Метод простой итерации и устойчивость трехосного растяжения материального элемента в одной стержневой системе при ее жестком нагружении.

,

Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург

1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из трех стержней 1, 2 и 3, передающих нагрузку на кубический элемент единичных размеров, выполненный из упруго пластического материала. Стержни линейно упругие, их жесткость при растяжении равна . Три грани куба присоединены шарнирами к жестким стенкам, к другим трем граням шарнирами присоединены упругие стержни таким образом, что куб при деформировании может принимать только форму прямоугольного параллелепипеда. К свободным концам стержней задаем перемещения (жесткое нагружение). В ходе нагружения системы грани куба в отсчетной конфигурации (недеформированном состоянии) получают удлинения . Величины можно трактовать как деформации, определяемые элементарной теорией. Равнодействующие равномерно распределенных по граням куба усилий есть величины , определяемые так же элементарной теорией. Нагружение системы происходит при постоянной температуре и столь медленно, что возможно пренебречь динамическими эффектами. На рисунке 1 показана схема крепления и нагружения.

Рис.1. Механическая система.

Рассматриваемая механическая система полностью описывается потенциальной функцией

,

где первая группа слагаемых - это энергия упругих деформаций линейно упругих стержней, второе слагаемое – потенциал напряжений, определяющий свойства элементарного куба на всех стадиях деформирования, как на стадии упрочнения, так и на стадии разупрочнения. Этот потенциал имеет области выпуклости вниз (устойчивость материала), области выпуклости вверх (неустойчивость материала), а может быть знако неопределенной формой, т. е. разупрочнение реализуется только на некоторых путях деформирования. В данной задаче функция принимается в виде [1]

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

,

где - величина потенциала в момент разрушения, - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона. Параметры играют роль параметров управления системой, а параметры - параметров состояния системы.

Положения равновесия (их характеристики) механической системы (как устойчивые, так и неустойчивые) определяются из решения уравнений

, (1)

т. е. параметры равновесия являются критическими точками потенциальной функции . Здесь запятой обозначены частные производные по соответствующим параметрам состояния. В векторно-матричной форме уравнения (1) имеет вид

, (2)

где

, .

2. Рассмотрим сначала одномерный случай, когда . Тогда имеем только одно уравнение из системы (1). Полагая, имеем

(3)

Далее для упруго пластического материала определяющее соотношение равно , причем для определения пластической деформации используется инкрементальный закон пластичности [2]

,

где - инкрементальный (касательный, тангенциальный) модуль. Отсюда

Отсюда уравнение (3) принимает вид

.

Обозначим . Тогда получаем операторное уравнение

,

для решения которого применяем метод простой итерации, а именно,

.

Метод сходится, если в условии сходимости Липшица константа Липшица будет меньше единицы. Тогда реализуется принцип сжимающих отображений. Величина этой константы определяется производной оператора (в общем случае производной по Фреше). Имеем . Расходимость процесса простой итерации начинается тогда, когда . То есть тогда, когда тангенциальный модуль .

Выясним механический смысл итерационного процесса. Решение уравнения (3) можно представить как сумму решений основной задачи

(уравнение для чисто упругих элементов) и корректирующей задачи

(решение чисто упругой задачи при наличии в системе остаточных деформаций, которые определяются в ходе итераций с использованием инкрементального закона пластичности). При фиксированных значениях и имеем

,

.

Если в положении равновесия при имеем , то возмущая это положение равновесия на (), находим

.

3. Вернемся к трехмерному случаю. Уравнение (2) для случая упругопластического материала принимает вид

, (4)

где - матрица модулей упругости. Далее инкрементальный закон пластичности в данном случае имеет вид

,

где - матрица инкрементальных жесткостей с компонентами . Тогда уравнение (4) принимает вид

,

или

.

Константа Липшица при методе простой итерации определяется модулем производной

.

Заметим, что производная есть матрица Гессе потенциальной функции системы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект ).

Литература.

, , Об одном методе построения единого потенциала // Вычисл. мех. сплош. сред.- 2009.- Т.2, №2.- с.96-107. , Миронов разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995.