11 класс, №1

11 КЛАСС, №1

Решение.

а) Пусть кратно трём. Тогда можно представить в виде и . Но разность степеней с одинаковыми показателями делится на разность оснований, то есть делится на . Следовательно, делится на 7 при кратном трём.

Пусть некратно трём, то есть или . В случае имеем . Но при делении на 7 даёт в остатке 1 (это следует, например, из формулы бинома Ньютона), а при делении на 7 даёт в остатке 2. Значит, при делении на 7 получается в остатке 1, следовательно, при не делится на 7.

В случае имеем . При делении на 7 получаем в остатке 3.

Следовательно, делится на 7 тогда и только тогда, когда кратно трём.

б) Пусть . Тогда , , что не делится на 7.

Пусть , тогда

, что не делится на 7.

Пусть , тогда

, что также не делится на 7.

Таким образом, ни при каком не делится на 7.

11 КЛАСС, №2

Доказательство.

При , очевидно выполняется неравенство

.

Знак равенства достигается при .

ОДЗ: .

Рассмотрим выражение . Значит, . Рассмотрим выражение , тогда .

Итак, .

Знак равенства достигается при , так как .

11 КЛАСС, №4

Решение.

Взяв синус от обеих частей данного уравнения, получим

или

или

.

Полученное равенство является тождеством. Но отсюда ещё не следует, что любое значение , для которого , является решением данного уравнения. Поскольку всегда , то, как видно из исходного уравнения,

.

Отсюда находим: или . Следовательно, все числа из промежутка служат решениями данного уравнения.

Ответ.

11 КЛАСС, №3

Решение.

Очевидно, что высота пирамиды и центры оснований призмы лежат на одном диаметре сферы. Проведём сечение через высоту и боковое ребро пирамиды.

Призму можно расположить так, что её ребро будет лежать в этом сечении. В этом же сечении, очевидно, лежат центр сферы и центры оснований призмы и . Обозначим , тогда . Так как , то получим

.

Пусть , тогда

.

Объём призмы ,

. при .

, ясно, что . Поэтому в точке функция имеет максимум.

.

Ответ. , .