УДК 539.3

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ БАЗИСА СОСТОЯНИЙ КАК НАДЕЖНЫЙ ФАКТОР СОКРАЩЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ ПРИ АНАЛИЗЕ УПРУГИХ ПОЛЕЙ

,

Россия, Липецк, ЛГТУ

Анализ упругих полей с сингулярностями физического характера в граничных условиях приводит к большому объему вычислений и, как следствие, потере точности. Использование специального решения, схватывающего «особенность», позволяет не только улучшить сходимость решения, но и существенно сокращает вычислительные ресурсы при анализе упругих полей.

The analysis of the elastic fields with singularities of the physical character in the boundary conditions leads to a large volume of calculations and, as a consequence, the loss of accuracy. The use of special solutions, catching "feature", makes it possible not only to improve the convergence of the solutions, but also significantly reduces the computing resources in the analysis of the elastic fields.

Метод граничных состояний (МГС) [1] является современным эффективным общим компьютерно-ориентированным методом решения краевых задач математической физики, который можно использовать для анализа состояний тел различной геометрической конфигурации. Основные принципы МГС: исходный базис пространства состояний строится для класса топологически эквивалентных тел, наполненных физической средой: ограниченных односвязных, неограниченных односвязных, двусвязных и др.; «тело в смысле МГС», под которым понимается ортонормированный базис внутренних состояний, строится однократно и может использоваться для решения различных краевых задач; в случае основных задач «скелет» задачи представляет собой единичную матрицу, и решение сводится к рутинному вычислению квадратур; граничные условия содержатся в результирующем граничном состоянии, что служит основой проверки адекватности решения; решение имеет аналитическую форму, что позволяет легко проводить анализ.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Общее решение плоских задач теории упругости обеспечивают формулы комплексного представления Колосова-Мусхелишвили [2]:

где , - параметры упругой среды, – коэффициент Пуассона,,– аналитические функции Колосова - Мусхелишвили комплексного переменного . Любая их пара определяет некоторое внутреннее упругое состояние. Базис состояний получается из рассмотрения вариантов

,

В идеологии метода граничных состояний задача теории упругости состоит в отыскании коэффициентов Фурье разложения решения по ортонормированному базису, исходя из информации, скрытой в граничном состоянии . В общем случае проблема сводится к бесконечной системе уравнений относительно коэффициентов Фурье . Решение основных задач принципиальных трудностей не вызывает, поскольку коэффициенты Фурье рассчитываются рутинным образом через квадратуры: в первой основной задаче , в случае второй основной задачи .

Практика построения упругого поля предполагает использование ограниченного отрезка базиса, следовательно, ни при каком значении «отловить» особенность физической природы в граничных условиях невозможно. Механическое наращивание размера базиса весьма энергозатратно в силу необходимости проведения процесса ортогонализации. Поэтому естественной является идея использовать в качестве одного из базисных состояний специальное решение задачи, в которой граничные условия содержат сингулярность соответствующего характера.

Рассмотрим задачу о воздействии равномерно распределенных на отрезках противоположных сторон прямоугольника взаимоуравновешенных погонных силах (рис. 1, постановка безразмерная): на границе действует усилие равное , на границе – .

C:\Users\user\Desktop\Fragment.bmp

Рис.1. Сжатие прямоугольника равномерно распределенными усилиями

В качестве специального решения, «схватывающего» разрывы усилий вдоль границы, используем строгое решение задачи о нагружении единичным усилием границы полуплоскости, распределенном на отрезке . Соответствующее упругое поле описывается функциями Колосова-Мусхелишвили:

,

Решение поставленной задачи происходит двумя способами:

1) без включения специального решения;

2) с включением в базис специального решения.

При решении задачи первым способом на проведение ортогонализации потребовалось достаточно много времени и для улучшения сходимости использовалось 159 элементов в базисе, чего недостаточно. Об этом свидетельствует первый столбец табл. 1. Включение специального решения потребовало всего 43 базисных элемента и время счета существенно сократилось. Специальное решение удерживалось в четырех точках на и на по границе. Регулярная часть базиса ограничивалась многочленами десятого порядка. Полученные результаты представлены в табл. 1.

Как видно из таблицы, включение на четвертой границе двух специальных решений дает граничное состояние, фактически совпадающее с заданным; на второй границе заметны сингулярный точки, но точность решения улучшена. Решение задачи с включением специальных решений заняло около двух минут, а решение задачи без включения специального решения заняло больше суток непрерывной работы компьютера.

В табл. 1 представлены рисунки, на которых сопоставлены результаты решения (сплошная линия) и заданные граничные условия (прерывистая линия). Рисунки показывают корректность решения.

Таблица 1

Сравнительный анализ полученных решений

Усилия на границах, полученные без использования специального решения

Усилия на границах, полученные с использованием специального решения

Вывод: включение специального решения в базис не только улучшает сходимость, но и существенно экономит вычислительные ресурсы при выполнении расчетов.

Литература

1. , Пеньков граничных состояний для решения задач линейной механики. // Дальневосточный математический журнал. – 2001. – Т.2, №2. – С.115-137.

2. Мусхелишвили основные задачи математической теории упругости. – М.: «Наука», 1966. – 708 с.

, старший преподаватель ЛГПУ, г. Липецк, ул. Студенческий городок д.16-98, *****@***ru, 8(904).

, доктор физико-математических наук, профессор ЛГТУ, г. Липецк, ул. Звездная д.13-41,*****@***ru,8(920)