Вариант №2
Контрольная работа № 1
№ 1
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
2. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
Решение:
а) 
Здесь сталкиваемся с неопределенностью вида 
.
Наивысшая степень в числителе и знаменаВынесем старшую степень за скобки, получим:
б) 
;
При подстановке в выражение под знаком предела вместо х его предельного значения получаем неопределенность вида 
.
Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю:
в) 
г) 
При вычислении этого предела используем второй замечательный предел. Но сначала выполним преобразования под знаком предела:
Ответ: а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
№ 2
Задана функция 
. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
12. 
Решение:
Функция 
определена и непрерывна на интервале 
функция 
определена и непрерывна на интервале 
функция 
определена и непрерывна на интервале 
Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки 
и 
, где функция меняет своё аналитическое выражение.
Исследуем точку 
:
Таким образом, односторонние пределы в точке существуют, конечны, но не равны между собой. По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода. Величина скачка функции в точке разрыва
равна 
Перейдем к точке 
:
Т. к. односторонние пределы в точке совпадают, значит, функция f(x) в точке непрерывна.
Сделаем чертёж:
№ 3
Найти производные данных функций.
22. а) 
; б) 
; в) 
г) 
; д) 
Решение:
а) Будем использовать формулу: 
б) Будем использовать формулу 
а затем правило дифференцирования частного:
в)
г) 
д)
Так как зависимость между переменными x и y задана в неявном виде, то для нахождения производной достаточно продифференцировать обе части уравнения, считая у функцией от х, и из полученного уравнения найти 
:
Ответ:
а) 
;
б) 
в) 
г) 
д) 
№ 4
32. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке 
.
Решение:
Находим критические точки:
Поделим уравнение на 5:
В интервал попадают только точки 
.
Найдём значение функции в точках и на границах интервала:
Т. е. наибольшее значение функции 
;
наименьшее значение функции 
Ответ: Наибольшее значение ,
наименьшее значение
№ 5
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
42. 
Решение:
1) Область определения функции – вся числовая прямая, то есть 
.
Функция непрерывна во всей её области определения. Следовательно, нет ни точек разрыва, ни вертикальных асимптот.
2) Точки пересечения с осями координат:
С осью ОY: х=0,
, точка (0;-5,95)
С осью ОX: y=0, 
x1=7
точки пересечения c осью ОX: (7;0), (1;0), (17;0)
3) Функция ни чётная ни нечётная, так как:
4) Экстремумы и интервалы монотонности. Вычисляем первую производную:
.
Получили две критические точки: 
. Исследуем знак производной на интервалах (- ∞; 
), (; 13), (13; + ∞), на которые критические точки делят область определения функции.
На интервалах (-∞;) и (13; +∞) функция возрастает, на интервале (; 13) – убывает. При переходе через критическую точку 
производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум. 
. При переходе через критическую точку х=13 производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, в этой точке функция имеет минимум 
.
5) Интервалы выпуклости и точки перегиба.
Найдём вторую производную:
. Из уравнения 
получим 
.
Нашли критическую точку: 
. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции.
Определяем знак второй производной в каждом из интервалов: 
, 
.
Таким образом, кривая выпукла на интервале 
и вогнута на интервале 
, а – точка перегиба.
;
6) Найдём наклонные асимптоты.
Наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, если существуют конечные пределы: 
, 
;
.
Таким образом, функция не имеет наклонных асимптот.
7. Строим график функции:
№ 6
Найти полный дифференциал функции двух переменных.
52. 
Решение:
Полным дифференциалом функции 
называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т. е. 
По формуле полного дифференциала находим:
Ответ:
№ 7
Дана функции 
, точка 
и вектор а. Найти:
1) 
в точке A;
2) производную в точке А по направлению вектора 
.
62. 
; А(2;1) 
Решение:
1) Градиент для функции двух переменных находится по формуле: 
Вычислим 
В произвольной точке P(x;y):
В точке А(2;1):
2) Производная функции z по направлению - это алгебраическая проекция вектора 
на направление :
где 
- угол между векторами и .
Поскольку 
то в точке A получаем 
В пункте 1) был найден 
; направление задано вектором 
, тогда производная в точке А по направлению вектора имеет вид:
Ответ:
1) 
;
2) 
Литература:
1) и др. "Математический анализ в вопросах и задачах", 2001.
2) , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. I.— 4-е изд., испр. и доп.— M. Высш. шк., 1986.—304с, ил.
3) "Конспект лекций по высшей математике", 2005
