Тема: множества и операции над ними

Тема: МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Цель: Дать понятие множества, его элементов, показать способы задания множества, познакомить с видами отношений между множествами и операциями над ними, учить определять эти виды отношений, выполнять операции над множествами, заданными разными способами и изображать их на кругах Эйлера.

План:

Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами. Операции над множествами. Понятие разбиения множества на классы.

1.  Понятие множества и элемента множества

Множество – основное математическое понятие. В обыденной жизни его смысл выражается словами: совокупность, набор, класс, коллекция, команда, экипаж, букет, стая и др. Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его связывают обычно с большим числом предметов. Здесь можно рассматривать множество, состоящее из одного объекта или множество, не содержащее ни одного объекта. Т. о., множество – это совокупность объектов как единое целое.

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами множества.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, … Z.

Элементы принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, … z.

В математике нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит.

Например, говорим, что число 5 –натуральное число, а число 0,75 не является натуральным числом. Другими словами мы можем сказать, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 0,75 ему не принадлежит. Чтобы записать эти утверждения будем использовать символы Î иÏ, а запишем 5ÎN, а 0,75ÏN.

Виды множеств:

1.Конечное – множество, которое содержит конечное число элементов. Например, множество студентов в группе, множество дней в недели, множество месяцев в году и др.

2.Бесконечное – множество, которое имеет бесконечное число элементов. Например, множество звезд на небе, множество натуральных чисел, множество рыб в мировом океане и др.

3.Пустое – множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается пустое множество - Æ.

Например, множество кактусов в Антарктиде, множество подводных лодок в пустыне и др.

Математика в большей мере имеет дело с бесконечными множествами (числа, точки, фигуры и другие объекты), но основные математические идеи и логические структуры могут быть смоделированы на конечных множествах. В предматематической подготовке обычно имеют дело с конечными множествами. Элементами таких множеств могут быть самые разнообразные предметы любой природы, как конкретные (растения, животные, предметы обихода и т. д.), так и абстрактные (числа, геометрические фигуры, отношения и др.).

Для обозначения ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел.

2. Способы задания множеств

Понятие множества используется без определения, но как узнать, является ли та или иная совокупность множеством или нет.

Считается, что множество определяется своими элементами. Т. о., множество задано, если о любом элементе можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Способы задания множеств:

Перечисление всех его элементов. Этот способ используется, когда множество конечное и имеет малое количество элементов:

Х={0;2;4;6;8} или А={а; б; с}.

Указание характеристического свойства. Этот способ используется, когда множество конечное, но имеет большое количество элементов или когда множество бесконечное:

Определение. Характеристическое свойство – это свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Например, А – множество натуральных чисел, меньших 7.

Характеристическое свойство можно представить в символьной форме: А={х| хÎN и х < 7}, при такой записи х - обозначает элемент множества А.

3. Отношения между множествами

Установление отношения между множествами - важное умение. Математика как и другие науки изучают не только определенные объекты и явления, но и взаимосвязи, в том числе и отношения между множествами. Понятие множества, подмножества в детском саду в явном виде не изучается, но задания, связанные с выделением части некоторой совокупности, дети выполняют много. Например, «среди данных фигур покажи круги», или «выбери красные маленькие фигуры» и т. д. (см. Приложение 1).

Множества могут находиться в отношении: пересекаться, не пересекаться, включаться, равенства.

I. Пересекаться.

Рассмотрим множества А={a, b, c, d} и B={b, d, k, e}.

Видим, что элементы b, d принадлежат одновременно обоим множествам.

Говорят, что элементы b, d - общие элементы множеств А и В, а сами множества пересекающиеся.

Обозначаем это так: AÇB. Графически[1] это отношение можно показать так: А В

AÇB

II.  Не пересекаться.

Рассмотрим множества А={a, b, c, d} и B={ k, e, m, l}. Видим, что данные множества не имеют общих элементов.

Если множества не имеет общих элементов, то говорят, что они находятся в отношении не пересекаться.

Обозначаем это так AÇB. Графически это отношение можно показать так: А В

AÇB

III. Включаться.

Рассмотрим множества А={a, b, c, d} и B={b, d}.

Эти множества пересекаются, кроме того видим, что все элементы множества В являются элементами множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А. Обозначаем это так: BÌA. Графически это отношение можно показать так: А

В BÌA

Определение: Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А и обозначается BÌA.

•  Пустое множество считают подмножеством любого множества: ÆÌA, ÆÌB и т. д.

•  Любое множество является подмножеством самого себя: AÌA, либо BÌB, либо KÌK.

IV.  Равенства.

Рассмотрим множества А={a, b, c, d} и B={b, d, a, c}.

Можем сказать, что эти множества находятся в отношении пересекаться, кроме того каждый элемент множества А является элементом множества В, т. е. AÌB, и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т. е. BÌA. В этом случае говорят, что множества А и В находятся в отношении равенства.

Определение: Множества А и В называются равными, если AÌB и ВÌА. Обозначаем это так: A=B. Графически это отношение можно показать так: А В A=B

Операции над множествами

I. Пересечение множеств

а).  А={a, b, c, d}, B={a, c, m, n}; AÇB (Множества находятся в отношении пересекаться)

Образуем новое множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т. е. С={а, с}. Так полученное множество С называют пересечением множеств А и В. Обозначают операцию пересечение А и В так: AÇB. На кругах Эйлера пересечение данных множеств изобразится с помощью штриховки, т. е.если множества находятся в отношении пересекаться, то в результате операции пересечения будет множество С:

С=AÇB={а, с} ; А В

С С=AÇB.

б).  А={a, b, c, d}, B={ m, n, p}; AÇB (Множества находятся в отношении не пересекаться)

Так как общих элементов нет в данных множествах, то результат операции пересечения множеств А и В:

С=AÇB=Æ ; А В

С=AÇB.

в).  А={1, 2, 3, 4}, В={2, 4}; BÌA (Множества находятся в отношении включаться)

С=AÇB={ 2, 4}=В; А

В С С=AÇB

г).  А={2, 3, 4}, В={4, 2, 3}; A=B (Множества находятся в отношении равенства)

С=AÇB ={2, 3, 4}; А В

С

С=AÇB

Определение: Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

AÇB={ х| хÎA и хÎB }

II. Объединение множеств

а).  А={a, b, c, d}, B={a, c, m, n}; AÇB (Множества находятся в отношении пересекаться)

Образуем новое множество С, в которое включим все элементы этих множеств (одинаковые записываем один раз), т. е. С={a, b, c, d, m, n}. Полученное множество С называют объединением множеств А и В. Обозначают операцию объединения множеств А и В так: АÈВ. На кругах Эйлера объединение двух множеств показывают штриховкой.

Итак, А={a, b, c, d}, B={a, c, m, n}; AÇB (Множества находятся в отношении пересекаться)

С= АÈВ={a, b, c, d, m, n}; А В

С= АÈВ

б).  А={a, b, c, d}, B={m, n, p}; AÇB (Множества находятся в отношении не пересекаться)

С= АÈВ={a, b, c, d, m, n, р}; А В

С= АÈВ

в).  А={1, 2, 3, 4}, В={2, 4}; BÌA (Множества находятся в отношении включаться)

С= АÈВ={1, 2, 3 ,4}=А; А

В С= АÈВ

г).  А={2, 3, 4}, В={4, 2, 3}; A=B (Множества находятся в отношении равенства)

С= АÈВ={ 2, 3 ,4}; А В

С С= АÈВ

Определение: Объединение множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В:

AÈB={ х| хÎA или хÎB }

III. Разность и дополнение подмножества

а).  Пусть BÌA. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Если BÌA, то A\B=={ х| хÎA и хÏB }

Например, А={1, 2, 3, 4, 5}, В={1,5}; BÌA (Множества находятся в отношении включаться)

={2, 3, 4}; А В

б).  Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

A\B={ х| хÎA и хÏB }

Например, А={1, 2, 3, 4, 5}, В={3, 4, 5, 6}; AÇB (Множества находятся в отношении пересекаться)

А\В={1, 2};

5.  Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

Как правило, целью классификации является систематизация знаний. Например, в биологии имеется классификация животных, охватывающих до 1,5 млн. различных видов животных, в ботанике – классификация растений, включающая 500 тыс. видов растений. Классификация дает возможность рассмотреть это многообразие в определенной системе, выделить интересующие нас виды растений и животных.

Широко применяется классификация в математике. Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, прямые и тупые и т. д.

Любая классификация связана с расчленением некоторого множества объектов на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множества попадает в одно и только одно подмножество, а объединение все выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы.

Считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2, …, Хn, если:

а).  каждое из подмножеств Х1, Х2, …, Хn непустое;

б).  подмножества Х1, Х2, …, Хn попарно не пересекаются;

в).  объединение подмножеств Х1, Х2, …, Хn совпадает с множеством Х.

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то сис­тема множества Х1, Х2, …, Хn не является разбиением множества Х на классы. Например, система множества остроугольных, прямо­угольных и двупрямоугольных треугольников не образует разбие­ние множества всех треугольников, так как множество двупрямо­угольных треугольников, содержащих по два прямых угла, пусто, т. е. не выполняется условие (1). Система множеств остроуголь­ных, прямоугольных и равнобедренных треугольников не образу­ет разбиение множества всех треугольников, так как не выполня­ется условие. (2) — множества прямоугольных и равнобедренных треугольников пересекаются (существуют прямоугольные равнобедренные треугольники). Система множества остроугольных и прямоугольных треугольников не образует разбиения множества треугольников, так как не выполняется условие (3) — объедине­ние множеств остроугольных и прямоугольных треугольников не образует множество всех треугольников.

Рассмотрим игру с двумя обручами. Предлагаются геометрические фигуры расположить в два обруча так как это указано на условии, т. е. в один выложить четырехугольники, а в другой черные фигуры. Выполнение этого задания предполагает разбиение всех фигур на классы. Таких классов получилось III (четырехугольники, черные четырехугольники, черные фигуры).

 

I II III

Четырехугольники Черные четырехугольники Черные фигуры

[1] Изображение множеств с помощью кругов было предложено выдающимся математиком Леонардом Эйлером (1707 – 1783) (см. Приложение 2). Поэтому такие круговые диаграммы называют кругами Эйлера, иногда диаграммами Эйлера-Венна.