Сб. Докладов IV Международного логистического форума «Логистика. Товародвижение. Снабжение - 2009» - М.: ИТКОР

МОДЕЛИ ОБСЛУЖИВАНИЯ ЗАКАЗОВ ПОРТФЕЛЯ С УЧЕТОМ РИСКОВ ЗАДЕРЖЕК ВЫПЛАТ КОНТРАКТНЫХ СУММ

,

д. т.н., профессор кафедры логистики ГУ-ВШЭ

Как еще повысить рентабельность или эффективность цепи поставок? Какие возможности для этого имеются и еще не реализованы? Вопросы такого типа всегда будут волновать менеджеров в области логистики (тем более в период экономического кризиса). Для различных звеньев цепей поставок, формат которых включает реализацию процессов обслуживания множества (портфеля/пакета) заказов, такие, еще не реализованные возможности повышения их рентабельности, могут быть обусловлены возможностью выбора порядка выполнения имеющихся заказов. Реализация этого, еще не освоенного или скрытого резерва повышения эффективности цепей поставок представляет несомненный интерес, поскольку позволит максимизировать суммарную ожидаемую прибыль по заказам портфеля.

Рассмотренные в [1-3] традиционные модели минимизации суммарных ожидаемых издержек выполнения заказов портфеля для повышения эффективности цепей поставок в логистике имеют следующую общую особенность. В указанных моделях потери или издержки за каждую единицу времени ожидания начала обслуживания и самого процесса обслуживания не зависят от длительности промежутка времени уже имевшего место ожидания или обслуживания. Это соответствует учету таких издержек по схеме, которую в финансовом анализе называют схемой простых процентов. Модели указанного типа допускают целый ряд важных обобщений и модификаций, более адекватных нуждам их практического использования в реальных ситуациях при моделировании конкретных цепей поставок. Прежде всего, это относится к специфике реальных выплат соответствующих контрактных сумм по заказам портфеля: необходимо учитывать риски, обусловливаемые возможными задержками указанных выплат. Указанные риски отрицательно влияют на показатели эффективности соответствующих звеньев цепи поставок. Однако, априори не ясно, повлияют ли они на оптимальный порядок выполнения имеющегося множества заказов.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В докладе представлены оптимальные стратегии для моделей, которые при решении задач максимизации чистого приведенного дохода (NPV) или наращенных (на момент окончания всех процедур обслуживания) прибылей по доходам от заказов портфеля, впервые позволят учитывать следующие особенности регламента выплаты указанных сумм: с оговоренной задержкой после начала выполнения заказа; со случайной задержкой после начала выполнения заказа. Представленные в докладе обобщения и модификации для модели оптимизации порядка обслуживания заказов, дадут менеджерам возможность более эффективно организовать работу цепей поставок.

Модели, учитывающие выплаты контрактных сумм с оговоренными задержками. Традиционная модель задачи рассматриваемого типа представлена в [1] и предполагает следующее. Имеется уже сформированный портфель из N таких заказов (в формате процедур некоторого звена цепи поставок). Выполнение и обслуживание заказов портфеля связано с затратами времени: они рассматриваются как случайные величины. Пусть Si обозначает время выполнения i-го заказа (i-заказа). При этом Si являются независимыми случайными величинами с произвольными законами распределения вероятностей и известными средними М[Si]. Анализируется ситуация, когда заказы пакета обслуживаются одним прибором (бригадой, исполнителем и т. п.). Обслуживание заказа реализуется без прерываний технологического процесса. Экономический результат представляется контрактными суммами Pi, которые будут получены в моменты исполнения i-заказов. Оптимизация предполагает максимизацию общей ожидаемой суммы доходов по всем заказам портфеля, наращенной к некоторому моменту времени Т в будущем (например, к моменту завершения обслуживания всех заявок портфеля), причем с учетом заданной структуры процентных ставок (по схеме простых процентов). Известно, что в формате такой модели оптимальная стратегия должна обслуживать заказы портфеля в соответствии с убыванием показателей Pi·µ, где mi=1/M[Si] (так называемое Рµ-правило [1]).

Отличительная особенность рассматриваемой здесь модели состоит в следующем. К моменту формирования портфеля заказов уже заранее известны прогнозируемые риски задержек выплат контрактных сумм по определенным заказам. Модель должна учитывать, что указанные выплаты поступят с оговоренным опозданием, которое для каждого из заказов может быть «своим». Множество заказов, по которым учитываются сценарии задержек выплат, также произвольно. Остается только уточнить, относительно каких моментов времени задаются указанные задержки в выплатах. Начнем анализ со случая, когда под базовой ситуацией понимается модель с выплатами контрактных сумм по заказам портфеля в моменты начала их выполнения.

Пусть далее величины ti обозначают длительности соответствующих оговоренных задержек в выплатах контрактных сумм по i-заказам относительно моментов начала их обслуживания. В рамках рассматриваемой здесь модели ti - заданные величины, причем ti ≥ 0 для всех i= 1, 2, … , N. Величины ti могут зависеть от номера заказа, например, они могут задаваться с учетом ожидаемой длительности обслуживания заказа. Вывод основных соотношений для целевой функции этой модели базируется на следующих ее атрибутах:

·  N – число заказов в портфеле;

·  =(i1, i2, i3, … , iN) – вектор очередности выполнения заказов;

·  M[Si] – среднее время выполнения i-го заказа;

·  mi=1/M[Si] – интенсивность выполнения i-го заказа;

·  Pi – контрактная сумма, выплачиваемая по i-заказу;

·  T – момент времени выполнения всех заказов портфеля;

·  – случайный момент времени «выхода» i-заказа после обслуживания;

·  (-Si) – случайный момент времени начала выполнения i- заказа;

·  r – годовая депозитная процентная ставка наращения;

Для рассматриваемой модификации модели наращенная к моменту времени Т сумма Fi по i-заказу (в формате схемы простых процентов) является случайной величиной, для которой имеет место равенство . Задача максимизации ожидаемой суммы на депозитном счете к моменту Т записывается в виде:

М() .

После раскрытия скобок и после перегруппировки выражений получим достаточно громоздкую запись. Чтобы не выписывать все выражение далее представим отдельно каждое его слагаемое (их будет пять):

1)  - это слагаемое не зависит от выбора стратегии обслуживания (это и другие слагаемые такого типа могут быть опущены при упрощении записи целевой функции);

2)  - это слагаемое также можно опустить;

3)  - это слагаемое зависит от выбора стратегии обслуживания (оно не может быть опущено при упрощении записи целевой функции);

4)  - это слагаемое можно опустить;

5)  - это слагаемое также можно опустить.

После указанных упрощений в целевой функции останется только одно третье слагаемое (из указанных пяти). Учитывая знак указанного слагаемого, получаем следующую эквивалентную задачу оптимизации:

М® min,

Сравнивая ее с аналогичной задачей в [1] для традиционного формата модели, отметим следующее. Для рассмотренной модели с учетом рисков произвольных задержек в выплатах контрактных сумм, оптимальная стратегия выбора порядка выполнения заказов не зависит от указанных рисков и определяется оптимальным Рµ-правилом соответствующей базовой модели организации обслуживания.

Обратимся теперь к случаю, когда под базовой ситуацией понимается модель с выплатой контрактных сумм по факту исполнения заказа. В рассматриваемой здесь ситуации наращенная к моменту времени Т случайная сумма Fi по i-заказу портфеля при стратегии составит , т. к. в этом случае контрактная сумма Pi поступит на депозитный счет в момент времени . При этом задача максимизации общей ожидаемой суммы на депозитном счете к моменту Т имеет вид:

М() .

После упрощений получаем такие же слагаемые для целевой функции, которые уже были представлены выше, кроме слагаемого . Это выражение не зависит от выбора порядка выполнения заказов портфеля и, следовательно, не может повлиять на структуру оптимальной стратегии. Таким образом, выводы, полученные выше, остаются справедливыми и для рассматриваемого случая, когда в качестве исходной или базовой модели принимается модель с выплатой контрактных сумм по факту исполнения заказов.

Модели, учитывающие выплаты контрактных сумм со случайными задержками. Вместо обозначения ti для оговариваемых значений конкретных задержек выплат контрактных сумм по i-заказам в рамках рассматриваемого далее обобщения выступают случайные величины τi с произвольными законами распределения вероятностей. В модели делается только одно предположение относительно этих случайных величин: принимается, что они не зависят от порядка выполнения заказов. Другими словами, случайные длительности τi указанных задержек для соответствующих финансовых поступлений по i-заказам являются атрибутами только этих заказов. Например, они могут зависеть от случайной длительности обслуживания заказа, от финансового положения заказчика и его финансовых рисков, кстати, и других рисков, связанных с реализацией заказа и т. д. Они также могут быть зависимы между собой, что может обусловливаться общими условиями «внешней» экономической среды или спецификой условий заключенных контрактов.

Достаточно провести анализ для случая, когда под базовой ситуацией (относительно которой фиксируются указанные случайные задержки выплат контрактных сумм) понимается модель с выплатами таких контрактных сумм в моменты начала обслуживания i-заказов. Наращенная к моменту Т сумма прибыли Fi по отдельному i-заказу при стратегии является случайной величиной, для которой можно записать равенство Fi = Pi ·(1+r·(T - Ti + Si - τi)). При этом, соответствующая задача оптимизации имеет вид:

М(Pi ·(1+r·(T - Ti + Si - τi))) → min.

Чтобы не повторять аналогичные рассуждения предыдущего пункта и соответствующие уточнения относительно отдельных слагаемых, которые получаются после раскрытия скобок и перегруппировки выражений для этой целевой функции, отметим, только следующее. Для рассматриваемого здесь обобщения отличие появляется только для последнего (пятого) слагаемого. Оно будет иметь вид (вместо ). При сделанных допущениях относительно случайных величин τi это слагаемое не зависит от порядка выполнения заказов портфеля. Следовательно, интересующая нас здесь задача оптимизации снова может быть представлена как эквивалентная задача минимизации для традиционной модели, рассмотренной в [1]. Таким образом, получен следующий результат. Наличие случайных задержек в выплатах контрактных сумм по заказам портфеля не изменяет оптимальную стратегию выполнения его заказов. Итак, будет ли менеджер учитывать риски указанных задержек или не будет, все равно ее структура не изменится. Она соответствует оптимальной стратегии обслуживания портфеля для традиционной модели такого типа и определяется оптимальным Рµ-правилом.

Представленные материалы позволяют отметить следующее. В данном докладе впервые обоснована структура оптимальной стратегии при стохастическом характере моментов выплаты контрактных сумм (с учетом рисков указанных случайных или заранее принимаемых и оговариваемых задержек в их выплате). Доказано, что несмотря на случайные значения моментов получения доходов, связанных с реализацией заказов портфеля в таких моделях, для алгоритма нахождения оптимальной стратегии, тем не менее, будет иметь место так называемое в теории оптимальное Рm-правило, представляющее традиционную или базовую модель оптимизации, в формате которой указанные риски задержек выплат не учитываются. Приведенные результаты могут быть использованы для повышения эффективности соответствующих звеньев цепей поставок.

В докладе представлены материалы гранта: «Индивидуальный исследовательский проект 2009 г. № «Скрытый ресурс минимизации издержек обслуживания в цепях поставок», выполнен при поддержке «Программы Научный Фонд ГУ-ВШЭ».

Библиографический список

Бродецкий стратегии обслуживания заказов в цепях поставок с учетом контрактных сумм // Журн. «Логистика и управление цепями поставок», №5, 2009. Бродецкий издержек обслуживания портфеля заказов при случайных тарифах штрафных функций // Журн. «РИСК», № 3, 2009. Уолрэнд Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания. М.: Мир, 1993 гс.