Пример оценки бизнеса методом сравнения (стр. 3 )

Пусть дана система

, в матричном виде  АХ=В

  (4.12)

Если , а также ведущие элементы  i = 2, 3, …, n, остальных строк, получаемые в процессе вычислений, отличны от нуля, то выше отмеченная система приводится к треугольному виду:

    (4.13)

и может быть записана в матричном виде U X = Y, где U - верхняя треугольная матрица. После построения матриц U и Y можно использовать обратную подстановку, чтобы решить систему UX=Y для Y.

  (4.14)

Ведущие элементы  и коэффициенты системы находятся с помощью ниже следующих формул

,   (4.15)

где: k+1_ j _ n+1, k+1 _ i _ n+1, k =1,2…,n.

Обратный ход можно совершить иначе, если обратить в нуль и все коэффициенты, лежащие выше главной диагонали. Например, элементы k-го столбца обращаются в нуль, если  умножить на и сложить с соответствующей строкой. Аналогично обращаются в нуль и все остальные столбцы. Если, кроме того, разделить затем каждое уравнение на соответствующий элемент, стоящий на главной диагонали, то матрица системы становится единичной.

Таким образом, после ряда последовательных преобразований методом последовательных исключений (метод Гаусса) получаем систему в виде таблицы №10.

Таблица системы уравнений (4.6) (матричная форма) после преобразования по методу Гаусса в общем виде.

(Таблица №10)

w1	w2	…	wn	l1	l2	_1	_2	…	_n
1	0	…	0	0	0	C11	C12	…	C1n
0	1	…	0	0	0	C21	C22	…	C2n
…	…	…	…	….	…	…	…	…	…
0	0	…	1	0	0	Cn1	Cn2	…	Cnn
0	0	…	0	1	0	Cn+1,1	Cn+1,2	…	Cn+1,n
0	0	….	0	0	1	Cn+2,1	Cn+2,n	…	Cn+2,n

Поскольку на неизвестные l1 и l2 нет никаких ограничений, можно вычеркнуть два столбца, соответствующие этим значениям, и последние две строи. Получим систему линейных уравнений, записанную в ниже следующей таблице:

(Таблица №11)

w1	w2	…	wn	_1	_2	…	_n
1	0	…	0	C11	C12	…	C1n
0	1	…	0	C21	C22	…	C2n
…	…	…	…	…	…	…	…
0	0	…	1	Cn1	Cn2	…	Cnn

Согласно теоремы Каруша-Джона , в точке локального минимума функция  достигает условный экстремум на множестве, в качестве которого выступают условия (4.3). При этом сама функция и ограничения дифференцируемы точке локального экстремума.  Тогда существуют такие множители Лагранжа, при которых выполняются условия для отмеченного ограничения:  _iwi= 0, j =1,..n. Равенство _iwi= 0, j=1,..n принято называть условиями дополняющей нежёсткости или условием комплиментарности, которое говорит о том, что недействующие ограничения имеют нулевой множитель.

Следовательно, учитывая, что _iиwiявляются точками локального экстремума, то решения заданной системы уравнений должны удовлетворять условиям (4.6).

Таблица рыночных цен акций компаний-аналогов на Нью-wоркской фондовой бирже (NYSE), доллары США.

В ниже следующей таблице приводятся рыночные значения акций американских металлургических компаний аналогов, котирующихся в Нью-wорской фондовой бирже (NYSE).

(Таблица №12)

№ п/п	Дата	GERDAU	NUE	NX	SCHN	TONS
1.	Ноябрь 2003 г.	16,49	56,11	39,53	54,22	8,41
2.	Декабрь 2003 г.	20,22	56,00	46,10	60,5	13,49
3.	Январь 2004 г.	20,92	56,31	44,72	44,95	14,85
4.	Февраль 2004 г.	21,61	62,90	46,55	48,29	16,25
5.	Март 2004 г.	23,30	61,48	42,49	31,88	21,74
6.	Апрель 2004 г.	21,02	59,40	40,80	26,27	18,02
7.	Май 2004 г.	10,62	65,85	44,55	27,66	20
8.	Июнь 2004 г.	12,12	76,76	48,70	33,96	25,22
9.	Июль 2004 г.	14,22	83,65	45,50	30,93	23,74
10.	Август 2004 г.	16,45	78,29	46,08	28,1	24,15
11.	Сентябрь 2004 г.	16,35	91,37	51,28	32,35	23,82
12.	Октябрь 2004 г.	14,76	42,23	50,70	28,25	22,55
13.	Ноябрь 2004 г.	16,07	42,88	50,66	28,50	22,79

Далее подставляя значения формул (4.7) – (4.11), на основе которых рассчитываются доходности акций и значения их ковариаций в систему уравнений (4.5) и запишем систему (4.5) в матричной форме в виде таблицы №13.   

Таблица системы уравнений (4.5) (матричная форма) после преобразования по методу Гаусса исходных значений.

(Таблица №13)

w1	w2	w3	w4	w5	l1	l2	_1	_2	_3	_4	_5	Свободные члены	Базисные перемен-ные.
0,802	0,066	-0,024	0,015	0,287	1,000	0,161	-1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	l1
0,066	0,768	0,102	0,312	0,166	1,000	-0,007	0,000	-1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	l2
-0,024	0,102	0,134	0,253	0,174	1,000	0,310	0,000	0,000	-1,000	0,000	0,000	0,000	_1
0,015	0,312	0,253	0,703	0,173	1,000	-0,500	0,000	0,000	0,000	-1,000	0,000	0,000	_2
0,287	0,166	0,174	0,173	0,973	1,000	1,340	0,000	0,000	0,000	0,000	-1,000	0,000	_3
1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	1,000	_4
0,161	-0,007	0,310	-0,500	1,340	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,200	_5

Таким образом, после ряда преобразований методом последовательных исключений (метод Гаусса), алгоритм которого представлен выше в последовательности формул (4.11) – (4.15), получаем систему, представленную в виде таблицы №14.

Таблица системы уравнений (4.4) (матричная форма) после преобразования по методу Гаусса.

(Таблица №14)

w1	w2	w3	w4	w5	l1	l2	_1	_2	_3	_4	_5	Свободные члены	Базисные переменные.
1	0	0	0	0	0	0	-1,025	0,238	0,436	0,239	0,113	0,210	-1,025
0	1	0	0	0	0	0	0,238	-1,531	0,722	0,564	0,007	0,083	0,238
0	0	1	0	0	0	0	0,436	0,722	-5,848	2,467	2,223	1,232	0,436
0	0	0	1	0	0	0	0,239	0,564	2,467	-1,947	-1,322	-0,265	0,239
0	0	0	0	1	0	0	0,113	0,007	2,223	-1,322	-1,020	-0,259	0,113
0	0	0	0	0	1	0	-0,252	-0,090	-1,129	0,131	0,339	-0,077	-0,252
0	0	0	0	0	0	1	0,209	0,034	-0,515	0,673	-0,401	0,065	0,209

Поскольку в нашем случае система имеет семь уравнений и десять неизвестных, то система имеет бесконечное число решений. В нашем случае искомыми переменными являются w1, w2, w3, w4, w5, при соблюдении граничных условий _iwi= 0, _i e 0, wi e 0, i =1,2 …, n. Тогда в свою очередь, используя _1, _2, _3, _4, _5 как некие константы, которые должны быть по возможности все равны нулю, тем самым, выполняя условия присутствия в портфеле всех активов (акций компаний аналогов) и задавая для них значения, Оценщики получают искомые значения для w1, w2, w3, w4, w5.

В нашем случае краевые условия для создания портфеля с минимальным риском и с заданным значением доходности r =20% выполняются при значениях wj и _j, представленных в таблице №14.

Таблица значений переменных, определяющих условия дополняющей нежёсткости (комплиментарности).

    (Таблица №15)

_1	_2	_3	_4	_5
0	0	0	0	0,254
w1	w2	w3	w4	w5
0,1816	0,081	0,667	0,0705	0,000

Как видно компания аналог Novamerican steel Inc. не участвует при формировании оптимального портфеля («выпадаетl), поскольку данный актив (компания) не позволяет достичь через альтернативную смесь портфеля, доходности  акций данной компании аналога.

Следовательно, присваивая удельные веса wj к полученным мультипликаторам компаний аналогов, с учётом выше приведённых поправок, Оценщики, таким образом, учитывают риск при расчёте некой средней величины мультипликатора, на основе которого в свою очередь уже рассчитывается рыночная стоимость оцениваемой компании.

Таблица Результаты расчета поправок к капитализации компаний-аналогов.

(Таблица №16)

№ п/п	Наименование.	GGB	NUE	NX	SCHN	TONS
1.	Страна	Бразилия	США	США	США	США
2.	Поправка на коэффициент премии за контроль.	1,3	1,3	1,3	1,3	1,3
3.	Поправка на собственный оборотный капитал (NWC), млн. $	301	990	92,7	72,4	88,1
4.	Капитализация с учётом поправок, млн. $.	6 619,0	1 1624,0	1 303,87	1 463,40	363,04

Таблица Результаты расчета поправок к мультипликатору Капитализация / Себестоимость за 9 месяцев для компаний-аналогов

(Таблица №17)

№ п/п	Наименование.	GGB	NUE	NX	SCHN	TONS
1.	Страна	Бразилия	США	США	США	США
2.	MC / Costs 9 month	2,562	2,585	2,003	4,724	1,208
3.	Износ основных фондов, %	35	42	57	25	27
4.	Абсолютная поправка на износ основных фондов.	-0,363	0,304	0,67	-0,17	-0,274
5.	Относительная поправка на коэффициент странового риска.	0,980*	0,594	0,594	0,594	0,594
6.	MC / Costs 9 month с учётом выше приведённых поправок.	2,155	1,716	1,587	2,708	0,554
7.	Удельные веса для полученных мультипликаторов компаний-аналогов.	0,1816	0,081	0,667	0,0705	0,000
8.	Средневзвешенное значение MC / Costs 9 month.	1,78

*) - Поскольку 44% объёма производства Бразильской компании Gerdau, SA приходится на Северную Америку (США) и оставшиеся 56% на Бразилию, следовательно, Оценщики рассчитали средневзвешенное значение коэффициента странового риска по отношению к объёму производства двух выше указанных стран, значение, которого равно:

1,29 x 0,56 + 0,594 x 0,44 = 0,98.

Таким образом, авторы данной статьи рассчитали  среднерыночное значение мультипликатора (MC/Costs9month), равного отношению рыночной стоимости оцениваемой металлургической компании (MC) к величине себестоимости за 9 месяцев на основе данных американского фондового рынка, значение которого равно 1,78.


Список используемой литературы.

1.  , , . Финансовые инвестиции. Финансы и статистика, Москва, 2003 год.

2.  . Методы оптимизации. Факториал Пресс, Москва, 2002 год.

3.  . Численные методы. Издательство «ЛАНЬ», Санкт-Петербург, Москва, 2004 год.

4.  ёва, , ёмных. Количественные методы в экономических исследованиях, Юнити, Москва, 2004 год.

5.  , . Оценка бизнеса, Финансы и статистика, Москва, 2003 год.

6.  , , ёмных. Математические методы в экономике. «Дело и Сервис», Москва, 2004 год.

7.  , методы в примерах и задачах. «Высшая школа», Москва, 2004 год.

8.  . Математические исследования операций в экономике. Издательский дом «Питер», Санкт-Петербург, 2002 год.

9.  , , . Математические методы и модели в экономике. ТетраСистемс, Минск, 2002 год.

10.  . Финансовая математика. «Дело», Москва, 2001 год.

11.  Юджин Бригхем, Луис Гапенски. Финсовый менеджмент. Экономическая школа, Санкт-Петербург, 2001 год.

12.  Ричард Брейли, Стюарт Майерс. Принципы корпоративных финансов. –Бизнес», Москва, 2004 год.

13.  Кристофер Доугерти. Введение в эконометрику. ИНФРА-М, Москва, 2001 год.

14.  Том Коупленд, Тим Колер, Джек Мурин. Стоимость компаний. Оценка и управление. -БИЗНЕС», Москва, 2002 год.

15.  Лутц Крушвиц. Инвестиционные расчёты. Издательский дом «Питер», Санкт-Петербург, 2001 год.

16.  Л. Крушвиц, Д. Шеффер, М. Шваке. Финансирование и инвестиции. Издательский дом «Питер», Санкт-Петербург, 2001 год.

17.  Франко Модильяни, Мертон Миллер. Сколько стоит фирма? Издательство «Дело», Москва, 1999 год.

18.  Мэтьюз, Финк. Численные методы. Издательский дом «Вильямс», Москва, Санкт-Петербург, Киев, 2001 год.

19.  Т. Дж. Уотшем, К. Паррамоу. Количественные методы в финансах. Юнити, Москва, 1999 год.

20.  Фрэнк Дж. Фаббоци. Управление инвестициями, Инфра-М, Москва, 2001 год.

21.  Холт, Барнес. Планирование инвестиций. Издательство «Дело ЛТД», Москва, 1994 год.

22.  Ван Хорн, Вахович. Основы финансового менеджмента. Издательский дом «Вильямс» Москва, Санкт-Петербург, 2001 год.

23.  Ли, Финнерти. Финансы корпораций: теория, методы и практика. Инфра-М, Москва, 2000 год.

24.  Шарп, Гордон Дж. Александр, Бэйли. Инвестиции. Инфра-М, Москва, 1999 год.