Возможный вариант ответа на второй вопрос билета.
«Динамика системы материальных точек и основы динамики твердого тела»
Для замкнутой механической системы сохраняется векторная величина 
, называемая импульсом; указанный закон сохранения является следствием однородности пространства. В силу этой однородности потенциальная энергия замкнутой системы, зависящая только от расстояний 
между частицами системы, не изменяется при любом параллельном переносе системы как единого целого в пространстве. Параллельный перенос системы представляет собой такое преобразование, при котором все ее частицы смещаются на один и тот же отрезок, а их радиусы - векторы преобразуются по закону
(1)
Изменение потенциальной энергии замкнутой системы при ее параллельном переносе на бесконечно малый вектор 
формально можно записать в виде
(2)
Однако на самом деле вследствие однородности пространства никакого изменения потенциальной энергии системы не происходит.
Отсюда, учитывая, что 
, приходим к выводу: для замкнутой механической системы
(3)
Обратимся к системе дифференциальных уравнений движения, которую, учитывая постоянство масс частиц, перепишем в виде
(4)
Суммируя почленно эти уравнения и учитывая равенство (3), находим
(5)
Отсюда видно, что импульс замкнутой системы сохраняется
(6)
Импульс незамкнутой механической системы не сохраняется и его изменение со временем определяется законом
(7)
где 
главный вектор внешних сил.
В произвольном движении механической системы, состоящей, по крайней мере, из двух частиц, всегда можно выделить два элемента; движение системы как единого целого и относительное перемещение частиц в самой системе.
Если система отсчета К' движется относительно системы К со скоростью 
, то скорости 
и 
частиц в указанных системах отсчета связаны соотношением 
Поэтому связь между векторами импульса 
и 
в тех же системах отсчета дается формулой
(8)
(9)
Существует такая система отсчета 
связанная с некоторой точкой С, в которой импульс механической системы 
. При этом формула преобразования (8) принимает вид:
(10)
Точку С называют центром масс механической системы; выражение для радиуса-вектора центра масс в неподвижной системе отсчета
(11)
Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется как некоторая фиктивная материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
(12)
Для замкнутой механической системы 
и из уравнения находим
Таким образом, закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр масс движется равномерно и прямолинейно.
Закон сохранения момента импульса для замкнутых механических систем является следствием изотропности пространства, в силу которой, механические свойства замкнутой системы не меняются при повороте системы как единого целого относительно произвольного направления в пространстве на любой угол.
В процессе движения замкнутой механической системы сохраняется векторная величина
(13)
называемая моментом импульса (или механическим моментом) системы.
Момент импульса незамкнутой механической системы не сохраняется и его изменение со временем определяется законом:
(14)
где 
носит название главного вектора моментов внешних сил.
Моментом силы относительно точки называют векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы
(15)
Момент силы относительно оси вращения (оси декартовой системы координат) – это произведение модуля вектора силы на соответствующее плечо.
 |
При рассмотрении вопросов динамики твердого тела инертные свойства тел при вращательном движении определяются моментом инерции твердого тела. Момент инерции твердого тела определяется относительно оси вращения. Так как ось вращения может быть ориентирована произвольным образом, то момент инерции твердого тела в самом общем случае – это тензор.
Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси, проходящей через его центр масс определяется соотношением:
(16)
где 
– расстояние от произвольной точки твердого тела до указанной оси.
Рассмотрим пример расчета момента инерции кольца.
