О трех характерных периодах в движении Луны и их связи с известными Лунными неравенствами

История предвычисления движения Луны насчитывает тысячелетия. Уже первые исследователи обнаружили неравномерность ее хода и сделали попытки уравнять имеющиеся невязки введением периодических поправок. Так появились лунные неравенства. Главное из них – неравенство долготы Е[1]

Е = 6°15’,3 sin(l) + 1°18’,4 sin(2D-l) + 19’,0 sin(2l) (1)

где первый член – главное эллиптическое неравенство с периодом 27.55 сут;

второй - эвекция, имеющая, как сказано у , “небесно-механическое происхождение” и период 31.85 сут;

третий - тоже эллиптическое неравенство, с периодом равным по-видимому 13,78сут.

Эта формула получила свое развитие в радиус серии Шапрон-Тузе[2]:

R(l, D)=385cos(lcos(2D-lcos (2D) -570 cos(2l) + … км (2)

где l - средняя аномалия Луны, D-средняя элонгация Луны от Солнца.

Закон изменения геоцентрического расстояния Земля-Луна можно получить на основе данных с сайта Лаборатории реактивного движения NASA[3]. Зависимость расстояния от времени имеет вид биений с несимметричной глубиной модуляции вверху и внизу (Рис.1).

Рис.1.

В идеале подобный вид функции получается при наложении двух близких по частоте гармоник и третьей с частотой, равной сумме их частот (Рис.2).

Рис. 2.

Разложение в ряд Фурье функции, изображенной на Рис. 1 позволяет выделить три основные гармоники (Рис. 3). Это косинусоиды с периодом в T1=27.5 сут, T2=31.8 сут и T3=14.8 сут. Соответствующие им частоты – ω1=0.228 рад/сут, ω2=0.198 рад/сут и ω3=0.425 рад/сут. Нетрудно заметить, что сумма первых двух лишь на 0.001 отличается от третьей. Также интересно отметить, что отношение двух первых гармоник с точностью до 0.001 равно 3½ / 2.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Рис.3.

В первом приближении кривую, изображенную на Рис. 1 можно аппроксимировать следующей зависимостью:

R*(t)=R0 + A1cos(ω1t) + A2cos(ω2t) - A3cos(ω3t) (3)

где А1 : А2 :А3 = 1 : 0.18 : 0.13;

ω2 / ω1 = 3½ / 2;

ω3 = ω1+ ω2

Критериями точности аппроксимации будем считать максимальное и среднее отклонение массива данных от аналитической кривой (Рис.4, часть расчетного периода). Расчет средствами MS Excel позволил найти амплитуды и частоты трех основных гармоник разложения функции R(t) расстояния Земля –Луна (Табл. 1.).

Рис.4

Таблица 1.

ω

T

A

1

0,22803

27,55455

21000

T1 –аномалистический период

2

0,19749

31,81491

3696

Т2- период эвекции

3

0,42554

14,76530

2961

Т3 – половина синодического месяца

ω1+ ω2

0,42552

14,76593

Сумма двух частот равна удвоенной синодической

2T3

29,5306

Синодический месяц

ω2/ω1

0,866089

31/2/2

0,866025

Разность исходной и аппроксимирующей функции имеет когерентный вид (Рис. 5). Среднее отклонение на промежутке в 7670 сут равно 2180 км, а максимальное не превышает радиуса Земли и составляет 6359 км. R0=385000 км.

Интересно, что сумма частот аномалистического и эвекционного движения почти в точности равна удвоенной синодической частоте, а их удвоенное отношение рано корню квадратному из трех.

Рис. 5.

Следует обратить внимание на знак минус перед третьим косинусом в формуле (3). Его можно трактовать как следствие того, что Луна совершает вынужденные колебания (вращение является колебанием одновременно в двух плоскостях) около своего потенциального минимума под действием разнонаправленных сил. Иными словами, наряду с силами притяжения, изменяющимися от минимума до максимума, но не изменяющими своего направления, возможно, существует сила отталкивания.

Само же наличие трех частот можно объяснить нелинейностью колебания Луны относительно центра ее притяжения, а также колебанием самого центра притяжения, как это происходит в модели маятника с колеблющимся подвесом.

[1]   ЭТЮДЫ ПО ИСТОРИИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ / Наука, Москва, 1975, http://naturalhistory. *****/Person/Lib/Idelson/Index. htm#Оглавление

[2]  В. Г. Турышев, JPL NASA «Лазерная локация Луны и проверка общей теории относительности», Проблемы современной астрометрии, Звенигород 2007, доклад конференции

[3] http://ssd. jpl. nasa. gov/horizons. cgi