«Центр дополнительного образования для детей»

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей» 350000 г. Краснодар, ул. E-mail:*****@***ru

КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 6 класс Работа № 4, уч. год

Задание 1.

В точке В живет Винни-Пух, а в точках К, С, П иИ – его друзья Кролик, Сова, Пятачок и ослик Иа-Иа (см. рисунок).Зимним утром Винни-Пух навестил их всех по одному разу, а потом вернулся домой. При этом он протоптал в снегу 5 прямых тропинок от домика к домику, не пересекающих друг друга. Начертите как можно больше возможных маршрутов Винни-Пуха.

Задание 2.

В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: "Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму". У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9×12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1×8. Иван-царевич очень расстроился и хотел было отрезать ещё кусочек 1×4, чтобы получился прямоугольник 8×12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10×10. Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр? Подсказка: Подумайте, как стал выглядеть ковёрсамолёт после того, как Змей Горыныч отрезал от него кусок.

Задание 3.

В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями — елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного — одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного — тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берез посажено вокруг дома?

Подсказка: Заметьте, что условие наложено на деревья одной "четности".

Задание 4.

Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать: а) 4 карты разных мастей и достоинств? б) 6 карт так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей? Подсказка:а) Карту пиковой масти можно выбрать 13 способами, после этого карту бубновой масти можно выбрать 12 способами... б) 6 = 1 + 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 2 + 2.

Задание 5.

а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться). б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7. Подсказка:а) На каждом месте каждая из цифр встречается 42 = 16 раз.

Задание 6.

а) Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

б) Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в том же классе?

Задание 7.

На окружной железной дороге n станций. Иногда дежурные по станциям связываются друг с другом по радио. В каждый момент времени сеанс связи ведут только два человека. За сутки между каждыми двумя станциями произошёл ровно один радиосеанс. Для каждой станции (если учесть только её сеансы) оказалось, что она общалась с другими станциями по очереди в порядке их расположения на железной дороге (по или против часовой стрелки, у разных станций эти направления могут быть разными), начиная с одной из соседних и заканчивая другой. Чему может равняться n? (Разбор случаев n = 4 и n = 5 учитывается как частичное решение задачи).

Задание 8.

В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

Задание 9.

В компании у каждых двух людей ровно пять общих знакомых. Докажите, что количество пар знакомых делится на 3. Подсказка: Выразите количество троек попарно знакомых людей через количество пар знакомых.

Задание 10.

На плоскости даны 6 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая пара точек соединена отрезком синего или красного цвета. Докажите, что среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.