Методические рекомендации к дисциплине «СД.4 Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ДИСЦИПЛИНЕ

СД.4 Дифференциальные уравнения и

уравнения с частными производными

Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальностям

050201.00 − «математика – информатика»

050201.00 − «математика – физика»

Раздел 1. Программа учебной дисциплины.

Структура программы учебной дисциплины

1.1 Автор программы: кандидат физ.-мат. наук, доцент

1.2 Рецензенты: кандидат физ.-мат. наук, доцент , кандидат физ.-мат. наук, доцент

1.3 Пояснительная записка

Цель курса − обеспечение необходимого уровня теоретической подготовки будущего учителя математики и воспитание математической культуры. Подготовить студентов к восприятию курсов общей и теоретической физики (тех разделов, в которых необходимо решать дифференциальные уравнения).

Студенты должны знать основные понятия дифференциальных уравнений (общее и частное решение, особое решение, задача Коши); типы дифференциальных уравнений первого порядка, способы их решения; линейные дифференциальные уравнения и методы их решения; применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений;

иметь представление о дифференциальных уравнениях с частными производными и их решении, основных типах уравнений математической физики.

Студенты должны уметь решать дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах, Бернулли, Клеро и др.); уметь понижать порядок уравнения; решать линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Учебная программа составлена в полном соответствии с требованиями государственного стандарта высшего образования от 01.01.2001г.

1.4 Извлечение из ГОС ВПО

СД.4 - 90

Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными

Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения. Линейные дифференциальные уравнения n - го порядка и линейные системы.

Уравнения с частными производными. Метод Фурье.

1.5 Объём дисциплины и виды учебной работы

	№ п/п	Шифр и наименование специальности	Курс	Се- ме- стр	Виды учебной работы в часах	Вид итогового контроля
	Тру- доём- кость	Всего аудиторных	Лек-ции	Практические	Самостоятельная работа
	1.	050201.00	4	7	90	54	32	22	36	экзамен

1.6 Содержание дисциплины

1.6.1 Распределение дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:

№ п/ п	Наименование раздела, темы	Количество часов
Всего аудит.	Лек- ции	Пра-кти- чес- кие	Само- стоя- тельная работа	Форма отчёта
I	II	III	IV	V	VI
	Дифференциальные уравнения первого порядка	17	7	10	17
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.	Основные понятия ДУ. Задачи, приводящие к ДУ Уравнения с разделяющимися переменными Однородные уравнения Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Уравнения в полных дифференциалах Задача Коши существования и единственности решения ДУ Общее решение Огибающая семейства кривых. Уравнение Клеро		1 1 1 1 1 1 1	2 2 2 1 1 1		к/р №1 кол- лок- виум
	Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка	5	3	2	5
1. 2.	Теорема существования и единственности решения уравнения Уравнения вида		1 2	2
	Линейные дифференциальные уравнения высших порядков	30	18	12	30
1. 2. 3. 4 5. 6.	Основные понятия. Теорема существования Линейные ДУ без правой части: определитель Вронского линейно зависимой и линейно независимой системы, существование фундаментальной системы, теорема об общем решении линейного ДУ, понижение порядка линейного ДУ Линейные ДУ с правой частью: теорема об общем решении, метод вариации произвольных постоянных ЛДУ без правой части с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, теорема об общем решении ЛДУ с правой частью с постоянными коэффициентами: Применение ЛДУ в изучении колебательных явлений		1 6 2 4 2 3	2 2 2 6		к/р №2 экзамен
	Уравнения с частными производными Основные понятия. Решение уравнений с частными производными		2		2	экзамен

1.6.2 Содержание разделов дисциплины

Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия ДУ. Задачи, приводящие к ДУ. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Задача Коши существования и единственности решения ДУ Общее решение. Огибающая семейства кривых. Уравнение Клеро Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Теорема существования и единственности решения уравнения . Уравнения вида . Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Теорема существования. Линейные ДУ без правой части: определитель Вронского линейно зависимой и линейно независимой системы, существование фундаментальной системы, теорема об общем решении линейного ДУ, понижение порядка линейного ДУ. Линейные ДУ с правой частью: теорема об общем решении, метод вариации произвольных постоянных, ЛДУ без правой части с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, теорема об общем решении. ЛДУ с правой частью с постоянными коэффициентами: . Применение ЛДУ в изучении колебательных явлений Уравнения с частными производными. Основные понятия. Решение уравнений с частными производными. 1.6.3 Темы для самостоятельного изучения № п/п Наименование раздела дисциплины. Тема. Форма самостоятельной работы Количество часов Форма контроля самостоятельной работы 1 Дифференциальные уравнения первого порядка Домашние задания Коллоквиум Контрольная работа работа (17) 11 6 Проверка домашних заданий Индивидуальное собеседование Проверк и анализ результатов контрольной работы № п/п Наименование раздела дисциплины. Тема. Форма самостоятельной работы Количество часов Форма контроля самостоятельной работы 2 Уравнения высших порядков Домашние задания Коллоквиум Контрольная работа (35) 27 8 Проверка домашних заданий Индивидуальное собеседование Проверка и анализ результатов контрольной работы
№ п/п	Наименование раздела дисциплины. Тема.	Форма самостоятельной работы	Количество часов	Форма контроля самостоятельной работы
3	Уравнения с частными производными	Домашние задания	(2) 2	Проверка домашних заданий
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины Планы проведения практических занятий Практическое занятие № 1 Тема: Уравнения с разделяющимися переменными Однородные уравнения Вопросы для обсуждения: 1.Уравнение первого порядка и его решение. 2. Уравнение с разделяющимися переменными. 3. Понятие об однородной функции двух независимых переменных. 4. Однородное уравнение. Литература: [1], стр. 7 – 10, 15 – 16, 47 – 53, [2], стр. 277 – 278, 291 – 297. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [4], № 000, 2029, 2031, 2045, 2047, 2049, 2051, 2053, 2055, 2057, 2062(а), 2069, 2071. Домашнее задание: Теоретический материал: [1], стр. 50 – 66 , [2], стр. 296 – 304. Практическая часть: [4], № 000, 2030, 2032, 2046, 2048, 2050, 2052, 2054, 2056, 2058, 2062(б), 2068, 2070. Практическое занятие № 2 Тема: Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Вопросы для обсуждения: 1. Особые решения однородного уравнения. 2. Линейные уравнения первого порядка без правой части. 3. Линейные уравнения первого порядка с правой частью. 4. Уравнения Бернулли. Литература: [1], стр. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [4], № 000, 2075, 2077, 2085, 2089, 2091, 2093, 2095, 2097, 2099, 2101, 2103, 2109. Домашнее задание: Теоретический материал: [1], стр. 67 – 70, [2], стр. Практическая часть: [4], № 000, 2074, 2076, 2078, 2084, 2088, 2090, 2092, 2094, 2096, 2098, 2100, 2102, 2104, 2110. Практическое занятие № 3 Тема: Уравнения в полных дифференциалах Вопросы для обсуждения: 1. Понятие об уравнении в полных дифференциалах. 2. Признак уравнения в полных дифференциалах. 3. Построение общего интеграла. Литература: [1], стр. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [1], стр. 20 – 21, 33 – 37, 85 – 88, [2], стр. 277 – 285, 288 – 291. Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000. Практическое занятие № 4 Тема: Особое решение. Уравнение Клеро Вопросы для обсуждения: 1. Задача Коши существования и единственности решения ДУ 2. Общее решение. 3. Огибающая семейства кривых. 4. Особое решение. 5. Уравнение Клеро. Литература: [1], стр. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [1], стр. 104 – 110. [2], стр. 310 – 318. Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000. Практическое занятие № 5 Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Вопросы для обсуждения: 1. Теорема существования и единственности решения. 2. Уравнения вида 3. Уравнения вида 4. Уравнения вида . Литература: [1], стр. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 316 – 317, № 1, № 3, № 5, № 7. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [1], стр. 104 – 110. Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 316 – 317, № 2, № 4, № 6, № 8. Практическое занятие № 6 Тема: Контрольная работа Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [1], стр. 111 – 123, [2], стр. 319 – 325. Практическое занятие № 7 Тема: Линейные дифференциальные уравнения высших порядков без правой части Вопросы для обсуждения: 1. Определитель Вронского. 2. Фундаментальная система решений ЛДУ. 3. Теорема об общем решении ЛДУ. 4. Понижение порядка ЛДУ. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [2], стр. 325, № 1, № 3, № 5, № 7, № 9, № 11, № 12, [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [1], стр. 123 – 128, [2], стр. 326 – 329. Практическая часть: [2], стр. 325, № 2, № 4, № 6, № 8, № 10, [8], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000. Практическое занятие № 8 Тема: Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с правой частью Вопросы для обсуждения: 1. Теорема об общем решении. 2. Метод вариации произвольных постоянных. Литература: [1], стр. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [2], стр. 329, № 2(1), № 3, № 5, № 7, стр. 341, № 30, № 32, [4], № 000, № 000. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [1], стр. 131 – 140, [2], стр. 329 – 332. Практическая часть: [2], стр. 329, № 2(2), № 4, № 6, стр. 341, № 31, [4], № 000, № 000. Практическое занятие № 9 Тема: Линейные дифференциальные уравнения без правой части с постоянными коэффициентами Вопросы для обсуждения: 1. Характеристическое уравнение. 2. Теорема об общем решении. Литература: [1], стр. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 332, № 1, № 3, № 5, № 7. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [1], стр. 140 – 145, [2], стр. 332 – 341. Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 332, № 2, № 4, № 6, № 8. Практическое занятие № 10 Тема: Линейные дифференциальные уравнения с правой частью с постоянными коэффициентами Вопросы для обсуждения: 1. Метод неопределённых коэффициентов: Литература: [1], стр. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 340 – 341, № 1, № 3, № 5, № 7, № 9, № 11, № 21, № 27. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [1], стр. 140 – 145, [2], стр. 332 – 341. Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 340 – 341, № 2, № 4, № 8, № 12, № 16, № 22, № 24, № 28. Практическое занятие № 11 Тема: Линейные дифференциальные уравнения с правой частью с постоянными коэффициентами Вопросы для обсуждения: 1. Метод неопределённых коэффициентов: . Литература: [1], стр. Задания для самостоятельной работы в аудитории: [4], № 000, № 000, № 000, [2], стр. 340 – 341, № 13, № 15, № 17, № 19, № 23, № 25, № 29, № 33. Домашнее задание: Теоретический материал: Литература: [1], стр. Практическая часть: [4], № 000, № 000, № 000, № 000, [2], стр. 340 – 341, № 6, № 10, № 14, № 18, № 20, № 26, № 34, № 36. Практическое занятие № 12 Тема: Контрольная работа 1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины 1.8.1 Рекомендуемая литература Основная 1. Демидович, Б. П. Дифференциальные уравнения : учеб. пособие / , . - Изд. 3-е, стер. - СПб. : Лань, 2008. 2. Егоров, А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями / . - Изд. 2-е, испр. и доп. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. 3. В. Курс дифференциальных уравнений : учебник / . - 9-е изд., стер. - М. : КомКнига, 2006. Гриф 4. Матвеев, Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений : учеб. пособие / . - изд. 5-е, доп. - СПб. : Лань, 2003. Дополнительная 1. Матвеев уравнения. – М., 1988. 2. , , . Курс математического анализа. т.2 – М., 1966. 3. Школьник уравнения. – М., 1963. 4. , , . Сборник задач по математическому анализу. – 1973. 5. Краснов дифференциальные уравнения. – М., 1988. 6. , Никольский математика. – М., 1981. 7. Пономарёв и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач. – М., 1962. 8. И., , Макаренко задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Высшая школа, 1965. 1.9 Примерные зачётные тестовые задания Контрольная работа № 1 (два варианта) Проинтегрировать уравнения: 1а) 1б) 2а) 2б) 3а) 3б) 4а) 4б) 5а) 5б) Контрольная работа № 2 (два варианта) Решить уравнения: 1.10 Примерный перечень вопросов к экзамену 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия ДУ. Задачи, приводящие к ДУ. 2. Уравнения с разделяющимися переменными. 3. Однородные уравнения. 4. Линейные уравнения. 5. Уравнения Бернулли. 6. Уравнения в полных дифференциалах. 7. Задача Коши существования и единственности решения ДУ Общее решение. 8. Огибающая семейства кривых. Уравнение Клеро 9. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. 10. Теорема существования и единственности решения уравнения . 11. Уравнения вида . 12. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Теорема существования. 13. Линейные ДУ без правой части: определитель Вронского линейно зависимой и линейно независимой системы, существование фундаментальной системы, теорема об общем решении линейного ДУ, понижение порядка линейного ДУ. 14. Линейные ДУ с правой частью: теорема об общем решении, метод вариации произвольных постоянных, 15. ЛДУ без правой части с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, теорема об общем решении. 16. ЛДУ с правой частью с постоянными коэффициентами: . 17. Применение ЛДУ в изучении колебательных явлений 18. Уравнения с частными производными. Основные понятия. Решение уравнений с частными производными. РАЗДЕЛ 2. Содержательный компонент теоретического материала. Наименование тем лекций 1. Основные понятия ДУ. Задачи, приводящие к ДУ. Уравнения с разделяющимися переменными. 2. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. 3. Уравнения в полных дифференциалах. Задача Коши существования и единственности решения ДУ Общее решение. 4. Огибающая семейства кривых. Уравнение Клеро. Теорема существования и единственности решения уравнения . 5. Уравнения вида . 6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия. Теорема существования. Линейные ДУ без правой части. 7. Определитель Вронского линейно зависимой и линейно независимой системы, существование фундаментальной системы, теорема об общем решении линейного ДУ, понижение порядка линейного ДУ 8. Линейные ДУ с правой частью: теорема об общем решении, метод вариации произвольных постоянных. 9. ЛДУ без правой части с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, теорема об общем решении. 10. ЛДУ с правой частью с постоянными коэффициентами: . 11. Применение ЛДУ в изучении колебательных явлений 12. Уравнения с частными производными. Основные понятия. Решение уравнений с частными производными. РАЗДЕЛ 3. Глоссарий Дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные данной функции. Дифференциальное уравнение I порядка – уравнение вида . ОДУ I порядка, разрешённое относительно производной - уравнение вида . Интегральная кривая - график решения дифференциального уравнения. Интегрирование дифференциального уравнение – процесс нахождение его решений. Линейное уравнение I порядка – уравнение, которое может быть записано в виде: , где и - непрерывные функции. Линейное дифференциальное уравнение II порядка (ЛДУ) – уравнение вида . Линейное дифференциальное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами - уравнение вида , где и - некоторые числа, - функция переменной . Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) – уравнение, связывающее функцию одной переменной, саму переменную и производные различных порядков . Обозначение: . Общее решение ОДУ – такое решение , которое является функцией от переменной и произвольных постоянных . Общее решение ЛДУ II порядка – это решение, содержащее две произвольные постоянные: . Общее решение однородного ЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: а) если и характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , то общее решение запишется ; б) если и характеристическое уравнение имеет два равных корня , то общее решение запишется ; в) если и характеристическое уравнение имеет два различных комплексных корня , то общее решение запишется . Однородная функции -го порядка – это функция , которая при подстановке вместо и соответственно и , удовлетворяет равенству . Однородная функция нулевого порядка – это функция , которая при подстановке вместо и соответственно и , удовлетворяет равенству . Однородное ЛДУ II порядка – уравнение вида . Порядок ОДУ – наивысший порядок производных, входящих в уравнение. Решение дифференциального уравнения – это функция , которая при подстановке её и её производных в уравнение обращает его в тождество. Степень ОДУ – показатель степени производной наивысшего порядка, входящей в ОДУ. Уравнения с разделяющимися переменными – уравнения, которые могут быть записаны в виде: или Характеристическое уравнение для однородного ЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами - квадратное уравнение вида . Частное решение ОДУ – решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных значениях постоянных. РАЗДЕЛ 4. Практикум по решению задач УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: Решение: ; ; ; -  это общий интеграл данного дифференциального уравнения, т. к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2) = 1. Решение: ; ; ; ; . При у(2) = 1 получаем Итого: или - частное решение; Проверка: , итого - верно. Пример. Решить уравнение Решение: ; ; ; ; - общий интеграл, - общее решение Пример. Решить уравнение Решение: Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0. Решение: ; . Если у(1) = 0, то Итого, частный интеграл: . Пример. Решить уравнение . Решение: ; ; ; ; Получаем общий интеграл: . Пример. Решить уравнение Решение: Преобразуем заданное уравнение: ; ;; . Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение. Пример. Решить уравнение . Решение: ; ; ; ; Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда: Получаем частное решение ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ Пример. Решить уравнение . Решение: Пусть . Отметим, что u всегда положительна, т. к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее . Тогда Разделяем переменные: Интегрируя, получаем: откуда общее решение УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ. Пример. Решить уравнение Решение: Находим значение определителя . Решаем систему уравнений Применяем подстановку в исходное уравнение: Заменяем переменную при подстановке в выражение, записанное выше, имеем: . Разделяем переменные: ; ; Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х. Итак, выражение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Пример. Решить уравнение Решение: Приведем данное уравнение к стандартному виду: Применим полученную выше формулу: , тогда Пример. Решить уравнение Решение: Разделим уравнение на xy2: Полагаем .. Пусть Тогда , Пример. Решить уравнение Решение: Разделим обе части уравнения на Полагаем Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение: Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что: Получаем: Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ: Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями: Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение. Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид: Дифференцируя, получаем: Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение: ; ; Итого, общее решение: C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C: Окончательно получаем: УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пример. Решить уравнение с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1; Решение: . Подставим начальные условия: Получаем частное решение (решение задачи Коши): . Пример. Решить уравнение Решение: Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения: Общее решение однородного уравнения: Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде: Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Подставляя в исходное уравнение, получаем: Частное решение имеет вид: Общее решение линейного неоднородного уравнения: