Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях (стр. 3 )

На рис. 20

В,

кОм,

мкФ,

мкФ.

В момент времени

замыкается ключ и емкость С2, заряженная до 50 В, подключается параллельно емкости С1.

Определить ток и напряжения uC1, uC2 при , t = 0.

Решение

До коммутации при

А,

В,

В.

В момент емкость С2 подключена параллельно емкости С1 и, следовательно,

Для расчета начального значения напряжения применим закон сохранения электрического заряда на параллельно включенных емкостях при , t = 0:

При заданных численных значениях емкостей получим

В,

А.

Самостоятельное решение студентами индивидуальных задач

Для электрических цепей (прил. 1) в соответствии с предложенным преподавателем вариантом преобразовать схему таким образом, чтобы в полученной цепи наблюдалась некорректная коммутация и для полученной схемы рассчитать токи в цепях и найти напряжение на реактивном элементе.

2.6. Практическое занятие № 5.

Расчет переходного процесса в цепях второго порядка

классическим методом

Цель: обобщить основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами классическим методом.

Порядок проведения занятия

1. Контроль знаний основных теоретических положений по расчету переходных процессов, изложенных на лекции и в учебниках [1–4].

2. Решение типовых задач совместно со студентами.

3. Самостоятельное решение каждым студентом индивидуальных задач.

4. Контроль за самостоятельной работой студентов.

5. Обсуждение наиболее сложных вопросов и разбор типичных ошибок.

Проверка знаний основных теоретических положений

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

1. Какая электрическая цепь является цепью второго порядка?

2. Приведите примеры электрических цепей первого, второго, третьего порядка.

3. Назовите основные этапы расчета переходных процессов в электрических цепях первого порядка.

4. В чем отличие расчета переходных процессов в цепях первого порядка от цепей второго порядка?

5. Какие методы нахождения корней характеристического уравнения вы знаете?

6. Запишите общий вид свободной составляющей тока или напряжения, если корни характеристического уравнения: а) равны и являются действительными числами; б) отличные один от другого действительные числа; в) комплексно сопряженные числа;

7. Как определить постоянную времени в цепях второго порядка?

Примеры для совместного решения со студентами типовых задач

Пример 5.1

Рассчитать напряжение на конденсаторе и ток в катушке в схеме, приведенной на рис. 21, при закорачивании сопротивления , если В, Ом, Ом, Ом, мГн, мкФ.

Решение

1. . Анализ цепи до коммутации:

А,

В.

2. Определение начальных условий.

По законам коммутации

А,

В.

Для послекоммутационной цепи составим уравнения по законам Кирхгофа:

Из уравнения (6), записанного для момента , определим напряжение на катушке, а, решая совместно уравнения (5) и (7) для момента коммутации, найдем ток через конденсатор:

В,

А.

Используя уравнения связи и , найдем скорости изменения тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе для момента времени Это будет являться необходимым условием для нахождения постоянных интегрирования:

А/с, (8)

В/с. (9)

3. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, составленного для цепи после замыкания ключа, может быть представлено в виде: или .

4. .Определение принужденной составляющей:

А,

В.

5. Определение свободной составляющей.

Составим характеристическое уравнение по методу входного сопротивления. Для этого замыкаем накоротко источник эдс и размыкаем ветвь, содержащую конденсатор.

Схема для написания характеристического уравнения приведена на рис. 22.

Рис. 22. Схема для написания характеристического уравнения в примере 5.1

Относительно разомкнутых зажимов определим сопротивление, заменяя элементы L на pL, С на 1/рС

После того как полученное уравнение приведем к общему знаменателю и числитель приравняем к нулю, уравнение примет вид:

или в приведенном виде

(10)

Подставим в уравнение (10) численные значения:

Решая квадратное уравнение, найдем его корни:

Процесс носит колебательной характер, затухающий по экспоненциальному закону, а свободные составляющие примут вид:

где коэффициент затухания; угловая частота собственных колебаний в контуре.

6. Определение постоянных интегрирования. Уравнения для определения свободных составляющих содержат по две постоянных интегрирования: – характеризует амплитуду искомой величины, – ее начальную фазу.

Для нахождения необходимо решить систему уравнений:

Запишем эти уравнения для момента времени , учитывая (8), получим:

Из уравнения (12) выразим , а затем (11) разделим на (12), получим

Подставляя в (11) значение , определим

Уравнение для , А, имеет вид:

Аналогично находятся – необходимо решить систему уравнений:

Для момента времени , учитывая, что В/с, получим:

Решая последнюю систему уравнений, найдем , Аu = –51,49 В.

Уравнение для , В, имеет вид:

Пример 5.2.

Найти начальные значения напряжения на катушках индуктивности после замыкания ключа (рис. 23), ток в катушке L1 при

, если: U0 = 100 B;
r1 = 20 Ом; r2 = 10 Ом, L = L1 = L2 = 0,1 Гн.

Решение

1. . Анализ цепи до коммутации

А,

Рис. 23. Расчетная схема для примера 5.2

2. Определение начальных условий.

По закону коммутации

А,

А.

Составим уравнения по законам Кирхгофа

Для момента коммутации из уравнения (13) найдем i(0). Подставляя найденное значение в (14) и (15), определим uL1(0) и uL2(0):

А,

В,

В.

Зная, что , найдем скорости изменения тока на катушках индуктивности для момента времени :

А/с, (16)

А/с. (17)

3. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, составленного для цепи после замыкания ключа, может быть представлено в виде:

4. . Определение принужденной составляющей:

А.

5. Определение свободной составляющей.

Составим характеристическое уравнение по методу входного сопротивления. Схема для написания характеристического уравнения приведена на рис. 24.

Само уравнение имеет вид

Рис. 24. Схема для написания характеристического уравнения примера 5.2

Далее приведем полученное уравнение к общему знаменателю и числитель приравняем к нулю:

Решая квадратное уравнение, найдем его корни:

с-1, с-1.

Следовательно, процесс носит апериодический характер, и свободная составляющая примет вид:

6. Определение постоянных интегрирования. Уравнение для определения свободной составляющей содержит две постоянных интегрирования, следовательно, для нахождения А1 и А2 решим систему уравнений:

Для момента времени , учитывая, что А/с, получим:

Решая систему уравнений, получим

Уравнение для , А, имеет вид:

Самостоятельное решение студентами индивидуальных задач

Для электрических цепей (прил. 1) в соответствии с предложенным преподавателем вариантом определить

3. Операторный метод расчета переходных процессов

3.1. Краткие теоретические сведения

Сущность операторного метода. Некоторая функция вещественной переменной t, удовлетворяющая условию Дирихле (на конечном промежутке времени функция должна иметь конечное число разрывов первого рода и должна быть периодической), в момент времени , сопоставляется с функцией комплексной переменой ( – комплексная переменная).

В данном случае функция вещественной переменной называется оригиналом, а функция комплексной переменной – изображением.

Переход от оригинала к изображению, и наоборот, осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа.

Математически можно записать, что функция является изображением функции , следующим образом:

или ,

а функция f(t) оригиналом F(p):

или .

Оригинал функции можно найти и с помощью теоремы разложения. Если изображение функции представлено в виде дроби , причем многочлены (относительно р) N(p) и M(p) удовлетворяют следующим условиям: степень N(p) ниже степени M(p), ак и bk – вещественные числа, а корни р1, р2, …, рn уравнения M(p) = 0 различны, то оригинал находим по формуле , где М`(рк) – значение производной при р = рк, N(рк) – значение числителя при р = рк.

В том случае, если один из корней равен нулю, то

М(0) и N(0) – значение знаменателя и числителя соответственно при рк = 0.

Если имеются корни кратностью mk, то оригинал вычисляется по формуле .

Кроме вышеперечисленных способов нахождения оригинала и изображения функции, их можно определить с помощью созданных программных продуктов, таких, например, как Mathcad или с помощью специальных таблиц, которые приводятся в справочниках по высшей математике или в учебных пособиях по ТОЭ [3, 9]. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу приводится и в данном издании (прил. 2).

При нахождении изображения (оригинала) сложной функции следует помнить, что переход от оригинала к изображению, и наоборот, осуществляется с помощью интегрального преобразования и поэтому:

Использование преобразований Лапласа при расчете переходных процессов в электрических цепях позволяет перейти от системы интегрально-дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитные процессы к системе алгебраических уравнений, что существенно упрощает процедуру нахождения искомых токов и напряжений в цепи.

Последовательность расчета переходных процессов операторным методом заключается в следующем.

1. Находят независимые начальные условия – ток на катушке индуктивности iL(0) и напряжение на конденсаторе uC(0) в момент коммутации.

2. Составляют операторную схему замещения. Помня при этом,

• что операторная схема сохраняет конфигурацию послекоммутацион- ной электрической цепи;

• активные сопротивления переносятся в операторную схему без изме- нения;

• индуктивность L заменяется элементом pL последовательно, с ним включается добавочная эдс, которая направлена по току. Величина добавочной эдс равна LiL(0);

• емкость С заменяется элементом , после которого последова- тельно включается добавочная эдс, равная и направленная против направления тока;

• эдс и токи заменяются их изображениями.

Если задача имеет нулевые независимые начальные условия uС(0)=0, iL(0)=0, то добавочные эдс в операторную схему не включаются.

3. Используя любой известный метод расчета электрических цепей (метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов и т. д.), определяют изображения токов I(p) для операторной схемы.

Законы Кирхгофа в операторной форме:

– алгебраическая сумма изображений токов в узле равна нулю:

– алгебраическая сумма изображений напряжений в замкнутом контуре равна нулю:

Проверкой правильности нахождения изображения токов служит выполнение следующих предельных соотношений:

– ,

– .

4. Изображение напряжения на любом из элементов цепи находим по закону Ома в операторной форме:

По формулам предельного соотношения можно проверить и правильность нахождения изображений напряжения.

5. От изображения токов I(p) и напряжений U(p) переходим к их оригиналам i(t) и u(t).

Операторный метод удобен при расчете сложных электрических цепей.

При применении этого метода можно пользоваться всеми методами расчета электрических цепей.

При ненулевых начальных условиях, пользуясь методом наложения, можно сначала решить задачу для нулевых начальных условий, а затем на полученные результаты наложить те результаты, которые получаются только от действия дополнительных источников энергии.

3.2. Практическое занятие № 6.

Расчет переходных процессов операторным методом.

Методика составления операторных схем замещения

Цель: приобрести навыки составления операторных схем замещения и нахождения изображений токов и напряжений на различных участках цепи.

Порядок проведения занятия

2. Решение типовых задач совместно со студентами.

3. Самостоятельное решение каждым студентом индивидуальных задач.

4. Контроль за самостоятельной работой студентов.

5. Обсуждение наиболее сложных вопросов и разбор типичных ошибок.

Проверка знаний основных теоретических положений

1. Назовите причины возникновения переходных процессов в электрических цепях.

2. Объясните суть операторного метода расчета переходных процессов.

3. Операторное изображение функции f(t) является функцией времени или функцией оператора р?

4. Сравните преимущества и недостатки классического и операторного методов расчета переходных процессов.

5. Сформулируйте законы Кирхгофа в операторной форме.

6. Назовите правила, по которым составляется операторная схема замещения.

Примеры для совместного решения со студентами типовых задач

Пример 6.1.

Найти операторное изображение эдс, если: а) Е = 200 В; б) е(t) =
= 200 sin(314 t + 600) В.

Решение

а) эдс является величиной постоянной, и согласно прил. 2, изображением константы А является функция . Тогда получим .

б) Для нахождения изображения функции е(t) = 200 sin(314 t + 600) воспользуемся данными прил. 2 и одним из свойств изображения

Пример 6.2.

Две параллельные ветви с параметрами E = 100 В, L = 0,1 Гн, r1 = r2 = r = = 10 Ом, С = 100 мкФ подключаются к источнику постоянной эдс Е (рис. 25). Необходимо составить операторную схему замещения, записать уравнения для нахождения изображений токов методами: непосредственного применения законов Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов. Найти изображение токов цепи. Ответить на вопрос, что изменится в операторной схеме, если данную цепь подключать к источнику синусоидальной эдс.

Решение

1. Составление операторной схемы замещения. Прежде чем составлять операторную схему, определим независимые начальные условия.

Рис. 25. Расчетная схема для примера 6.2

Две параллельные ветви, содержащие катушку индуктивности и конденсатор, подключаются к источнику эдс. В условии задачи не сказано, что конденсатор был предварительно заряжен, следовательно, ток в катушке индуктивности и напряжение на конденсаторе до коммутации равнялись нулю. Тогда согласно законам коммутации iL(0_) = iL(0) =
= 0 А и uC(0_) = uC(0) = 0 В.

Операторная схема сохраняет конфигурацию послекоммутационной электрической цепи. Следовательно, схема замещения будет состоять из трех ветвей. Первая ветвь содержит только источник постоянной эдс. Согласно прил. 2 изображение эдс будет равно отношению . Следуя правилам составления операторных схем замещения, активное сопротивление переносится без изменения, элемент L заменяется элементом pL, а элемент С на операторной схеме изображается как 1/pC. Так как начальные условия равны нулю, то в схеме замещения отсутствуют дополнительные источники эдс. Операторная схема замещения приведена на рис. 26.

Рис. 26. Операторная схема замещения для примера 6.2

При замене источника постоянной эдс на источник синусоидальной эдс в операторной схеме изменится только изображение эдс.

2. Уравнения по законам Кирхгофа.

Для операторной схемы замещения составляем уравнения по законам Кирхгофа. Операторная схема замещения содержит три ветви nв = 3, два узла nу = 2. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, nу – 1 = 2 – 1 = 1, по второму закону – nв – nу + 1 = 3 – 2 + 1 = 2.

Выберем положительные направления изображений токов и направления обхода двух независимых контуров I и II (рис. 26) и составим уравнения по законам Кирхгофа.

Уравнение для узла а: I(p) – Ic(p) – IL(p) = 0;

для контура I (r1 + pL)IL(p) + rI(p) = E/p;

для контура II (r2 + 1/pC)Ic(p) – (r1 + pL)IL(p) = 0.

3. Составление уравнений по методу контурных токов. Нахождение изображений токов.

Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно двум k = nв – nу + 1 = 3 – 2 + 1 = 2. Зададимся направлениями изображений контурных токов I1k(p), I2k(p) (рис. 26). Составим уравнения для первого и второго контуров: