Некоторые вопросы методики обучения решению тригонометрических уравнений на дисциплинах по выбору

ТГСПА им.

Некоторые вопросы методики обучения решению тригонометрических уравнений на дисциплинах по выбору

Остановимся на методах, приемах и типичных ошибках, допускаемых при решении тригонометрических уравнений, приведем примеры из своего опыта работы в этом направлении со студентами ФМФ ТГСПА - будущими учителями математики.

На спецкурсе по решению задач элементарной математики с применением методов высшей математики студентам предлагается перечень заданий, в том числе и на решение уравнений. Больше всего затруднений вызывают именно тригонометрические уравнения.

При обучении учащихся уравнениям (неравенствам) необходимо акцентировать их внимание на существование двух основных методов решения уравнений (неравенств), каковыми являются:

·  алгебраический;

·  графический.

Алгебраический метод основан на теоремах равносильности уравнений и равносильных преобразованиях. В этом случае осуществляется замена уравнения равносильным ему уравнением, как правило, более простым.

Для каждого вида уравнения выделены простейшие, решения которых находят с помощью формул или алгоритмов.

К теме «Тригонометрические уравнения» обучаемые уже должны подойти со знанием алгоритма или краткого приема графического метода решения уравнений:

1. Строим график функции, стоящей в левой части.

2. Строим график функции, стоящей в правой части.

3. Находим абсциссу (абсциссы) полученной точки (точек, если решений несколько) пересечения данных графиков, которая (которые) и является решением (являются решениями) данного уравнения.

Отметим, что не все студенты 5 курса знают этот алгоритм! Общим методам на спецкурсе уделяется особое внимание.

Кроме того, важно, чтобы будущие учителя знали общие методы алгебраического способа решения уравнений, основными из которых являются

·  метод подстановки (введения вспомогательной переменной);

·  метод разложения на множители.

Для каждого вида уравнений имеются специфические методы решения, которые связаны со свойствами входящих в уравнение функций. На спецкурсе уделяется внимание повторению общих и специфических методов. Для тригонометрических уравнений часто применяют специальные формулы преобразования. Это реализуется на практике не простыми повторениями указанных методов. Для предлагаемого перечня задач, которые требуется решить, вначале (или после того, как студенты решили уравнения) вместе со студентами определяются методы решения либо комбинация методов, что вызывает особые затруднения. Например, студенты определяют с трудом, что уравнение sinx*cosx+ cosx+0,5sinx+0,5=0 решается разложением на множители.

В учебном пособии ярко выделена ее авторская позиция: учить студентов выделять не только основные типы задач, но и приоритетные обобщенные приемы их решения. Их формирование является одной из особенностей предлагаемой методики и может служить, по мнению автора, одной из выделенных новой концепцией методологических линий. На спецкурсе мы также останавливаемся на общих и специальных приемах решения уравнений.

Очень важной является забота учителя (поэтому и преподавателей педвуза) и учащихся (студентов) по предупреждению типичных ошибок, приводящих к нарушению равносильности в процессе алгебраического решения уравнений и неравенств. [1, с. 86-87] выделено 8 типов таких ошибок. Остановимся на типах, которые наиболее распространены среди студентов, каковыми являются:

·  деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение;

·  умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение;

·  возведение обеих частей, содержащих заведомо отрицательные выражения, в квадрат.

Например, дается задание решить уравнение: sinx*cosx+ 0,5sinx=0

Показывается решение задачи с ошибкой (можно дать такое задание студенту). К примеру, предлагается разделить обе части данного уравнения на sinx не равное нулю. Получается уравнение cosx+0,5=0.

Задается вопрос: «Можно ли так решать данное уравнение? Ответ обоснуйте». Наиболее подготовленные студенты (их становится все меньше!) замечают, что нельзя делить обе части на данное выражение (в этом случае потеряется корень), а необходимо вынести его за скобки. Тогда получается уже совокупность двух простейших уравнений.

Или такой пример: необходимо решить уравнение: 1/cosx+ tgx=0

Предлагается умножить обе части на cosx не равное нулю, получаем уравнение 1+ sinx=0. Отсюда находим решение и записываем ответ. Анализ решения показывает, что в этом случае меняется ответ! Первоначальное уравнение не имеет решений, так как если sinx=-1, то cosx=0, а он стоит в знаменателе дроби и не может быть равным нулю. Делается вывод о недопустимости умножения или деления на выражение (не путать с числом!), которое может привести к потере корня или изменению решения.

На занятиях внимание студентов обращается на то, что в заданиях ЕГЭ (особенно в группе С) предлагаются уравнения, при решении которых можно потерять корни или приобрести посторонние. Такие задания являются основными, поэтому следует предостерегать своих учеников от возможных ошибок.

Литература

1. Епишева методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе: Курс лекций: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. спец. вузов. – Тобольск: ТГПИ им. , 2000. – 126 с.