Интервалы монотонности функции. Точки экстремума.
Условие монотонности. Если дифференцируемая функция 
возрастает на интервале 
, то 
на 
. Если дифференцируемая функция убывает на интервале , то 
на .
Точка 
называется точкой минимума функции 
, если существует 
такое, что для всех 
, лежащих в интервале 
и 
, верно неравенство
.
Точка называется точкой максимума функции , если существует такое, что для всех , лежащих в интервале 
и , верно неравенство 
.
Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции.
Критическими точками функции называются точки, где производная равна нулю или не существует.
Достаточные условия экстремума.
1. Если при переходе через критическую точку функции первая производная меняет знак и функция непрерывна в точке , то в точке функция имеет экстремум. Причем, если знак меняется с «+» на «-», то - точка максимума; если знак меняется с «-» на «+», то - точка минимума.
2. Если в критической точке функции вторая производная не равна нулю и функция непрерывна в точке , то в точке функция имеет экстремум. Причем, если в точке вторая производная положительна, то - точка минимума; если в точке вторая производная отрицательна, то - точка максимума.
Интервалы вогнутости и выпуклости графика функции.
Точки перегиба.
График функции График функции |
Рис.9 |
в любой точке 
лежит выше этой кривой (рис.9).
, если касательная
к кривой 
в любой точке 
лежит ниже этой кривой (рис.9).
Достаточное условие выпуклости. Если функция дважды дифференцируема на 
и 
для всех 
, то график 
является выпуклым на 
.
Достаточное условие вогнутости. Если функция дважды дифференцируема на и 
для всех , то график является вогнутым на .
Точка, в которой меняется вогнутость графика функции на выпуклость или выпуклость на вогнутость называется точкой перегиба.
Точкой перегиба функции является точка , в которой функция непрерывна и
1) вторая производная равна нулю или не существует;
2) при переходе через точку меняется знак второй производной.
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функция 
двух переменных 
и задана, если каждой паре чисел и 
из некоторой области 
по определенному закону поставлено в соответствие значение 
. Переменные и являются независимыми, а - зависимой переменной (функция).
Областью определения функции является множество точек 
, в которых функция определена.
Число А называется пределом функции 
в точке 
, если для любого 
существует 
такое, что если расстояние между точками 
и меньше 
, то 
:
или 
.
Производная от функции 
по , найденная в предположении, что остается постоянным, называется частной производной от по и обозначается 
или 
:
.
Производная от функции по , найденная в предположении, что остается постоянным, называется частной производной от по и обозначается 
или 
:
.
Частными производными 2-го порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка:
- вторая частная производная по 
;
- вторая частная производная по 
;
- вторая смешанная частная производная по 
;
- вторая смешанная частная производная по 
.
Смешанные частные производные равны между собой при условии, что они непрерывны: 
.
Дифференциалы функции двух переменных:
- частный дифференциал по функции ;
- частный дифференциал по функции ;
- полный дифференциал функции 
.
Пусть функция двух переменных задана неявно: 
. Если существуют непрерывные производные 
, 
, 
и 
, то неявная функция имеет частные производные и , определяемые формулами:
; 
.
Касательной плоскостью к поверхности 
в точке 
(точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через точку .
Нормалью к поверхности в точке называется прямая, перпендикулярная касательной плоскости в точке и проходящая через точку касания.
Если поверхность задана в явном виде 
, то уравнение касательной плоскости в точке 
имеет вид:
,
а уравнение нормали:
.
Если поверхность задана в неявном виде 
, то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:
,
а уравнение нормали:
.
Экстремумы функции двух переменных.
Точка 
называется точкой минимума функции 
, где 
, если в некоторой -окрестности точки 
для всех 
верно неравенство
.
Точка называется точкой максимума функции , где , если в некоторой -окрестности точки для всех верно неравенство
.
Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции.
Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее частные производные по и по в этой точке равны нулю:
и 
.
Точки, где частные производные функции по и по равны нулю, называются стационарными.
Критическими точками функции называются точки, где частные производные по и по равны нулю или хотя бы одна из них не существует.
Достаточное условие экстремума. Пусть - критическая точка функции . Обозначим значения вторых производных: 
, 
и 
. Тогда
1) если 
, то - точка экстремума функции , причем - точка максимума при 
и - точка минимума при 
;
2) если 
, то в экстремума нет;
3) если 
, то требуется дополнительное исследование.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Основные методы интегрирования.
I. Непосредственное интегрирование заключается в приведении данного интеграла к одному или нескольким табличным интегралам с помощью свойств неопределенного интеграла, а также с помощью различных формул (в том числе тригонометрических) и тождественных алгебраических преобразований подынтегральной функции.
II. Метод подведения под знак дифференциала состоит в том, чтобы в подынтегральном выражении найти или создать некоторую функцию так, чтобы все подынтегральное выражение записывалось через выделенную функцию:
, где 
.
III. Метод замены переменной состоит в следующем равенстве:
, где .
IV. Пусть функции 
и 
непрерывны вместе со своими производными, тогда справедлива формула интегрирования по частям:
.
Формула интегрирования по частям применима к любым непрерывным функциям, но позволяет эффективно вычислить неопределенный интеграл только для специальных классов функций:
1. Если интеграл имеет вид:
, где 
- многочлен степени 
,
то в качестве 
необходимо взять 
, а в качестве 
взять оставшиеся множители подынтегрального выражения, то есть
, 
.
2. Если интеграл имеет вид:
, где - многочлен степени ,
то полагаем 
, а все остальное за , то есть
, .
3. Если интеграл имеет вид: 
или 
, то формула интегрирования по частям в этом случае применяется дважды, потом первоначальный интеграл выражается алгебраически. Это циклическое интегрирование.
V. Интегрирование рациональных дробей.
Выражение вида 
, где 
и 
- два многочлена степеней 
и 
соответственно ( и - натуральные числа) называется рациональной дробью. При этом, если 
, то дробь называется правильной, в противном случае, если 
- дробь называется неправильной.
Простейшие правильные рациональные дроби:
1) 
- простейшая дробью I вида;
2) 
- простейшая дробь II вида (
);
3) 
- простейшая дробь III вида (
- не имеет действительных корней, то есть 
);
4) 
- простейшая дробь IV вида ( - не имеет действительных корней; ).
Каждая правильная дробь 
представима в виде суммы конечного числа простейших дробей. При этом, если знаменатель разложен на множители:
,
где 
- натуральные числа и 
, то
.
Схема интегрирования рациональных дробей:
1) Если дробь неправильная, надо представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;
2) Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;
3) Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
VI. Интегрирование иррациональных функций.
1. Вычисление интегралов вида:
,
где 
- рациональная функция, 
– натуральное число, 
- постоянные действительные числа.
Данный интеграл вычисляется с помощью подстановки
.
2. Вычисление интегралов вида:
,
где 
- натуральные числа.
Интеграл вычисляется с помощью подстановки
,
где - общий знаменатель дробей 
. При этом интеграл получится проще, если - наименьший общий знаменатель этих дробей.
VII. Интегрирование некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции.
1. Если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения четных степеней синуса и косинуса, при этом хотя бы один из показателей отрицательный, то после преобразования можно получить под интегралом функцию, зависящую от 
или 
и потом интегрировать, учитывая, что
.
2. Подстановка 
.
Данную подстановку используют, если подынтегральная функция является рациональной функцией от 
, при этом
и 
.
3. Подстановка 
.
Если подынтегральная функция меняет лишь знак при замене 
на 
, то есть 
=
, тогда применима подстановка . При этом
; 
; 
.
4. Подстановка 
.
Если подынтегральная функция меняет лишь знак при замене 
на 
, то есть 
=, тогда применима подстановка . При этом
; 
; 
.
5. Вычисление интегралов вида
.
Некоторые частные случаи:
а) Пусть аргументы у синуса и косинуса одинаковы 
, при этом и – целые неотрицательные числа и, по крайней мере, одно из них нечетное.
Если - нечетное число, то интеграл 
удобно вычислить с помощью подстановки 
. При этом используется тождество 
для преобразования подынтегрального выражения.
Если - нечетное число, то интеграл можно вычислить с помощью подстановки 
. При этом 
.
б) Если и - четные неотрицательные числа, тогда при вычислении интеграла удобно преобразовать подынтегральное выражение с помощью формул «понижения степени» и синуса двойного угла:
6. Вычисление интегралов от произведения тригонометрических функций:
.
При вычислении интегралов такого вида удобно заменить произведение функций на сумму, используя равенства:
.
7. Универсальная тригонометрическая подстановка:
.
При данной подстановке получаем
, 
, 
, 
и 
.
Определенный интеграл.
Пусть на отрезке 
определена непрерывная функция 
. Отрезок 
произвольными точками 
разделен на частичных отрезков 
, 
, …, 
, и 
- наибольшая из длин этих отрезков: 
, где 
, 
. Точки 
- произвольные точки из отрезков 
. Тогда если интегральная сумма 
имеет предел при 
и 
, который не зависит ни от способа разбиения отрезка 
, ни от выбора точек (
), то этот предел называют определенным интегралом от функции на отрезке :
.
Основные свойства определенного интеграла:
1. 
, где 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
, где 
.
Методы вычисления определенного интеграла.
1. Формула Ньютона-Лейбница:
.
2. Формула замены переменной в определенном интеграле:
,
где , 
, .
3. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла:
.
Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы 1 рода (с бесконечным пределом интегрирования):
1. 
.
2. 
.
3. 
.
Если предел определенного интеграла существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же этот предел не существует или он бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Несобственные интегралы 2 рода (от разрывных функций).
1. Функция 
имеет разрыв II рода в граничной точке 
:
.
2. Функция имеет разрыв II рода в граничной точке :
.
3. Функция имеет разрыв II рода во внутренней точке :
.
Геометрические приложения определенного интеграла.
I. Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными в явном виде.
1) Если график функции лежит выше оси
|
Рис.10 |
2) Площадь фигуры, ограниченной графиками функций
|
Рис.11 |
) (рис.10):
.
, 
и прямыми 
на 
) (рис.11):
.
II. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде.
Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде
,
вычисляется по формуле:
.
III. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах.
Криволинейным сектором называется плоская фигура, ограниченная непрерывной линией 1) Площадь криволинейного сектора (рис.12) вычисляется по формуле:
|
Рис.12 |
2) Если фигура ограничена двумя полярными кривыми
|
Рис.13 |
и 
, где 
- полярные координаты.
.
, 
и двумя лучами 
, 
.
IV. Вычисление длины дуги плоской кривой.
1) Если кривая задана уравнением в явном виде 
, то длина дуги кривой на отрезке 
вычисляется по формуле:
.
2) Если кривая задана уравнением в параметрическом виде
, 
, 
,
то длина дуги кривой на отрезке вычисляется по формуле:
.
3) Если кривая задана уравнением в полярных координатах 
, 
, то длина дуги кривой на отрезке 
вычисляется по формуле:
.
V. Вычисление объема тела.
1) Если вокруг оси 
вращается криволинейная трапеция, ограниченная линией и прямыми 
, 
, , то объем тела вращения
вычисляется по формуле:
.
2) Если вокруг оси 
вращается криволинейная трапеция, ограниченная линией 
и прямыми 
, 
, 
, то объем тела вращения вычисляется по формуле:
.
Двойные интегралы.
Пусть плоская область А имеет кусочно-гладкую границу и в области А задана функция 
. Область А с помощью сети кривых линий разделена на части 
с площадями 
и диаметрами 
. Пусть - наибольшее из чисел , 
. Точки 
- произвольные точки из областей . Тогда если интегральная сумма 
имеет предел при 
и 
, который не зависит ни от способа разбиения области 
на части 
ни от выбора точек 
внутри 
, 
, то этот предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается одним из символов:
или 
.
Область называется областью интегрирования, 
– подынтегральной функцией,
– подынтегральное выражение.
Свойства двойного интеграла.
1. 
.
2. 
,
где 
.
3. 
, где область разделена на две области 
и 
, не имеющие общих внутренних точек.
Вычисление двойного интеграла.
I. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть функция
То есть сначала интегрируют функцию |
Рис.14 |
.
в пределах от 
до 
, а затем результат интегрируют по переменной в пределах от до .
Рис.15 | Если область интегрирования А ограничена снизу прямой
|
, сверху - прямой 
, слева - кривой 
, справа - кривой 
(рис.15), то в этом случае двойной интеграл сводят к повторному по следующей формуле:
.То есть сначала вычисляют внутренний интеграл 
по переменной , считая постоянной величиной, а потом получившуюся функцию переменной интегрируют по в пределах от 
до 
.
II. Переход от декартовых координат к полярным в двойном интеграле:
,
где 
- полярные координаты точек области . Пределы изменения переменных 
и 
устанавливаются непосредственно по области .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение, содержащее независимые переменные, искомую функцию и ее производные называется дифференциальным уравнением.
Если искомая функция зависит только от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка является уравнение вида
.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Функция 
, подстановка которой вместо обращает уравнение в тождество, называется его решением.
Уравнение
,
содержащее 
, 
и 
произвольных постоянных, называется общим интегралом (общим решением) дифференциального уравнения.
Интеграл (решение), полученный из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным интегралом (частным решением). Отыскание частного решения дифференциального уравнения n-го порядка, удовлетворяющего n начальным условиям, называется задачей Коши.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
.
I. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Уравнение вида
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Для решения данного уравнения необходимо сначала преобразовать уравнение к виду:
,
а затем проинтегрировать:
