Нахождение неопределённых интегралов с помощью основных правил интегрирования и таблицы неопределённых интегралов

Для решения упражнений по теме «Интегрирование» рекомендуется следующая литература:

1. . Математический анализ. Неопределённый интеграл. Определённый интеграл: учебное пособие. – М.: МГИУ, 2006. – 114 с.: ил. 20.

2. , и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Под ред. . (любой год издания).

Семинар №1.

Нахождение неопределённых интегралов с помощью основных правил интегрирования и таблицы неопределённых интегралов.

Основные правила интегрирования

1) Если , то,

где С – произвольная постоянная,

2) , где k – постоянная величина,

3) .

4) .

Пример 1.

Под знаком интеграла стоит произведение двух постоянных, которое есть, естественно, тоже постоянная. Согласно основному правилу интегрирования 2), выносим её за знак интеграла.

(2) Используем формулу 1) Таблицы интегралов.

Пример 2.

(1) Перемножаем две скобки под знаком интеграла.

(2) Умножаем x на получившееся выражение.

(3) Пользуемся основным правилом (3) интегрирования (интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций).

(4) Первый интеграл находим по формуле 1) таблицы интегралов, а в трёх других выносим постоянные за знак интеграла (основное правило интегрирование 2)).

(5) Три оставшихся интеграла находим по формуле 1) Таблицы интегралов.

Пример 3.

(1) Воспользуемся формулой сокращённого умножения . В нашем случае , .

(2) Так как , то .

(3) Воспользуемся основным правилом 3) интегрирования (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(4) Пользуемся формулой 1) Таблицы интегралов и основным правилом интегрирования 4), положив , т. е.

Пример 4.

(1) Воспользуемся формулой сокращённого умножения

и пользуемся свойством степеней

().

(2) Пользуемся свойством степеней ().

(3) Почленно делим каждое слагаемое числителя на знаменатель.

(4) В каждом из слагаемых под знаком интеграла пользуемся свойством степеней ().

(5) Воспользуемся основным правилом 3) интегрирования (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

(6) Пользуемся формулой 1) Таблицы интегралов.

Пример 5

(1) Поменяем два слагаемых местами в знаменателе подынтегрального выражения, чтобы получить табличный интеграл.

(2) Воспользуемся формулой 6) Таблицы интегралов. В нашем примере .

Пример 6.

(1) Поменяем два слагаемых местами под знаком корня в знаменателе подынтегрального выражения, чтобы получить табличный интеграл.

(2) Воспользуемся формулой 11) Таблицы интегралов.

Пример 7.

(1) В подкоренном выражении воспользуемся формулой разности квадратов.

(2) Так как под квадратным корнем мы имеем два неотрицательных сомножителя, то приравниваем корень квадратный из произведения этих сомножителей произведению корней из этих сомножителей.

(3) Почленно делим каждое слагаемое числителя на знаменатель.

(4) Производим сокращение сомножителей в каждой из полученных дробей.

(6) Пользуемся формулами 10) и 11) Таблицы интегралов.

Пример 8

(1) Подставляем .

(2) Из основного тригонометрического тождества имеем .

(3) Почленно делим каждое слагаемое числителя на знаменатель.

(4) Воспользуемся основным правилом 3) интегрирования (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

(5) Пользуемся формулой 15) Таблицы интегралов и основным правилом интегрирования 4), положив , т. е. .

Упражнения. №№ 000, 1034, 1036, 1038, 1040, 1042, 1044, 1046, 1048(а) из задачника [2].

Семинар №2

Интегрирование методом замены переменной

Если интеграл не является табличным, то часто используют замену переменной, а именно, полагая , где - непрерывно дифференцируемая функция. Подставляя в интеграл, будем иметь

Функцию стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть последней формулы имела бы более удобный для интегрирования вид. После интегрирования мы получаем первообразную функцию, зависящую от переменной t. Так как нам надо найти первообразную, зависящую от x, то мы из соотношения получаем и подставляем в первообразную, зависящую от переменной t, получая в итоге первообразную зависящую от первоначальной переменной x, т. е. возвращаемся к старой переменной. Возвращаться к старой переменной следует обязательно!

Пример 1.

В этом примере уже указана замена переменной .

(1) Находим , так как .

При подстановке имеем .

(2) Умножаем числитель и знаменатель на .

(3) Этот интеграл «похож» на табличные 9) и 10), но заметим, что в том и другом коэффициент при квадрате неизвестного равен 1. Поэтому под корнем выносим коэффициент при за скобки.

(4) Пользуемся свойством корня квадратного из произведения двух положительных сомножителей: если и , то .

(5) Выделяем под знаком интеграла множитель.

(6) Выносим этот множитель за знак интеграла, согласно Основному правилу 2) интегрирования.

(7) Согласно формуле 10) Таблицы неопределённых интегралов получаем ответ, зависящий от переменной . Здесь , .

(8) Возвращаемся к старой переменной, проводя обратную замену, т. е. .

Пример 2.

В этом примере также замена переменной уже указана.

(1) Пользуемся свойством логарифмов: при имеем , для нашего примера .

(2) Пользуемся основным логарифмическим тождеством: , для нашего примера .

(3) Приводим к общему знаменателю выражение, стоящее в знаменателе.

(4) Умножаем числитель и знаменатель подынтегрального выражения на .

(5) Докажем этот переход в общем случае:

. Т. е. . Запомним это на будущее.

Пример 3.

В этом примере также замена переменной уже указана.

Очень часто бывает целесообразно попробовать замену , если выражение имеется под знаком интеграла или замену , если в подынтегральной функции есть выражение где - некоторое целое положительное число .

Упражнения №№ 000,1193, 1194, 1195, 1200 (указание: см. 1191 а)).

Семинар №3

Интегрирование методом замены переменной (продолжение). Подведение под знак дифференциала.

Если подынтегральная функция зависит от выражения , то можно дать некоторые рекомендации по замене переменной.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Рассмотрим способ применения метода замены переменной в неопределённом интеграле, когда подынтегральная функция имеет вид . Тогда целесообразна замена . При этом .

В самом деле,

То есть в случае, когда подынтегральная функция имеет вид , мы «подводим» функцию под знак дифференциала:

и . Далее делаем замену переменной .

Такого рода преобразование иногда называют «подведение под знак дифференциала».

Прежде чем разбирать примеры на эту тему, приведём таблицу, которую можно получить из таблицы неопределённых интегралов

Очень просто запомнить первую формулу:

и т. д.

Пример 4.

Пример 5.

Замечание.

Когда подынтегральная функция имеет вид , то целесообразна замена . Тогда имеем

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

Упражнения №№ 000, 1088, 1151, 1081, 1082, 1094.

Семинар №4

Метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле

Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема. Пусть функции и имеют конечные производные в промежутке , и в этом промежутке существует первообразная для функции. Тогда в промежутке существует первообразная для функции и справедлива формула

Эту формулу можно записать в виде

Задача при интегрировании по частям заключается в том, чтобы подынтегральное выражение представить в виде произведения так, чтобы интеграл был проще, чем , т. е. нельзя выбирать и произвольно, так как можно получить более сложный интеграл , чем заданный .

Практика показывает, что большая часть интегралов «берущихся» по частям может быть разбита на три группы:

Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по частям.

Замечание. В первой группе интегралов для интегралов вместо может быть многочлен зависящий от необязательно целой положительной степени (например , , , и т. д.).

Пример 1.

В этом примере разбиение на множители и единственно возможное, что бывает не очень часто.

При нахождении выражения для в методе интегрирования по частям постоянную C можно положить равной нулю (см. [1] стр.22).

Пример 2.

Этот интеграл относится к первой группе интегралов.

Пример 3.

Это пример интеграла из второй группы.

(1) Пользуемся тем, что можно представить как . Это следует из свойства дифференциала (т. е. постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала). В общем виде .

Пример 4.

Это пример также из второй группы интегралов.

Пример 5.

Таким образом, получаем уравнение относительно искомого интеграла :

Переносим слагаемое в левую часть уравнения и получаем эквивалентное уравнение

решая которое, получаем ответ:

Этот пример из третьей группы интегралов. Здесь мы дважды применили интегрирование по частям.

Упражнения. №№ 000, 1214, 1226, 1221, 1217, 1218, 1225, 1223,

1235.

Семинар №5

Вычисление определённых интегралов

Вычисление определённых интегралов основано на свойствах определённого интеграла и формуле Ньютона-Лейбница.

Приведём основные свойства определённого интеграла

1) Каковы бы ни были числа a,b,c всегда имеет место равенство

2) Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т. е.

3) Определённый интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

Теорема (формула Ньютона-Лейбница).

Если есть некоторая первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула

Вычисление определённого интеграла как предела интегральных сумм – достаточно трудоёмкое дело даже для элементарных функций. Формула Ньютона-Лейбница позволяет свести вычисление определённого интеграла к нахождению неопределённого интеграла, когда известна первообразная подынтегральной функции. Значение определённого интеграла равно разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределе интегрирования.

Примеры вычисления определённого интеграла в простейших случаях

Пример 1.

Пример 2.

Замена переменной в определённом интеграле

При использовании метода замены переменной в определённом интеграле надо иметь в виду два момента.

Пример 3.

Интегрирование по частям в определённом интеграле

Теорема

При использовании формулы интегрирования по частям в определённом интеграле иногда оказывается, например, что , поэтому сразу же следует вычислять выражение , не откладывая это до тех пор, пока не будет найдена вся первообразная.

Пример 4.

Упражнения. №№ 000, 1522, 1525, 1531, 1583, 1600,1602.

Семинар № 6

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода – это интегралы с бесконечными пределами (или одним бесконечным пределом). Это интегралы вида , , . Пусть функция интегрируема на любом конечном отрезке, заключённом внутри промежутка интегрирования. Тогда, по определению

Если приведённые пределы существуют и конечны, то говорят, что несобственные интегралы сходятся. Если не существуют или бесконечны, то говорят, что расходятся (подробнее см. [1] стр.72-76).

Пример 1.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

При имеем

Если , то .

Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при.

Пример 2.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

т. е. данный несобственный интеграл сходится.

Пример 3.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

т. е. данный несобственный интеграл сходится.

Пример 4.

= ,

т. е. данный несобственный интеграл расходится.

Упражнения.

Несобственные интегралы второго рода

Несобственными интегралами второго рода называются интегралы от неограниченных функций.

Если функция определена в полупромежутке [a,b), интегрируема на любом отрезке , заключённом в [a,b), и не ограничена слева от точки b (её называют особой), то по определению

Если этот предел существует и конечен, то его называют несобственным интегралом второго рода, а интеграл называется сходящимся. В противном случае расходящимся.

Аналогично, если - особая точка, то, по определению

Если внутренняя точка отрезка - точка - особая, то, по определению,

Наконец, если a и b – особые точки, то несобственный интеграл определяется как сумма

где c – любая точка из .

Пример 5.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

= =

== .

Пример 6.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

= .

Пример 7.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

(1) - Так как , то.

Т. е. данный несобственный интеграл расходится.

Упражнения. №№ 000, 1563, 1559, 1558.

Семинар № 7

Геометрические приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь в прямоугольных координатах. Если непрерывная линия задана в прямоугольных координатах уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми , и отрезком оси абсцисс определяется формулой

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой и осью абсцисс.

Находим точки пересечения параболы и оси абсцисс:

Так как уравнение оси абсцисс , то имеем . Отсюда получаем и .

В более общем случае, если площадь ограничена двумя непрерывными линиями, заданными уравнениями и , двумя прямыми , , где , будем иметь

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции и .

Находим абсциссы точек пересечения графиков функций: . Имеем и .

===

==.

Вычисление объёмов тел

Объём тела, образованного вращением криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции , осью Ох и двумя прямыми и , вокруг оси Ох, выражается формулой