k раз. Эти 2n-k использований коробков спичек мы можем рассматривать как проведение 2n-k повторных независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностями равными 0,5 достаётся любой из двух коробков. При этом один коробок доставался n раз, а другой коробок доставался n-k раз. Тогда .

§5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРЯТНОСТИ

5.1.  В круг, длина радиуса которого равна r, наудачу бросается точка. Возможность попадания точки в любую область круга не зависит от места положения области в круге и пропорциональна лишь площади этой области. Какова вероятность того, что расстояние от точки до центра круга будет меньше, чем половина длины радиуса?

5.2.  В круг, длина радиуса которого равна r, наудачу бросается точка. Возможность попадания точки в любую область круга не зависит от места положения области в круге и пропорциональна лишь площади этой области. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг квадрата?

5.3.  Прямоугольная решётка состоит из прутьев цилиндрической формы, радиус которых равен r. Расстояния между осями прутьев равны a и b. В решётку наудачу бросается шарик диаметром d. Траектория полёта шарика перпендикулярна плоскости решётки. Определить вероятность того, что шарик не заденет прутьев решётки.

5.4.  На плоскости проведены параллельные прямые, расстояния между которыми попеременно равны 1,5см и 8см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на плоскость круг радиуса 2,5см не пересечёт ни одной линии.

5.5.  В круге радиуса длиною R параллельно заданному направлению проводятся хорды. Какова вероятность того, что длина наудачу проведённой хорды будет не более чем R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром перпендикулярным заданному направлению?

5.6.  Из наудачу выбранной на полуокружности точки на диаметр опускается перпендикуляр. Какова вероятность того, что длина этого перпендикуляра будет меньше, чем половина длины радиуса?

5.7.  В круге радиуса r наугад выбирается точка. Из этой точки, перпендикулярно отрезку, соединяющему точку с центром круга, проводится хорда. Какова вероятность того, что длина этой хорды не превосходит r?

5.8.  Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится экран длиной 2h, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину экрана с центром диска, перпендикулярна этому экрану. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы в экран, если расстояние между ним и центром диска равно l.

5.9.  На отрезке длиною l наудачу выбраны две точки, в результате чего этот отрезок оказался разделённым на три части. Определить вероятность того, что из трёх получившихся частей можно построить треугольник.

5.10.  На отрезке длиною l наудачу выбраны две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше kl, где ?

5.11.  На отрезке AB длиною l наудачу поставлены две точки L и M. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M, чем к точке A.

5.12.  На отрезке длиною l наудачу поставлены две точки. Определить вероятность того, что длины каждого из трёх получившихся отрезков не превосходит заданной величины a, где .

5.13.  В квадрате, вершины которого имеют координаты: и , ставится наудачу точка M, координаты которой . Определить вероятность случайного события .

5.14.  В круге радиуса r с центром в начале координат наудачу ставится точка M. Пусть - её координаты. Определить вероятность случайного события .

5.15.  Около одной из двух окружностей, имеющих одинаковые радиусы, описан правильный треугольник. В другую окружность правильный треугольник - вписан. Что более вероятно: попасть наудачу брошенной точкой в часть треугольника, лежащую вне первой вписанной окружности, или в часть круга ограниченного второй окружностью и лежащую вне вписанного треугольника?

5.16.  Два товарища договорились о встрече в течение промежутка времени T. Тот, кто первым придёт на место встречи ждёт товарища не более t минут. Определить вероятность того, что встреча состоится, если время прихода на место встречи каждого из них равновозможно в течение договоренного промежутка времени T.

5.17.  Два корабля должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих кораблей независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из кораблей придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого корабля у причала один час, а второго – два часа.

5.18.  На окружности радиуса R наудачу поставлены три точки. Какова вероятность того, что получившийся треугольник будет остроугольным?

5.19.  Из множества положительных чисел, которые не превосходят единицу, наудачу выбираются два числа. Определить вероятность того, что сумма квадратов этих чисел не превосходит число 0,75.

5.20.  Начало прямоугольной системы координат находится в центре круга единичного радиуса. Определить вероятность того, что сумма абсолютных значений координат наудачу выбранной внутри круга точки не превосходит длины радиуса круга.

5.21.  Начало прямоугольной системы координат находится в центре шара единичного радиуса. Определить вероятность того, что сумма абсолютных значений координат наудачу выбранной внутри шара точки не превосходит длины радиуса шара.

5.22.  Какова вероятность того, что из трёх наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит l, можно построить треугольник?

5.23.  Какова вероятность того, что сумма длин трёх наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит l, будет больше l?

5.24.  Стержень, длина которого равна l, ломается на части. а) Определить вероятность того, что, если точек излома – две, то часть стержня, оказавшаяся между точками излома, будет иметь длину не более . б) Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня, оказавшаяся между точками излома, будет иметь длину не более , если точек излома - три. Точки излома равновозможны в любом месте стержня.

5.25.  На сфере произвольно выбираются две точки A и B. Через эти точки проводится окружность, центр которой совпадает с центром сферы. Какова вероятность того, что дуга AB этой окружности стягивает центральный угол меньший, чем , .

5.26.  В шаре, длина радиуса которого равна R, наудачу выбирается точка. Определить вероятность того, что эта точка окажется внутри куба вписанного в этот шар.

5.27.  Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма будет меньше единицы, а произведение – больше ?

5.28.  Определить вероятность того, что корни квадратного уравнения: будут вещественными, если значения коэффициентов уравнения равновозможны в прямоугольнике: . Какова вероятность того, что при указанных условиях корни этого уравнения будут положительными?

5.29.  Из множества чисел наудачу выбираются два числа. Найти вероятность того, что сумма их квадратов будет меньше, чем .

5.30.  На отрезке наудачу выбираются две точки: и . Найти вероятность случайного события .

5.31.  Плоскость разграфлена параллельными прямыми линиями, отстоящими друг от друга на расстоянии L. Найти вероятность того, что наудачу брошенная на плоскость игла, длина которой равна l, пересечёт какую-нибудь линию. (Задача Бюффона).

Ответы

5.1. . 5.2. . 5.3. . 5.4. . 5.5. . 5.6. . 5.7. . 5.8. . 5.9. . 5.10. . 5.11. . 5.12. , если . , если .

5.13. . 5.14. . 5.15. 5.16. . 5.17. . 5.18. . 5.19. . 5.20. . 5.21. . 5.22. . 5.23. . 5.24. а) б) . 5.25. . 5.26. . 5.27. .

5.28. Корни уравнения будут вещественными, если . Если , то . Если , то . Вещественные корни уравнения будут положительными, если и . Если , то . Если , то . 5.29. .

5.30. .

5.31. Положение иглы на плоскости однозначно определяется расстоянием от одной из параллельных линий до её левого конца и углом , который образует игла с параллельными линиями. Областью возможных значений координат, определяющих положение иглы, будет область: . Мера этой области будет равна:.

Обозначим случайное событие A – «Брошенная наудачу игла пересекла одну из параллельных линий». Областью координат , благоприятствующих наступлению этого события, будут координаты, удовлетворяющие условию:

Мера области, благоприятствующей наступлению события A, равна значению определённого интеграла: .

Окончательно получаем: .