1.7. Повторение испытаний и формула Бернулли
При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых эксперимент повторяется неоднократно. В результате каждого эксперимента может появиться или не появиться событие А. При этом нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Если опыты независимы, то задача решается достаточно просто.
Несколько опытов называются независимыми, __________________________
________________________________________________________________________
Например, несколько последовательных бросаний монеты представляют собой независимые опыты. Несколько последовательных взятий карты из колоды представляют собой независимые опыты при условии, что вынутая карта каждый раз возвращается в колоду и карты перемешиваются; в противном случае – это зависимые опыты.
Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события А во всех опытах одна и та же. Во втором случае вероятность события А от опыта к опыту меняется.
Если производится 
независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 
, а не появляется с вероятностью 
, то вероятность того, что в этих 
опытах событие появится ровно 
раз вычисляется по формуле Бернулли:
___________________________________________________
При больших значениях пользоваться формулой Бернулли достаточно трудно. В этом случае применяется теорема Муавра-Лапласа:
Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность 
того, что событие А появится в независимых испытаниях ровно раз приближенно равна (чем больше , тем точнее):
.
2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайной величиной называется______________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Множества вида 
являются событиями. Иногда для таких событий используется более короткое обозначение 
.
2.1. Дискретные случайные величины
Случайная величина называется дискретной,____________________________
________________________________________________________________________
Распределение дискретной случайной величины обычно задается таблицей, в которой 
.
| ||||
Равномерное дискретное распределение сосредоточено в конечном числе точек и мера каждой точки постоянна. Оно задается таблицей
| |||
Бернуллиевской называют случайную величину, принимающую два значения:
Таким образом, ее распределению соответствует следующая таблица:
| ||
Биномиальное распределение возникает при проведении последовательности испытаний. Оно задается формулой Бернулли:
________________________________________________________________________
Геометрическое распределение при проведении последовательности испытаний является распределением числа испытаний, необходимых для получения первого успеха. Оно задается формулой:
________________________________________________________________________
Гипергеометрическое распределение моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности. Оно определяется выражением:
________________________________________________________________________
Говорят, что случайная величина имеет пуассоновское распределение с параметром 
, если она принимает целые неотрицательные значения со следующими вероятностями:
________________________________________________________________________
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
Распределение Пуассона получается как предельный случай биномиального распределения, если устремить к нулю, а к бесконечности, но так, чтобы их произведение оставалось постоянным: 
.
2.2. Непрерывные случайные величины
Случайная величина 
называется абсолютно непрерывной, ______________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Функция 
, обладающая такими свойствами, называется плотностью распределения случайной величины .
Равномерное распределение задается плотностью:
Равномерное распределение в интервале 
характеризуется тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины. Оно возникает как распределение ошибок при округлениях чисел.
Показательное (экспоненциальное) распределение возникает как распределение времени между двумя последовательными свершениями одного и того же события (времени ожидания совершенно случайного события). Его плотность имеет вид:
Нормальное распределение 
(распределение Гаусса) играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию большого числа случайных помех. Такая ситуация очень распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение. Его плотность имеет вид:
Особое место занимает стандартное нормальное распределение 
с плотностью:
Распределение 
(хи-квадрат) с степенями свободы — это распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин.
Распределение Стьюдента (t-распределение) используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения.
Распределение Эрланга часто возникает в теории надежности как распределение суммы независимых случайных величин, имеющих одно и то же показательное распределение с параметром 
.
2.3. Функция распределения случайной величины
Функцией распределения случайной величины называется ______________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Приращения функции распределения имеют очень простой смысл:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Имеют место следующие общие свойства функций распределения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
В дискретном случае функция распределения ступенчатая: _____________________
В непрерывном случае функция распределения определяется следующим образом:
________________________________________________________________________
