Предел функции

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Математика»

РПК «Политехник»

Волгоград

2008

УДК 51

П 71

Предел функции: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 34 с.

Рассматривается вычисление пределов числовых последовательностей и функций непрерывного аргумента, использование формул двух замечательных пределов и бесконечно малых функций при вычислении пределов. Дается понятие непрерывности функций, приведена классификация точек разрыва. Содержатся примеры решения задач и задания для самостоятельной работы.

Предназначены студентам СПО специальностей 080110.51 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», 080501.51 «Менеджмент (по отраслям)», 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)», 140212.51 «Электроснабжение (по отраслям)».

Библиогр.: 2 назв.

Рецензент:

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Составитель: Иван Николаевич Рыльцев

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика»

Под редакцией автора

Темплан 2008 г., поз. № 44К.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2,13. Усл. авт. л. 2,0.

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

© Волгоградский
	государственный
	технический
	университет, 2008

ВВЕДЕНИЕ

Предел функции – одно из основных понятий математики. С ним связаны основные понятия математического анализа: непрерывность, производная, дифференциал, интеграл, ряды.

Бурное развитие производства, техники и естествознания в XVII-XVIII веках потребовало создания математического аппарата. Открытие дифференциального и интегрального исчислений принадлежат Ньютону () и Лейбницу ().

При изучении предела функции следует уяснить: определение, методы решений, ранее изученный материал, который применяется при нахождении предела функции.

В методических указаниях рассматриваются основные методы нахождения предела функции, два замечательных предела, эквивалентности.

Методические указания содержат примеры решения типовых задач по теме «Предел функции». Каждому типу задач отведен отдельный пункт, план решения с необходимыми теоретическими пояснениями и решение конкретного примера. Кроме того, в каждый пункт включены задачи для аудиторных и домашних самостоятельных работ.

Практическое занятие 1

Тема: Предел числовой последовательности.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)» -2 часа;

Цель занятия: Научить студентов вычислять пределы числовых последовательностей.

Порядок проведения:

1.Повторить теоретический материал;

2.Разобрать предложенные примеры;

3.Выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

4.Ответить на контрольные вопросы.

Студент должен знать:

- основные методы вычисления пределов числовых последовательностей;

- формулы, применяемые для вычисления пределов числовых последовательностей.

Студент должен уметь:

- вычислять простейшие пределы числовых последовательностей.

Число а называется пределом последовательности при , , если для всякого существует такое число , что для всех справедливо неравенство .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Последовательность называется бесконечно малой, если и бесконечно большой, если .

Если последовательности и сходящиеся, то:

1)  ;

2)  ;

3)  .

Если , то .

Сумма n членов арифметической прогрессии:

, где .

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

, где .

Указание 1

1.  Дан общий член последовательности :

Написать пять первых членов этой последовательности.

Решение. Положив последовательно в общем члене , получаем

;

;

;

;

.

2.  Зная несколько первых членов последовательности, написать одно из возможных выражений для общего члена:

Решение. Заметим, что числитель каждого из заданных членов последовательности равен квадрату номера этого члена плюс единица, т. е. . Знаменатель же образует арифметическую прогрессию 3, 8, 13, 18,… с первым членом и разностью . Следовательно, , поэтому .

3.  Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что , если .

Решение. Для любого попробуем найти такое натуральное число , что для всякого натурального выполнялось неравенство .

Для этого найдем абсолютную величину разности

.

Значит, неравенство выполняется, если выполняется, откуда . Поэтому в качестве можно взять целую часть числа , т. е. .

4.  Найти , если .

Решение. , .

5.  Найти , если

Решение. Вспомним, что

.

Поэтому ,

.

6.  Найти , если .

Решение. при , так как второй множитель имеет положительный предел.

7.  Найти , если .

Решение.

, значит .

Задание

1.  Пользуясь определением предела последовательности, доказать что:

а)  , если ;

б)  , если .

2.  Найти , если:

а)	Отв.
б)	Отв. 0
в)	Отв.
г)	Отв.
д) , ,	Отв.
е)	Отв.
ж)	Отв.
з)	Отв. 1

Контрольные вопросы

1.  Определение предела последовательности.

2.  Какая последовательность называется сходящейся?

3.  Какая последовательность называется бесконечно малой, а какая бесконечно большой?

4.  Теоремы о пределах последовательностей.

5.  Признаки существования предела последовательности.

6.  Методы решения задач на нахождение пределов последовательностей.

7.  Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Практическое занятие 2

Тема: Бесконечно малые функции.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)» -2 часа;

Цель занятия: Научить студентов применять бесконечно малые функции при решении задач.

Порядок проведения:

1.  Повторить теоретический материал;

2.  Разобрать предложенные примеры;

3.  Выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

4.  Ответить на контрольные вопросы.

Студент должен знать:

- основные методы решения задач на бесконечно малые функции.

Студент должен уметь:

- применять эквивалентные бесконечно малые функции при решении задач;

- решать задачи на применение бесконечно малых функций.

Функция называется бесконечно малой при , если . Аналогично определяется бесконечно малая при .

Функция называется бесконечно большой при , если . Аналогично определяется бесконечно большая при . Величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой.

Свойства бесконечно малых функций

1. Сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых функций при также являются бесконечно малыми при .

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.

Пусть функции и являются бесконечно малыми при , если , где - некоторое конечное число, отличное от нуля, то функции и называются бесконечно малыми одного порядка.

Если , то функции и называются эквивалентными, запись ~.

Важнейшие эквивалентности при :

1. ~

2. ~

3. ~

4. ~

5. ~

6. ~

7. ~

8. ~

9. ~

10. ~

11. ~

Указание 1

1.Доказать, что функция при является бесконечно малой.

Решение. Достаточно вычислить предел .

2.Доказать, что функция при является бесконечно малой.

Решение. Во-первых, функция есть бесконечно малая при ; действительно, .

Во-вторых, функция при ограничена: .

Следовательно, заданная функция представляет собой произведение ограниченной функции на бесконечно малую . Значит, - бесконечно малая при .

3.Сравнить с бесконечно малой бесконечно малую функцию при .

Решение. Имеем .

Следовательно является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с .

4.Определить порядок малости величины относительно бесконечно малой величины , если .

Решение. . Отсюда .

Следовательно бесконечно малая того же порядка, что и , т. е. второго порядка относительно .

5.Доказать, что бесконечно малые и (при ) несравнимы между собой, т. е. предел их отношения не существует.

Решение. В самом деле, не существует. Значит эти бесконечно малые функции не сравнимы.

6.Заменить бесконечно малую функцию эквивалентной, если .

Решение. Заметим, что сумма двух бесконечно малых и разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка. имеет порядок малости 1, - порядок малости 3, значит ~~.

7.С помощью принципа замены эквивалентных вычислить предел:

.

Решение. Имеем ~, ~. Поэтому .

8.С помощью принципа замены эквивалентных вычислить предел .

Решение. Из таблицы эквивалентности бесконечно малых функций устанавливаем: ~, ~~.

.

Задание

1.Доказать, что функция при является бесконечно малой.

2.Найти . Ответ: 0

3.Сравнить с бесконечно малой бесконечно малую функцию при . Ответ: низший порядок.

4.Пусть . Определить порядки следующих бесконечно малых функций относительно :

а)	Ответ: 4-го порядка малости
б)	Ответ: 3-го порядка малости
в)	Ответ: 1-го порядка малости
г)	Ответ: 1-го порядка малости
д)	Ответ: 2-го порядка малости

5.С помощью принципа замены эквивалентных вычислить пределы:

а)	Ответ: 4
б)	Ответ: 3
в)	Ответ:
г)	Ответ: 1

Контрольные вопросы

1. Определение бесконечно малой функции.

2. Свойства бесконечно малой функции.

3. Определение бесконечно малой одного порядка.

4. Какие функции эквиваленты?

5. Какая функция называется бесконечно малой высшего порядка?

6. Какая функция называется бесконечно малой n-го порядка?

7. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Вычисление пределов

Указание 1

Вычислить:

1. 

.

2. 

.

3.  .

4.  .

5.  .

6. 

.

7. 

.

8. 

,

где - сумма квадратов натурального ряда чисел.

9.  .

10. 

.

Задание №1

Вычислить пределы:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7.  .

8.  .

9.  .

10.  .

11.  .

12.  .

13.  .

14.  .

15.  .

16.  .

17.  .

18.  .

19.  .

20.  .

21.  .

22.  .

23.  .

24.  .

25.  .

26.  .

27.  .

28.  .

29.  .

30.  .

Задание №2

Вычислить пределы:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7.  .

8.  .

9.  .

10.  .

11.  .

12.  .

13.  .

14.  .

15.  .

Задание №3

Вычислить пределы:

1.  .

2.  .

3.  .

4. 

5. 

6.  .

7.  .

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. .

Практическое занятие 3

Тема: Два замечательный предела.

Продолжительность занятия:

специальность 080110 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» -2 часа;

специальность 080501 «Менеджмент (по отраслям)» -2 часа;

специальность 230103 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)» - 2 часа;

специальность 140212 «Электроснабжение (по отраслям)» - 1 час.

Цель занятия: научить студента вычислять пределы с использованием формул двух замечательных пределов.

Студент должен знать:

- два замечательных предела;

- методы вычисления пределов.

Студент должен уметь:

- вычислять замечательные пределы.

Два замечательных предела

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

Указание 1

Вычислить:

1.  ,

где .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6. 

.

Основные эквивалентности при

1.  ~.

2.  ~.

3.  ~.

4.  ~.

5.  ~.

6.  ~.

7.  ~.

8.  ~.

9.  ~

10.  ~.

11.  ~.

Указание 2

Вычислить:

1.  , где при .

2.  , где ;

~, при .

3.  ,

где ~, при .

4.  , где ~, ~, при .

5. 

.

6. 

, где .

Задание

Вычислить пределы:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7. 

8.  .

9.  .

10.  .

11.  .

12.  .

13.  .

14.  .

15.  .

16.  .

17.  .

18. 

19.  .

20. 

21. 

22.  .

23.  .

24.  .

25.  .

26.  .

27.  .

28.  .

29.  .

30.  .

31.  .

32.  .

33.  .

34.  .

35.  .

36.  .

37.  .

38.  .

39.  .

40.  .

41.  .

42.  .

43.  .

44.  .

45.  .

46.  .

47.  .

48.  .

49.  .

50.  .

51.  .

52.  .

53.  .

54.  .

55.  .

56.  .

57.  .

58.  .

59.  .

60.  .

61.  .

62.  .

63.  .

64.  .

65.  .

Дополнительные указания

1. 

2.  При найти пределы функций:

; ; - разность арифметической прогрессии:

; ; .

3.  ,

где , , то .

4. 

где , , , при .

5.  ,

где , , , то .

6.  ,

, при .

7.  .

8.  ,

где , , , то .

Контрольные вопросы

1.  Геометрический смысл предела функции.

2.  Теоремы о пределах.

3.  Два замечательных предела.

4.  Важнейшие эквивалентности.

5.  Методы решения примеров на вычисление пределов.

Задания к самостоятельной работе

Вычислить пределы:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7.  .

8.  .

9.  .

10.  .

11.  .

12.  .

13.  .

14.  .

15.  .

16.  .

17.  .

18.  .

19.  .

20.  .

21.  .

22.  .

23.  .

24.  .

25.  .

26.  .

27.  .

28.  .

29.  .

30.  .

Вычислить пределы:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7.  .

8.  .

9.  .

10.  .

11.  .

12.  .

13.  .

14.  .

15.  .

16.  .

17.  .

18.  .

19.  .

20.  .

21.  .

22.  .

23.  .

24.  .

25.  .

26.  .

27.  .

28.  .

29.  .

30.  .

Вычислить пределы:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7.  .

8.  .

9.  .

10.  .

11.  .

12.  .

13.  .

14.  .

15.  .

16.  .

17.  .

18.  .

19.  .

20.  .

21.  .

22.  .

23.  .

24.  .

25.  .

26.  .

27.  .

28.  .

29.  .

30.  .

Вычислить пределы:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7.  .

8.  .

9.  .

10.  .

11.  .

12.  .

13.  .

14.  .

15.  .

16.  .

17.  .

18.  .

19.  .

20.  .

21.  .

22.  .

23.  .

24.  .

25.  .

26.  .

27.  .

28.  .

29.  .

30.  .

Дополнительное задание

1. .

2.  .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

Практическое занятие 4

Тема: Непрерывность функции.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)» -2 часа;

Цель занятия: Научить студентов доказывать непрерывность функции и находить точки разрыва функции.

Порядок проведения:

1.  Повторить теоретический материал;

2.  Разобрать предложенные примеры;

3.  Выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

4.  Ответить на контрольные вопросы.

Студент должен знать:

- основные методы решения задач на непрерывность функции;

- определять разрыв какого рода имеют функции в заданной точке.

Пусть функция определена на множестве и пусть точка является предельной точкой этого множества. Говорят, что функция непрерывна в точке , если .

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда .

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пусть точка является предельной точкой области определения функции . Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если пределы справа и слева конечны. Если при этом , то - точка устранимого разрыва; если же , то - точка неустранимого разрыва первого рода, а разность называется скачком функции в точке .

Если хотя бы один из пределов и не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва второго рода функции .

Указание 1

1.  Используя лишь определение, доказать непрерывность функции при любом значении .

Решение. Пусть - произвольная точка числовой оси. Сначала вычисляем :

.

Затем вычисляем значение функции в точке :

.

Сравнивая полученные результаты, видим, что .

Следовательно функция непрерывна в точке в силу определения непрерывности.

2.  Дана функция

Найти точки разрыва, если они существуют. Определить скачки функции в точках, где имеется разрыв первого рода.

Решение. Область определения функции – вся числовая ось . На интервалах , , функция непрерывна. Поэтому разрывы возможны лишь в точках , , в которых изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы функции в точке :

;

.

Значение функции в точке определяется первым аналитическим выражением, т. е. . Так как , то в точке функция непрерывна.

Рассмотрим точку :

;

.

Мы видим, что правый и левый пределы, хотя и конечны, не равны между собой, поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода.

Скачок функции в точке разрыва .

3.  Исследовать непрерывность функции .

Решение. , т. е. оба односторонних предела конечны и совпадают. Однако в точке функция не определена и поэтому не является непрерывной. График функции представляет собой параболу с «выколотой» точкой . Если доопределить функцию, положив , то функция станет непрерывной.

Таким образом, при функция имеет устранимый разрыв.

4.  Установить характер разрыва функции в точке .

Решение. Находим:

, , то есть функция в точке не имеет ни одного из односторонних пределов. Отсюда следует, что - точка разрыва второго рода.

5.  Используя свойства непрерывных функций, доказать, что функция непрерывна на промежутке .

Решение. Функции , и непрерывны на промежутке . Следовательно, данная функция непрерывна в каждой точке , как сумма непрерывных функций. непрерывна, так как является произведением непрерывных функций и .

Задание

1.  Найти точки разрыва и установить их род:

а)	б)
в)	г)
д)	е)
ж)

2.  Исследовать функции на непрерывность:

а)	б)
в)	г)
д)	е)
ж)	з)
и)

Контрольные вопросы

Определение непрерывности функции в точке . Точки разрыва первого и второго рода. Скачок функции в точке . Точки устранимого и неустранимого разрывов.

Используемая литература

1.  Пехлецкий , учебник – М.: изд. центр «Академия» «Мастерство», 20с.

2.  Богомолов занятия по математике – М.: «Высшая школа» 19с.

Содержание

1.  Введение.....................................................................................................3

2.  Практическое занятие 1………………………………………………….4

3.  Практическое занятие 2………………………………….........................9

4.  Практическое занятие 3………………………………………………...18

5.  Практическое занятие 4………………………………………………...30

6.  Используемая литература.......................................................................33