Задание 1: Найти указанные пределы

Задание 1: Найти указанные пределы.

Задание 2: Найти производные функций.

а); б); в);

― продифференцируем это выражение:

-sin(xy)(ydx+xdy)-2dx=0, или –sin(xy)xdy=2dx+sin(xy)ydx

Тогда

Задание 3:

Представить комплексные числа a, b, и c, в показательной форме и вычислить выражение , . Ответ записать в алгебраической форме.

a = – 4 – 4i, b = – + i, c = – 4 + 4i.

Решение. Пользуясь формулами , вычисляем:

, ,

Тогда

Нет необходимости использовать формулу Муавра, так как результат чисто действительный, без мнимой части.

Задание 4:

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = f(x,y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

1. 

Решение. Имеем треугольную область определения

Можно найти экстремальную точку функции Z в этой области:

,

Таким образом, экстремальная точка будет при

, откуда х=0, у=0, эта точка входит в область определения нашей функции, поэтому

Найдём значения функции на границах области: Z(1, 0)=1, Z(1, 1)=-1

Подставив х=1, получим Z=3-2-у-у2. Найдём экстремум этой функции: , откуда у=-1/2, но эта точка находится за границами определяемой области.

Подставив у=0, получим Z=3-2х2. Найдём экстремум этой функции: , откуда х=0, тогда , что было получено выше

Подставим у=х, получим Z=3-2x2-х2-х2=3, в таком случае экстремума нет вообще.

Таким образом, имеем ,

Задание 5:

Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

а) ; б) ; в)

Сравнивая полученный результат с дробью, которая была до разложения, убеждаемся, что

, откуда А=8 и , откуда B=4, C=-1

Тогда

Проверим это:

У нас получилась в точности подынтегральная функция, следовательно, мы решили правильно

― введём такую подстановку:

Тогда

Проверим это:

У нас получилась в точности подынтегральная функция, следовательно, мы решили правильно

― возьмём этот интеграл по частям

Формула выглядит следующим образом: . За U примем , за .

Тогда , V=.

Имеем: .

К оставшемуся интегралу применим тот же приём

За U примем , за .

Тогда , V=.

Проверим это:

У нас получилась в точности подынтегральная функция, следовательно, мы решили правильно

Задание 6: Вычислить определенный интеграл.

Задание 7:

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Т. е., этот интеграл существует

Задание 8:

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле, сделать чертеж области интегрирования.

Решение. Найдем область интегрирования

Видно, что область ограничена точками (-4, 0), (-4, 0,7937), (0, 0), а также соответствующими кривыми.

Если переделывать порядок интегрирования, то необходимо разделить область интегрирования на 2 части прямой х=-4. Тогда кривые будут соответственно ,

Имеем:

Задание 9:

Вычислить криволинейный интеграл:

вдоль параболы у=2х2 от начала координат до точки А (1; 2)

Решение. Так как уравнение y(x) известно, то найдём , тогда наш интеграл

Если выражать , то , и наш интеграл есть

Задание 10:

Найти общее решение дифференциального уравнения.

14. а)

б) ); ,

А) Решение. Используем такую замену: y=uv, тогда

, тогда , или

Подберём такую функцию u, чтобы

. Имеем: или , откуда lnu=ln(x2+1), или .

Теперь , откуда , или

, и исходная функция . Это общее решение.

Б) Решение. Используем такую замену: y=uv, тогда

, тогда , или

. Подберём такую функцию u, чтобы

. Имеем: , откуда lnu=-2lnx, или .

Теперь , откуда . Отсюда , и исходная функция

. Это общее решение. Подставим х0=3, получим

, следовательно, и искомое частное решение есть

Задание 11

Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

1.

Решение. Решение однородного уравнения можно искать в виде , так как характеристическое уравнение r2-2r+1=0 имеет два действительных вырожденных корня r=1.

Найдём теперь частное решение неоднородного уравнения

в виде у*=Ax2ехр(х), так как exp(x) соответствует двукратно вырожденному корню однородного уравнения. Первая производная есть у’*=exp(x)(Ax2+2Ax), вторая производная ― у’’*= exp(x)(Ax2+2Ax+2Ax+2A)=exp(x)(Ax2+4Ax+2A)

Конструируем исходное уравнение:

exp(x)(Ax2+4Ax+2A-2Ax2-4Ax+Ax2)=2Aexp(x)=16exp(x), откуда, естественно, A=8

Отсюда общее решение исходного неоднородного уравнения есть

. Подставим х=0, получим , т. е., С1=1

Найдём первую производную нашего общего решения:

, подставим туда х=0:

или C2=1, искомое частное решение исходного неоднородного уравнения есть

Задание 12

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений операционным методом.

Решение. Так как начальные условия не заданы, то составим характеристическую матрицу , приравняем её определитель нулю:

Имеем квадратное секулярное уравнение: λ2-1-3=0, у него два корня λ=-2 и λ=2.

Найдём собственные векторы, соответствующие этим значениям. Пусть λ=2, тогда имеем матричное уравнение , откуда α1=3α2, и собственный вектор есть

Пусть λ=-2, тогда имеем матричное уравнение , откуда α1=-α2, и собственный вектор есть

То есть, общее решение ищем в виде , где А ― матрица коэффициентов уравнения, z ― её собственная матрица

, где α ― некоторое произвольное число, не равное нулю.

Можно это проверить:

С другой стороны, имеем