Свойства квадратных корней

Свойства квадратных корней 

До сих пор мы осуществляли над числами пять арифметических операций: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях активно использовали различные свойства этих операций, например а + b = b + а, аn-bn = (аb)n и т. д.

В этой главе введена новая операция — извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Чтобы успешно ее использовать, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем в настоящем параграфе. 

Доказательство. Введем следующие обозначения:
Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х = yz.

Итак, х2 = ab, у2 = а, z2 = b. Тогда х2 = y2z2, т. е. х2 = (yz)2.

Если квадраты двух неотрицательных чисел равны, то и сами числа равны, значит, из равенства х2 = (yz)2следует, что х = yz, а это и требовалось доказать.

Приведем краткую запись доказательства теоремы:

Замечание 1. Теорема остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух не отрицательных множителей. 

Замечание 2. Теорему 1 можно оформить, используя конструкцию «если... , то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а и b — неотрицательные числа, то справедливо равенство .

Следующую теорему мы именно так и оформим. 

(Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней или корень из частного равен частному от корней.)

Доказательство.

На этот раз мы приведем только краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что составили суть доказательства теоремы 1. 

Пример 1. Вычислить . 
Решение. Воспользовавшись первым свойством квадратных корней (теорема 1), получаем 

Замечание 3. Конечно, этот пример можно решить по-другому, особенно если у вас под рукой микрокалькулятор: перемножить числа 36, 64, 9, а затем извлечь квадратный корень из полученного произведения. Однако, согласитесь, предложенное выше решение выглядит более культурно. 

Пример 2.

Замечание 4. При первом способе мы проводили вычисления «в лоб». Второй способ изящнее: 
мы применили формулу а2 — b2 = (а — b) (а + b) и воспользовались свойством квадратных корней. 

Замечание 5. Некоторые «горячие головы» предлагают иногда такое «решение» примера 3: 

Это, конечно, неверно: вы видите — результат получился не такой, как у нас в примере 3. Дело в том, что нет свойства  , как нет и свойства Имеются только свойства, касающиеся умножения и деления квадратных корней. Будьте внимательны и осторожны, не принимайте желаемое за действительное. 

Пример 4. Вычислить: а) 
Решение. Любая формула в алгебре используется не только «справа налево», но и «слева направо». Так, первое свойство квадратных корней означает, что  в случае необходимости можно представить в виде , и обратно, что  можно заменить выражением  То же относится и ко второму свойству квадратных корней. Учитывая это, решим предложенный пример. 

Завершая параграф, отметим еще одно достаточно простое и в то же время важное свойство: 
если a > 0 и n — натуральное число, то 

Пример 5. Вычислить  , не используя таблицу квадратов чисел и микрокалькулятор.

Решение. Разложим подкоренное число на простые множители: 

Замечание 6. Этот пример можно было решить так же, как и аналогичный пример в § 15. Нетрудно догадаться, что в ответе получится «80 с хвостиком», поскольку 802 < 7056 < 902. Найдем «хвостик», т. е. последнюю цифру искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Проверить надо только два числа: 84 и 86, поскольку только они при возведении в квадрат дадут в результате четырехзначное число, оканчивающееся цифрой 6, т. е. той же цифрой, которой оканчивается число 7056. Имеем 842 = 7056 — это то, что нужно. Значит,  

Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

До сих пор мы с вами выполняли преобразования толькорациональных выражений, используя для этого правила действий над многочленами и алгебраическими дробями, формулы сокращенного умножения и т. д. В этой главе мы ввели новую операцию — операцию извлечения квадратного корня; мы установили, что

где, напомним, a, b — неотрицательные числа.

Используя эти формулы, можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Рассмотрим несколько примеров, причем во всех примерах будем предполагать, что переменные принимают только неотрицательные значения.

Пример 3. Внести множитель под знак квадратного корня:

Пример 6. Упростить выражение Решение. Выполним последовательные преобразования:

Пример 7. Преобразовать заданное алгебраическое выражение к такому виду, чтобы знаменатель дроби не содержал знаков квадратных корней:

Решение. В обоих случаях воспользуемся к тем, что значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить на одно и то же отличное от нуля число  или выражение.

а) Умножив числитель и знаменатель дроби на  , получим

б) Умножив числитель и знаменатель дроби на  получим

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность (почему используется именно такой термин, мы обсудим позднее, в § 27).

Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют обычно освобождением от иррациональности в знаменателе. Два основных приема освобождения от иррациональности в знаменателе мы как раз и рассмотрели в примере если знаменатель имеет вид , то числитель и знаменатель дроби следует умножить на  если знаменатель имеет вид  , то числитель и знаменатель дроби надо умножить соответственно на  .

Зачем нужно уметь освобождаться от иррациональности в знаменателе? Во многих случаях это облегчает тождественные преобразования алгебраических выражений, в чем мы сейчас и убедимся.

Пример 8. Упростить выражение