Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

  • 30% recurring commission
  • Выплаты в USDT
  • Вывод каждую неделю
  • Комиссия до 5 лет за каждого referral

.Задания С1. Системы тригонометрических уравнений.

Выступление на школьном МО, практическое занятие с учителями математики.

Учитель математики .

  При решении тригонометрических систем часто бывает непросто сделать первый шаг, найти "ключ" к решению задачи. Какие-то общие рекомендации дать нельзя. Можно лишь посоветовать стараться применять такие преобразования уравнений системы, которые приводят к появлению тригонометрических функций одного аргумента или хотя бы не увеличивают число функций с разными аргументами.

При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в алгебре ( замены, подстановки, исключения и т. д. ), а также известные методы и формулы тригонометрии. Рассмотрим некоторые примеры.

Рассмотрим некоторые типы систем тригонометрических уравнений и укажем наиболее употребительные методы решения систем, основываясь на общей теории систем уравнений.

Замечание. Обратим внимание на типичную ошибку, которую допускают учащиеся и абитуриенты при записи решений систем тригонометрических уравнений. Дело в том, что параметры  и  появляются при решении разных уравнений системы и независимы друг от друга. Поэтому эти параметры должны обозначаться разными буквами. Обозначение их одним символом ведет к потере решений.

В некоторых случаях системы тригонометрических уравнений можно свести к алгебраическим системам.

Приступая к решению системы тригонометрических уравнений, целесообразно вначале проверить, нельзя ли непосредственно из какого-либо уравнения системы выразить одно из неизвестных через другие.

П р и м е р  1 .  Решить систему уравнений:

П р и м е р  2 .  Решить систему уравнений:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

 

Р е ш е н и е.  Складывая и вычитая эти два уравнения, получим:

 

  Рассмотрим отдельно каждую из ветвей второго уравнения:

 

П р и м е р  3 .  Решить систему уравнений:

{

sin x cos y = 1/2

cos x sin y = - 1/2

Решение.

Складывая и вычитая уравнения системы, получаем:

\left\{ 

равносильную данной. Эту систему можно записать в виде

\left\{

Oткуда находим: \left\{ где n \in Z, \; \; k \in Z, откуда следует, что

x y\, =\, -\, \frac{\pi }{4} + \pi \left( {\frac{n}{2} \,-\, k} \right).  

Ответ: xy\, =\, -\, \frac{\pi }{4} + \pi \left( {\frac{n}{2} \,-\, k} \right).

П р и м е р  4. Решить систему уравнений: \left\{ \begin{gathered} 6\sin x\cos y + 2\cos x\sin y = - 3, \hfill \\ 5\sin x\cos y - 3\cos x\sin y = 1. \hfill \\ \end{gathered} \right.

Решение

Полагая \sin x\cos y = u, \; \; \cos x\sin y = v, получаем систему уравнений

\left\{ 

откуда u.

Исходная система равносильна каждой из следующих систем:

откуда следует, что x .

Ответ:

П р и м е р  5. Решить систему уравнений

\left\{ 

Решение

Полагая \sin x = u, \; \; \sin y = v , получаем алгебраическую систему

\left\{ 

равносильную системе

\left\{откуда находим u \,=\, \frac{1}{2}, \; \; v \,=\, -\, \frac{1}{2}.

Таким образом, \sin, откуда

x, y = \left( { - 1} \right)^{k + 1} \frac{\pi }{6} + \pi k, n \in Z, k \in Z.

Ответ: x, y = \left( { - 1} \right)^{k + 1} \frac{\pi }{6} + \pi k, n \in Z, k \in Z

П р и м е р  6. Решить систему уравнений:

Решение:

Мы знаем основное тригонометрическое тождество: sin²y +cos²y = 1.
Возводим оба уравнения в квадрат и получаем:

(x – 6)² + (x – 7)² = 1

Решаем это уравнение и получаем два корня : x = 6 и x = 7.

Поставляем в исходную систему x = 6:
sin y = 0,

cos y = – 1, отсюда y = π + 2πn, nZ.


Поставляем в исходную систему x = 7:
sin y = 1,

cos y = 0, отсюда

Ответ: х =6; y = π + 2πn, nZ.

х=7;

П р и м е р  7. Решить систему уравнений:

cosY√(sinX)=0

2sin2x=2cos2y+1 

  ОДЗ:  sinx ≥ 0,  т. е. xc I, II четверти

1) sinx =0 

  2*0 = 2cos2 y +1  -->  cos2 y = –0,5 - решений нет.

2) cosy = 0  -->  y = п/2 + 2пk, kc Z или  y= – п/2 + 2пk не удовл. ОДЗ.

  2sin2 x = 1,  sinx = 1/√2  (т. к. sinx>0) x = (-1)k п/4 +пk,  kc Z.

Ответ: x = (-1)k п/4 +пk,  kc Z, y = п/2 + 2пk, kc Z . 

П р и м е р  8. ). Решите систему уравнений:

{

tg x + tg y = 1 - tg x tg y

(1)

sin 2y - 2sin x = 1

(2)

  Решение. Исходная система имеет смысл лишь в случае, когда определены функции tg x и tg y, т. е. выполняются условия

cos x ≠ 0, cos y ≠ 0.  (3)

  Рассмотрим первое уравнение. Естественно было бы разделить обе его части на 1 - tg x tg y и воспользоваться формулой тангенса суммы. Тогда уравнение (1) можно было бы переписать в виде:

tg (x+y) = 1  (4)

но при этом мы можем потерять те решения системы (1), (2), для которых

1 - tg x tg y = 0  (5)

Однако легко убедиться в том, что система (1), (2), (5) не имеет решений. В самом деле, если бы существовали решения этой системы, то из уравнений (1) следовало бы, что tg x + tg y = 0. Но тогда уравнение (5) приняло бы вид 1+tg2y=0, и следовательно, оно бы решений не имело.

  Таким образом, исходная система пир условии (3) равносильна системе (2), (4).

  Из уравнений (4) находим x + y = П/4 + Пn, т. е.

y = П/4 + Пn - x, n  Z  (6)

  Теперь найденное для y выражение подставим в уравнение (2) исходной системы:

sin (П/2 - 2x + 2Пn) - 2 sin x = 1.

  Полученное уравнение приводится к виду sin x (2 sin x + 2) = 0, откуда

а) sin x = 0, x = Пm, m  Z

б) sin x = -2/2

x = (-1)k+1П/4 + Пk, k Z.

  По формуле (6) определяем соответствующие значение y. Для серии а)

y = П/4 + П(n - m), n, m Z  (7)

для серии б)

y = П/k+1П/4 + П(n - k), n, k  Z  (8)

  Значения (x, y) из формулы (7) удовлетворяют условию (3). Для серии (8) требуется дополнительное исследование. Если sin x = - 2/2, то cos x ≠ 0, так что первое неравенство условия (3) заведомо выполнено. Второе неравенство  cos y ≠ 0 выполняется не всегда.

  Если k - четное число, т. е. k = 2p, где p Z, то по формуле (8) находим y = П/2 + П(n - 2p). Для этих значений y условие (3) не выполняется. Если же k - нечетное число, т. е. k = 2p-1, где p Z, то y = П(n - 2p + 1) и условие (3) выполнено. Соответствующие зжначения x находим по формуле б): x = - 3П/4 + 2Пp.

  Ответ: (Пm; П/4+П(n - m)), (- 3П/4 + 2Пp; П(n - 2p_1)), m, n,p  Z.

П р и м е р  9. Решите систему уравнений:

{

cos x - sin x = 1 + cos y - sin y

3sin 2x - 2sin 2y = 3/4

(10)

  Решение. Воспользуемся тождеством

(sin x - cos x)2 = 1 - sin 2x

и обозначим

cos x - sin x = u, cos y - sin y =v  (11)

тогда

sin 2x = 1 - u2, sin 2y = 1 - v2

и система (10) сводится к алгебраической системе

{

u = 1 + v

3u2 - 2v2 = 1/4

(12)

  Система (12) имеет два решения:

u1 = - 9/2, v1 = - 11/2 и u2 = 1/2, v2 = - 1/2

  Рассмотрим вначале значения u1, v1. Возвращаясь к исходным переменным, по формулам (11) получаем:

{

cos x - sin x = - 9/2

cos y - sin y = -11/2

(13)

  Но уже первое уравнение системы (13) решений не имеет, так как

cos x - sin x = 2 cos (x + П/4) ≥ -2 > - 9/2.

  Следовательно система (13) решений не имеет.

  Рассмотрим теперь значение u2 и v2. Вновь по формулам (11) получим

{

cos x - sin x = 1/2

cos y - sin y = -1/2

(13)

  Для первого уравнения находим

co x 1/2 - sin x 1/2 = 1/22, cos (x + П/4) = 1/22, x + П/4 = ± arccos(1/22) + 2Пn,  x = - П/4 ± arccos(1/22) + 2Пn.

Точно так же получаем

y = - П/4 ± arccos(1/22) + 2Пm.

Таким образом, найдем следующие решения исходной системы:

  Ответ: (- П/4 ± arccos(1/22) + 2Пn; - П/4 ± arccos(- 1/22) + 2Пm) (знаки выбираются независимо друг от друга).

  При таких способах решения необходимо внимательно следить за тем, чтобы не потерять решений и не приобрести посторонних решений.

П р и м е р  10. Решите систему уравнений:

{

4 sin x - 2 sin y = 3

2 cos x - cos y = 0

(15)

  Решение. Систему (15) можно привести к виду (14). Сделав это, получим равносильную систему:

{

sin x = 3/4 + 1/2 sin y

cos x = 1/2 cos y

(16)

  Возводя почленно уравнения системы (16) в квадрат и складывая, получаем уравнение, являющееся следствием системы (16):

1 = 9/16 + 3/4 sin y + 1/4 sin2 y + 1/4 cos2 y, или

sin y = 1/4  (17), откуда

y = (-1)n arcsin1/4 + Пn.  (18)

  Из первого уравнения системы (16) с учетом (17) находим sin x = 7/8,

x = (-1)m arcsin7/8 + Пm  (19)

  Поскольку при решении системы (15) могли появиться посторонние решения (использовалась операция возведения в квадрат), необходимо произвести отбор, подставив найденные значения (18), (19) во второе уравнение этой системы.

  Легко видеть, что пир четных m и n в формулах (18), (19) соответствующие значения cos x и cos y положительны, а при нечетных m и n эти значения отрицательны. Таким образом, |cos x| = (1 - sin2 x) = 15/8, |cos y| = 15/4, так что для выполнения второго уравнения системы (16) требуется только, чтобы знаки cos x и cos y совпадали. Отсюда получаем:

{

x = arcsin7/8 + 2Пk

y = arcsin1/4 +2Пl

(20)

{

x = - arcsin7/8 + (2k + 1)П

y = - arcsin1/4 + (2l +1)П

  Обе полученные серии (20) можно объединить и ответ записать в следующем виде.

  Ответ: ((-1)p arcsin7/8 + Пp; (-1)p arcsin1/4 + П(p + 2r)).

П р и м е р  11. Решить систему уравнений

\left\{ 

Решение

Будем решать данную систему методом исключения одного из неизвестных, например .

Для этого запишем второе уравнение системы в виде \cos y = 2 - 3\cos x,  

 а затем возведем в квадрат обе части уравнений \sin y = 5\sin x и \cos y = 2 - 3\cos x,  и результаты сложим.

Получим 1 = 25\sin ^2 x + 4 - 12\cos x + 9\cos ^2 x или 16\cos ^2 x + 12\cos x - 28 = 0 .

Это уравнение, равносильное уравнению \cos x = 1, имеет корни  

Подставляя найденные значения  в уравнение 3\cos x + \cos y = 2, получаем \cos y = - 1, откуда

y = \pi + 2\pi k, k \in Z.

Найденные значения  и , образуют решения исходной системы.

Ответ

\left( 

П р и м е р  12. Решить систему уравнений

\left\{

Решение. Возведя обе части второго уравнения системы в квадрат, получаем

\sin ^2 x = \sin ^2 y\cos x.

Система \left\{является следствием исходной системы. Используя формулу 2\sin ^2 y = 1 - \cos 2y, запишем уравнение \sin ^2 x = \sin ^2 y\cos xв виде 2\sin ^2 x - \cos x = - \cos x\cos 2y.

Сложим почленно уравнение 10\cos 2x - 2 = 7\cos x\cos 2yс уравнением \sin ^2 x = \sin ^2 y\cos x, умноженным на 7: 10\cos 2x - 2 + 14\sin ^2 x - 7\cos x = 0или 6\cos ^2 x - 7\cos x + 2 = 0, откуда \cos.

1) Если \cos x = \frac{2}{3}, то либо

xлибо x = - \arccos \frac{2}{3} + 2\pi k, \quad \sin x = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}.  

Из уравнения \sin x = \sqrt {\cos x} \sin yи x = \arccos \frac{2}{3} + 2\pi k, \quad \sin x = \frac{{\sqrt 5 }}{3}, следует что \sin y = \sqrt {\frac{5}{6}} , откуда y. Аналогично, из \sin x = \sqrt {\cos x} \sin yи xнаходим \sin y = - \sqrt {\frac{5}{6}} , откуда получаем y = \left( { - 1} \right)^{m + 1} \arcsin \sqrt {\frac{5}{6}} + \pi m.

2) Если \cos x = \frac{1}{2}, то из \sin x = \sqrt {\cos x} \sin yследует, что \sin y = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} . В этом случае система исходная система не имеет решений.

Ответ. x = \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n, \; \; y = \left( { - 1} \right)^m \arcsin \sqrt {\frac{5}{6}} + \pi m; x = - \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n,  

y.